第頁 高中數(shù)學(xué)必修4知識(shí)點(diǎn)正角:按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角任意角負(fù)角:按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角零角:不作任何旋轉(zhuǎn)形成的角角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角．第一象限角的集合為k360ok360o90o,k第二象限角的集合為k360o90ok360o180o,k第三象限角的集合為k360o180ok360o270o,k第四象限角的集合為k360o270ok360o360o,k終邊在x軸上的角的集合為k180o,k終邊在y軸上的角的集合為k180o90o,k終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為k90o,k與角終邊相同的角的集合為k360o,k已知是第幾象限角，確定n*所在象限的方法：先把各象限均分n等n份，再從x軸的正半軸的上方起，依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四，則原來是第幾象限對應(yīng)的標(biāo)號(hào)即為終邊所落在的區(qū)域．n長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度．l半徑為r的圓的圓心角所對弧的長為l，則角的弧度數(shù)的絕對值是．r弧度制與角度制的換算公式：2360o，1o180，1180o57.3o．若扇形的圓心角為為弧度制，半徑為r，弧長為l，周長為C，面積為S，則lr，C2rl，S1lr1r2． 2 2設(shè)是一個(gè)任意大小的角，的終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)是x,y，它與原點(diǎn)的距離是rrx2y20，則siny，cosx，tanyx0．r r x三角函數(shù)在各象限的符號(hào)：第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限余弦為正．PxyAOMT三角函數(shù)線：sin，cosPxyAOMT同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：1sin2cos21sin21cos2,cos21sin2；2sintancossintancos,cossin． tan三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式：1sin2ksin，cos2kcos，tan2ktank．2sinsin，coscos，tantan．3sinsin，coscos，tantan．4sinsin，coscos，tantan．口訣：函數(shù)名稱不變，符號(hào)看象限．5sincos，cossin． 2 2 6sincos，cossin． 2 2 口訣：正弦與余弦互換，符號(hào)看象限．14．函數(shù)yAsin(x)B（其中A0，0）最大值是AB，最小值是BA，周期是T2，頻率是f，相位是x， 2初相是；其圖象的對稱軸是直線xk(kZ)，凡是該圖象與直線2yB的交點(diǎn)都是該圖象的對稱中心。y＝Asin(ωx＋φ)＋B的圖象求其解析式的問題，主要從以下四個(gè)方面來考慮：最高點(diǎn)－最低點(diǎn)①A的確定：根據(jù)圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，即A＝ ；2最高點(diǎn)＋最低點(diǎn)②B的確定：根據(jù)圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，即B＝ ；22π③ω的確定：結(jié)合圖象，先求出周期，然后由T＝ω(ω>0)來確定ω；④φ的確定：把圖像上的點(diǎn)的坐標(biāo)帶入解析式y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)＋B，然后根據(jù)φ的范圍確定φφ即可，例如由函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋K最開始與x軸的交點(diǎn)(最靠近原點(diǎn))的橫坐標(biāo)為－ω(即φ令ωx＋φ＝0，x＝－ω)確定φ.15.三角函數(shù)的伸縮變化先平移后伸縮ysinx的圖象向左(>0)或向右(0)平移個(gè)單位長度得ysin(x)的圖象橫坐標(biāo)伸長(0<<1)或縮短(>1)1到原來的(縱坐標(biāo)不變)得ysin(x)的圖象縱坐標(biāo)伸長(A1)或縮短(0<A<1)為原來的A倍(橫坐標(biāo)不變)得yAsin(x)的圖象向上(k0)或向下(k0)平移k個(gè)單位長度得yAsin(x)k的圖象．先伸縮后平移ysinx的圖象縱坐標(biāo)伸長(A1)或縮短(0A1)為原來的A倍(橫坐標(biāo)不變)得yAsinx的圖象橫坐標(biāo)伸長(01)或縮短(1)1到原來的(縱坐標(biāo)不變)得yAsin(x)的圖象向左(0)或向右(0)平移個(gè)單位得yAsinx(x)的圖象向上(k0)或向下(k0)得yAsin(x)k的圖象．平移k個(gè)單位長度16．由y＝Asin(ωx＋)的圖象求其函數(shù)式：給出圖象確定解析式y(tǒng)=Asin（ωx+）的題型，有時(shí)從尋找“五點(diǎn)”中的第一零點(diǎn)（－，0）作為突破口，要從圖象的升降情況找準(zhǔn)．．第一個(gè)零點(diǎn)的位置。17．求三角函數(shù)的周期的常用方法：經(jīng)過恒等變形化成“yAsin(x)、yAcos(x)”的形式，在利用周期公式，另外還有圖像法和定義法。2π函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期為，|ω|πy＝tan(ωx＋φ)的最小正周期為.|ω|正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)：sinyxcosyxtanyx函數(shù)性質(zhì)稱稱性,0kk對稱軸2xkk,02kk對稱軸xkk,02kk無對稱軸向量：既有大小，又有方向的量．?dāng)?shù)量：只有大小，沒有方向的量．有向線段的三要素：起點(diǎn)、方向、長度．零向量：長度為0的向量．單位向量：長度等于1個(gè)單位的向量．平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量與任一向量平行．相等向量：長度相等且方向相同的向量．量．17、向量加法運(yùn)算：⑴三角形法則的特點(diǎn)：首尾相連．⑶三角形不等式：arbrarbrarbr．⑷運(yùn)算性質(zhì)：①交換律：arbrbrar；②結(jié)合律：arbrcrarbrcr；③brbrarCabCCuuuruuuruuurrra00aa．⑸坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)arx,y，brx,y，則arbrxx,yy． 1 1 2 2 1 2 1 2向量減法運(yùn)算：⑴三角形法則的特點(diǎn)：共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，方向指向被減向量．⑵坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)arx,y，brx,y，則arbrxx,yy． 1 1 2 2 1 2 1 2設(shè)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為x,y，x,y，則uuurxx,yy． 1 1 2 2 1 2 1 2向量數(shù)乘運(yùn)算：⑴實(shí)數(shù)與向量ar的積是一個(gè)向量的運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作ar．①arar；②當(dāng)0時(shí)，ar的方向與ar的方向相同；當(dāng)0時(shí)，ar的方向與ar的方向相反；當(dāng)rr0時(shí)，a0．⑵運(yùn)算律：①arar；②ararar；③arbrarbr．⑶坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)arx,y，則arx,yx,y．向量共線定理：向量aa0與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使bar．rrr r r設(shè)arx,y，brx,y，其中br0r，則當(dāng)且僅當(dāng)xyxy0時(shí)，向量ar、brbr0r1 2 2 12 21共線．uruur平面向量基本定理：如果e、e是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面 1 2內(nèi)的任意向量ar，有且只有一對實(shí)數(shù)、，使areureuur．（不共線的向量eur、euur作 1 2 11 22 1 2為這一平面內(nèi)所有向量的一組基底）分點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，、的坐標(biāo)分別是x,y，x,y， 12 1 2 1 1 2 2uu1uruuur2時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是x11x2,y11y2．當(dāng)平面向量的數(shù)量積：⑴arbrarbrcosar0r,br0r,0o180o．零向量與任一向量的數(shù)量積為0．⑵性質(zhì)：設(shè)ar和br都是非零向量，則①arbrarbr0．②當(dāng)ar與br同向時(shí)，arbrarbr；當(dāng)ar與br反向時(shí)，arbrarbr；ararar2ar2或ararar．③arbrarbr．⑶運(yùn)算律：①arbrbrar；②arbrarbrarbr；③arbrcrarcrbrcr．⑷坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)兩個(gè)非零向量arx,y，brx,y，則arbrxxyy． 1 1 2 2 12 12若arx,y，則ar2x2y2，或arx2y2．rrrr設(shè)ax,y，bx,y，則abxxyy0．1 2 2 12 12設(shè)ar、br都是非零向量，arx,y，brx,y，是ar與br的夾角，則1 1 2 2rr ab xxyycosrr1212．a(chǎn)bx2y2x2y2 1 1 2 2兩角和與差的正弦、余弦和正切公式：⑴coscoscossinsin；⑵coscoscossinsin；⑶sinsincoscossin；⑷sinsincoscossin；⑸tantantan（tantantan1tantan）；1tantan⑹tantantan（tantantan1tantan）．1tantan二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin22sincos．⑵cos2cos2sin22cos2112sin2（cos2cos21，21cos2sin2）．22tan⑶tan2．1tan226、sincos22sin，其中tan．對于形如y=asinx+bcosx的三角式，可變形如下： a by=asinx=bcosxa2b2(sinx·cosx·)。由于上式中的 a2b2 a2b2a b a b與 的平方和為1，故可記=cosθ，=sinθ，則a2b2 a2b2 a2b2 a2b2ya2b2(sinxcoscosxsin)a2b2sin(x)。由此我們得到結(jié)論：asinx+bcosx=a2b2sin(x) a bcos,sin來確定。a2b2 a2b2，（*）其中θ由通常稱式子（*）為輔助角公式，它可以將多個(gè)三角式的函數(shù)問題，最終化為y=Asin(x)+k的形式。正弦定理和余弦定理 a b c1．正弦定理： ＝ ＝ ＝2R，其中R是三角形外接圓的半徑．由正弦sinAsinBsinC定理可以變形為：(1)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；a b c(3)sinA＝2R，sinB＝2R，sinC＝2R等形式，以解決不同的三角形問題．2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－ b2＋c2－a2 a2＋c2－b22abcos_C．余弦定理可以變形為：cosA＝2bc，cosB＝2ac，cosCa2＋b2－c2＝2ab. 1 1 1 abc13．S△ABC＝2absinC＝2bcsinA＝2acsinB＝4R＝2(a＋b＋c)·r(R是三角形外接圓半徑，r是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計(jì)算R，r.A為銳角A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＜bsinAa＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞ba≤b解的個(gè)數(shù)無解一解兩解一解一解無解一條規(guī)律在三角形中，大角對大邊，大邊對大角；大角的正弦值也較大，正弦值較大的角也較大，即在△ABC中，A＞B?a＞b?sinA＞sinB.兩類問題在解三角形時(shí)，正弦定理可解決兩類問題：(1)已知兩角及任一邊，求其它邊或角；(2)已知兩邊及一邊的對角，求其它邊或角．情況(2)中結(jié)果可能有一解、兩解、無解，應(yīng)注意區(qū)分．余弦定理可解決兩類問題：(1)已知兩邊及夾角求第三邊和其他兩角；(2)已知三邊，求各角．兩種途徑根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：(1)化邊為角；(2)化角為邊，并常用正弦(余弦)定理實(shí)施邊、角轉(zhuǎn)換．雙基自測1．在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，則c等于()．A．52 B．102106C.3 D．56解析由A＋B＋C＝180°，知C＝45°，由正弦定理得：a＝c，sinAsinC32即10＝c.∴32∴c＝10632 2sinAcosB2．在△ABC中，若a＝b，則B的值為()．A．30°B．45°C．60°D．90°解析由正弦定理知：答案B3．在△ABC中，a＝3，b＝1，c＝2，則A等于()．A．30°B．45°C．60°D．75°解析由余弦定理得：cosA＝b2＋c2－a2＝1＋4－3＝1， 2bc 2×1×22∵0＜A＜π，∴A＝60°.答案C14．在△ABC中，a＝32，b＝23，cosC＝3，則△ABC的面積為()．A．33B．23C．43D.3解析＜C＜，∴S△ABC＝12absinC＝12×32×23×232＝43.答案C5．已知△ABC三邊滿足a2＋b2＝c2－3ab，則此三角形的最大內(nèi)角為________．解析∵a2＋b2－c2＝－3ab，∴cosC＝a2＋b2－c2＝－3， 2ab 2故C＝150°為三角形的最大內(nèi)角．答案150°考向一利用正弦定理解三角形【例1】?在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°.求角A，C和邊c. a b 3 2解由正弦定理得sinA＝sinB，sinA＝sin45°，.∵a＞b，∴A＝60°或A＝120°.當(dāng)A＝60°時(shí)，C＝180°－45°－60°＝75°，bsinC 6＋2c＝sinB＝2；當(dāng)A＝120°時(shí)，C＝180°－45°－120°＝15°，bsinC 6－2c＝sinB＝2.(1)已知兩角一邊可求第三角，解這樣的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．(2)已知兩邊和一邊對角，解三角形時(shí)，利用正弦定理求另一邊的對角時(shí)要注意討論該角，這是解題的難點(diǎn)，應(yīng)引起注意．【訓(xùn)練1】在△ABC中，若b＝＝______a＝________.解析因?yàn)椤鰽BC中，tanA＝2，所以A是銳角，且cossinAA＝2，sin2A＋cos2A＝1，聯(lián)立解得sinA＝25，再由正弦定理得a＝b， 5 sinAsinB代入數(shù)據(jù)解得a＝210.答案255210考向二利用余弦定理解三角形 cosB b【例2】?在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，且cosC＝－2a＋c.(1)求角B的大?。?2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面積．[審題視點(diǎn)]由coscosCB＝－2ab＋c，利用余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系求解．a(chǎn)2＋c2－b2解(1)由余弦定理知：cosB＝ 2ac，a2＋b2－c2cosC＝2ab. cosB b將上式代入 ＝－ 得： cosC 2a＋ca2＋c2－b2 2ab b2ac·a2＋b2－c2＝－2a＋c，整理得：a2＋c2－b2＝－ac. a2＋c2－b2－ac 1 2∴cosB＝2ac＝2ac＝－2.∵B為三角形的內(nèi)角，∴B＝3π.(2)將b＝13，a＋c＝4，B＝代入b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝(a＋c)2－2ac－2accosB， 1 1 33∴13＝16－2ac1－2，∴ac＝3.∴S△ABC＝2acsinB＝4.【訓(xùn)練2】已知A，B，C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，其所對的邊分別為a，b，c，A且2cos22＋cosA＝0.(1)求角A的值；(2)若a＝23，b＋c＝4，求△ABC的面積．解，得1＋cosA＋cosA＝0，2π即cosA＝－＜A＜π，∴A＝3.(2)由余弦定理得，2πa2＝b2＋c2－2bccosA，A＝3，則a2＝(b＋c)2－bc，又a＝23，b＋c＝4，有12＝42－bc，則bc＝4，1故△ABC＝2bcsinA＝3.考向三利用正、余弦定理判斷三角形形狀【例3】?在△ABC中，若(a2＋b2)sinA(－B)＝(a2－b2)sinC，試判斷△ABC的形狀．[審題視點(diǎn)]首先邊化角或角化邊，再整理化簡即可判斷．解由已知(a2＋b2)sinA(－B)＝(a2－b2)sinC，得b2[sinA(－B)＋sinC]＝a2[sinC－sin(A－B)]，即b2sinAcosB＝a2cosAsinB，即sin2BsinAcosB＝sin2AcosBsinB，所以sin2B＝sin2A，由于A，B是三角形的內(nèi)角．故0＜2A＜2π，0＜2B＜2π.故只可能2A＝2B或2A＝π－2B，π即A＝B或A＋B＝2.故△ABC為等腰三角形或直角三角形．判斷三角形的形狀的基本思想是；利用正、余弦定理進(jìn)行邊角的統(tǒng)一．即將條件化為只含角的三角函數(shù)關(guān)系式，然后利用三角恒等變換得出內(nèi)角之間的關(guān)系式；或?qū)l件化為只含有邊的關(guān)系式，然后利用常見的化簡變形得出三邊的關(guān)系． a b c【訓(xùn)練3】在△ABC中，若cosA＝cosB＝cosC；則△ABC是()．A．直角三角形 B．等邊三角形C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形解析由正弦定理得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC(R為△ABC外接圓半徑)．.即tanA＝tanB＝tanC，∴A＝B＝C.答案B考向三正、余弦定理的綜合應(yīng)用【例3】?在△ABC中，內(nèi)角A，B，C對邊的邊長分別是a，b，c，已知c＝2，πC＝3.(1)若△ABC的面積等于3，求a，b；(2)若sinC＋sin(B－A)＝2sinA2，求△ABC的面積．解(1)由余弦定理及已知條件，得a2＋b2－ab＝4.1又因?yàn)椤鰽BC的面積等于3，所以absinC＝3，得ab＝4，聯(lián)立方程組2a2＋b2－ab＝4， a＝2， 解得 ab＝4， b＝2.(2)由題意，得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，即sinBcosA＝2sinAcosA. π π當(dāng)cosA＝0，即A＝2時(shí)，B＝6， 43 23a＝3，b＝3；當(dāng)cosA≠0時(shí)，得sinB＝2sinA，由正弦定理，得b＝2a.a