學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精§8.5直線、平面垂直的判定與性質(zhì)最新考綱考情考向分析1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理.2。能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡(jiǎn)單命題。直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)是高考中的重點(diǎn)考查內(nèi)容，涉及線線垂直、線面垂直、面面垂直的判定及其應(yīng)用等內(nèi)容．題型主要以解答題的形式出現(xiàn)，解題要求有較強(qiáng)的推理論證能力,廣泛應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸的思想.1．直線與平面垂直（1)定義如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，則直線l與平面α互相垂直，記作l⊥α，直線l叫做平面α的垂線,平面α叫做直線l的垂面．(2）判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1（a，b?α，a∩b＝O,l⊥a，l⊥b)）?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}（\a\vs4\al\co1（a⊥α，b⊥α））?a∥b2。直線和平面所成的角(1)定義平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角,叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角．若一條直線垂直于平面，它們所成的角是直角，若一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，它們所成的角是0°的角．(2)范圍:eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1(0，\f（π,2）)）。3．平面與平面垂直(1)二面角的有關(guān)概念①二面角:從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角；②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以該點(diǎn)為垂足，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所構(gòu)成的角叫做二面角的平面角．（2）平面和平面垂直的定義兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直．（3）平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α，l?β)）?α⊥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直,則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1（α⊥β,l?β，α∩β＝a,l⊥a))?l⊥α知識(shí)拓展重要結(jié)論（1）若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面．（2）若一條直線垂直于一個(gè)平面，則它垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線（證明線線垂直的一個(gè)重要方法)．(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行．(4)一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則這條直線與另一個(gè)平面也垂直．題組一思考辨析1．判斷下列結(jié)論是否正確（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)（1）直線l與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線都垂直,則l⊥α.（×)（2）垂直于同一個(gè)平面的兩平面平行．（×）(3）直線a⊥α，b⊥α，則a∥b.(√）（4）若α⊥β,a⊥β，則a∥α。(×)（5）若直線a⊥平面α，直線b∥α，則直線a與b垂直．（√）（6)若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則α⊥β.(×)題組二教材改編2．[P73T1]下列命題中錯(cuò)誤的是(）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β,那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β答案D解析對(duì)于D，若平面α⊥平面β，則平面α內(nèi)的直線可能不垂直于平面β,即與平面β的關(guān)系還可以是斜交、平行或在平面β內(nèi)，其他選項(xiàng)均是正確的．3．［P67T2]在三棱錐P－ABC中，點(diǎn)P在平面ABC中的射影為點(diǎn)O.（1）若PA＝PB＝PC，則點(diǎn)O是△ABC的________心；(2）若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA,則點(diǎn)O是△ABC的________心．答案(1）外（2)垂解析（1）如圖1，連接OA，OB，OC,OP，在Rt△POA,Rt△POB和Rt△POC中,PA＝PC＝PB，所以O(shè)A＝OB＝OC，即O為△ABC的外心．(2)如圖2，延長(zhǎng)AO,BO，CO分別交BC,AC，AB于H，D，G.∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，∴PC⊥平面PAB，又AB?平面PAB，∴PC⊥AB,∵AB⊥PO，PO∩PC＝P，∴AB⊥平面PGC，又CG?平面PGC，∴AB⊥CG，即CG為△ABC邊AB上的高．同理可證BD，AH分別為△ABC邊AC，BC上的高，即O為△ABC的垂心．題組三易錯(cuò)自糾4．(2017·湖南六校聯(lián)考)已知m和n是兩條不同的直線，α和β是兩個(gè)不重合的平面,下列給出的條件中一定能推出m⊥β的是(）A．α⊥β且m?α B．α⊥β且m∥αC．m∥n且n⊥β D．m⊥n且α∥β答案C解析由線面垂直的判定定理，可知C正確．5。如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)O，M,N分別是線段BD，DD1,D1C1的中點(diǎn)，則直線OM與AC，MN的位置關(guān)系是()A．與AC，MN均垂直B．與AC垂直，與MN不垂直C．與AC不垂直，與MN垂直D．與AC,MN均不垂直答案A解析因?yàn)镈D1⊥平面ABCD,所以AC⊥DD1,又因?yàn)锳C⊥BD，DD1∩BD＝D，所以AC⊥平面BDD1B1,因?yàn)镺M?平面BDD1B1，所以O(shè)M⊥AC.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則OM＝eq\r(1＋2)＝eq\r（3），MN＝eq\r（1＋1)＝eq\r（2)，ON＝eq\r（1＋4)＝eq\r（5），所以O(shè)M2＋MN2＝ON2,所以O(shè)M⊥MN。故選A。6.如圖所示,AB是半圓O的直徑，VA垂直于半圓O所在的平面,點(diǎn)C是圓周上不同于A,B的任意一點(diǎn)，M，N分別為VA，VC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（)A．MN∥ABB．平面VAC⊥平面VBCC．MN與BC所成的角為45°D．OC⊥平面VAC答案B解析由題意得BC⊥AC，因?yàn)閂A⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以VA⊥BC。因?yàn)锳C∩VA＝A,所以BC⊥平面VAC。因?yàn)锽C?平面VBC,所以平面VAC⊥平面VBC。故選B.題型一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)典例如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥底面ABCD,AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC,E是PC的中點(diǎn)．證明：（1）CD⊥AE；（2)PD⊥平面ABE.證明(1)在四棱錐P—ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD.又∵AC⊥CD，PA∩AC＝A,PA，AC?平面PAC，∴CD⊥平面PAC.而AE?平面PAC，∴CD⊥AE.（2)由PA＝AB＝BC,∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中點(diǎn)，∴AE⊥PC.由（1）知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD?平面PCD，∴AE⊥平面PCD，而PD?平面PCD,∴AE⊥PD。∵PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD,∴PA⊥AB。又∵AB⊥AD,且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD?平面PAD，∴AB⊥PD。又∵AB∩AE＝A，AB，AE?平面ABE,∴PD⊥平面ABE.思維升華證明線面垂直的常用方法及關(guān)鍵（1)證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α）；③面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β）；④面面垂直的性質(zhì)．(2)證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì)．因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想．跟蹤訓(xùn)練如圖，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.設(shè)AB1的中點(diǎn)為D，B1C∩BC1＝E.求證:（1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1。證明（1）由題意知，E為B1C的中點(diǎn)，又D為AB1的中點(diǎn)，因此DE∥AC。又因?yàn)镈E?平面AA1C1C,AC?平面AA1C1C,所以DE∥平面AA1C1C.（2)因?yàn)槔庵鵄BC—A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC。因?yàn)锳C?平面ABC,所以AC⊥CC1。又因?yàn)锳C⊥BC,CC1?平面BCC1B1，BC?平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1。又因?yàn)锽C1?平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因?yàn)锽C＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因?yàn)锳C，B1C?平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因?yàn)锳B1?平面B1AC,所以BC1⊥AB1。題型二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)典例（2018·開(kāi)封模擬）如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD,E,F，G，M，N分別為PB，AB，BC，PD，PC的中點(diǎn)．(1）求證：CE∥平面PAD；(2）求證：平面EFG⊥平面EMN。證明（1)方法一取PA的中點(diǎn)H，連接EH,DH。因?yàn)镋為PB的中點(diǎn)，所以EH綊eq\f(1,2)AB。又CD綊eq\f(1,2)AB，所以EH綊CD.所以四邊形DCEH是平行四邊形，所以CE∥DH.又DH?平面PAD，CE?平面PAD,所以CE∥平面PAD.方法二連接CF.因?yàn)镕為AB的中點(diǎn)，所以AF＝eq\f（1,2）AB.又CD＝eq\f（1,2）AB，所以AF＝CD.又AF∥CD,所以四邊形AFCD為平行四邊形．因此CF∥AD，又CF?平面PAD，AD?平面PAD，所以CF∥平面PAD.因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PB，AB的中點(diǎn),所以EF∥PA.又EF?平面PAD，PA?平面PAD,所以EF∥平面PAD.因?yàn)镃F∩EF＝F,故平面CEF∥平面PAD。又CE?平面CEF，所以CE∥平面PAD。（2）因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PB，AB的中點(diǎn),所以EF∥PA。又因?yàn)锳B⊥PA，所以EF⊥AB，同理可證AB⊥FG。又因?yàn)镋F∩FG＝F，EF,FG?平面EFG,所以AB⊥平面EFG.又因?yàn)镸，N分別為PD，PC的中點(diǎn)，所以MN∥CD，又AB∥CD，所以MN∥AB，所以MN⊥平面EFG。又因?yàn)镸N?平面EMN,所以平面EFG⊥平面EMN.引申探究1．在本例條件下，證明:平面EMN⊥平面PAC.證明因?yàn)锳B⊥PA,AB⊥AC，且PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，所以AB⊥平面PAC.又MN∥CD，CD∥AB，所以MN∥AB，所以MN⊥平面PAC.又MN?平面EMN,所以平面EMN⊥平面PAC。2．在本例條件下，證明:平面EFG∥平面PAC.證明因?yàn)镋，F(xiàn)，G分別為PB,AB，BC的中點(diǎn)，所以EF∥PA，F(xiàn)G∥AC,又EF?平面PAC，PA?平面PAC，所以EF∥平面PAC。同理FG∥平面PAC。又EF∩FG＝F，所以平面EFG∥平面PAC。思維升華（1）判定面面垂直的方法①面面垂直的定義;②面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β)．(2)在已知平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化．在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直．

跟蹤訓(xùn)練(2018屆河南中原名校質(zhì)檢)在四棱錐P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，△PAD是等邊三角形，已知AD＝2，BD＝2eq\r（3)，AB＝2CD＝4.（1）設(shè)M是PC上一點(diǎn)，求證:平面MBD⊥平面PAD；(2)求四棱錐P-ABCD的體積．（1）證明在△ABD中，由勾股定理知AD⊥BD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD?平面ABCD，所以BD⊥平面PAD，又BD?平面BDM，所以平面MBD⊥平面PAD。（2)解如圖,取AD的中點(diǎn)O，則PO⊥AD.因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO?平面PAD，所以PO⊥平面ABCD，所以PO是四棱錐P—ABCD的高，且PO＝2×eq\f（\r（3），2)＝eq\r（3），底面ABCD的面積是△ABD面積的eq\f（3，2)，即3eq\r（3),所以四棱錐P-ABCD的體積為eq\f(1，3）×3eq\r(3）×eq\r(3)＝3。題型三垂直關(guān)系中的探索性問(wèn)題典例如圖所示,平面ABCD⊥平面BCE，四邊形ABCD為矩形,BC＝CE，點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)．（1)證明：AE∥平面BDF；（2)點(diǎn)M為CD上任意一點(diǎn)，在線段AE上是否存在點(diǎn)P，使得PM⊥BE？若存在，確定點(diǎn)P的位置,并加以證明;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(1)證明連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OF.∵四邊形ABCD是矩形，∴O為AC的中點(diǎn)．又F為EC的中點(diǎn)，∴OF∥AE。又OF?平面BDF，AE?平面BDF，∴AE∥平面BDF.(2）解當(dāng)點(diǎn)P為AE的中點(diǎn)時(shí)，有PM⊥BE，證明如下：取BE的中點(diǎn)H,連接DP，PH，CH?！逷為AE的中點(diǎn),H為BE的中點(diǎn)，∴PH∥AB.又AB∥CD，∴PH∥CD，∴P,H,C,D四點(diǎn)共面．∵平面ABCD⊥平面BCE，且平面ABCD∩平面BCE＝BC，CD⊥BC，CD?平面ABCD，∴CD⊥平面BCE.又BE?平面BCE，∴CD⊥BE,∵BC＝CE，且H為BE的中點(diǎn)，∴CH⊥BE.又CH∩CD＝C，且CH，CD?平面DPHC,∴BE⊥平面DPHC。又PM?平面DPHC，∴PM⊥BE。思維升華對(duì)于線面關(guān)系中的存在性問(wèn)題，首先假設(shè)存在,然后在該假設(shè)條件下，利用線面關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿(mǎn)足的條件,若滿(mǎn)足則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論則否定假設(shè)．

跟蹤訓(xùn)練如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，M為棱AC的中點(diǎn)．AB＝BC,AC＝2，AA1＝eq\r(2）。（1)求證：B1C∥平面A1BM；(2)求證：AC1⊥平面A1BM;（3)在棱BB1上是否存在點(diǎn)N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？如果存在，求此時(shí)eq\f(BN,BB1)的值;如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(1）證明連接AB1與A1B,兩線交于點(diǎn)O，連接OM。在△B1AC中，∵M(jìn)，O分別為AC，AB1的中點(diǎn),∴OM∥B1C，又∵OM?平面A1BM，B1C?平面A1BM，∴B1C∥平面A1BM。(2）證明∵側(cè)棱AA1⊥底面ABC，BM?平面ABC，∴AA1⊥BM，又∵M(jìn)為棱AC的中點(diǎn)，AB＝BC，∴BM⊥AC。∵AA1∩AC＝A，AA1，AC?平面ACC1A1，∴BM⊥平面ACC1A1，∴BM⊥AC1.∵AC＝2，∴AM＝1。又∵AA1＝eq\r(2)，∴在Rt△ACC1和Rt△A1AM中，tan∠AC1C＝tan∠A1MA＝eq\r（2),∴∠AC1C＝∠A1MA,即∠AC1C＋∠C1AC＝∠A1MA＋∠C1AC＝90°，∴A1M⊥AC1。∵BM∩A1M＝M，BM，A1M?平面A1BM,∴AC1⊥平面A1BM.(3)解當(dāng)點(diǎn)N為BB1的中點(diǎn)，即eq\f（BN,BB1)＝eq\f（1，2）時(shí)，平面AC1N⊥平面AA1C1C。證明如下：設(shè)AC1的中點(diǎn)為D，連接DM,DN。∵D，M分別為AC1,AC的中點(diǎn),∴DM∥CC1,且DM＝eq\f(1，2）CC1.又∵N為BB1的中點(diǎn),∴DM∥BN,且DM＝BN，∴四邊形BNDM為平行四邊形，∴BM∥DN，∵BM⊥平面ACC1A1，∴DN⊥平面AA1C1C。又∵DN?平面AC1N，∴平面AC1N⊥平面AA1C1C.立體幾何證明問(wèn)題中的轉(zhuǎn)化思想典例(12分）如圖所示,M，N，K分別是正方體ABCD—A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中點(diǎn)．求證：(1）AN∥平面A1MK；(2)平面A1B1C⊥平面A1MK。思想方法指導(dǎo)（1)線面平行、垂直關(guān)系的證明問(wèn)題的指導(dǎo)思想是線線、線面、面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，交替使用平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理．(2)線線關(guān)系是線面關(guān)系、面面關(guān)系的基礎(chǔ)．證明過(guò)程中要注意利用平面幾何中的結(jié)論,如證明平行時(shí)常用的中位線、平行線分線段成比例；證明垂直時(shí)常用的等腰三角形的中線等．(3)證明過(guò)程一定要嚴(yán)謹(jǐn)，使用定理時(shí)要對(duì)照條件，步驟書(shū)寫(xiě)要規(guī)范．規(guī)范解答證明(1)如圖所示,連接NK。在正方體ABCD—A1B1C1D1中,∵四邊形AA1D1D，DD1C1C都為正方形，∴AA1∥DD1，AA1＝DD1，C1D1∥CD，C1D1＝CD。［2分］∵N，K分別為CD，C1D1的中點(diǎn)，∴DN∥D1K，DN＝D1K,∴四邊形DD1KN為平行四邊形，[3分］∴KN∥DD1，KN＝DD1，∴AA1∥KN，AA1＝KN，∴四邊形AA1KN為平行四邊形,∴AN∥A1K.[4分]又∵A1K?平面A1MK，AN?平面A1MK,∴AN∥平面A1MK。［6分］(2)如圖所示，連接BC1.在正方體ABCD—A1B1C1D1中,AB∥C1D1,AB＝C1D1.∵M(jìn)，K分別為AB,C1D1的中點(diǎn),∴BM∥C1K，BM＝C1K，∴四邊形BC1KM為平行四邊形,∴MK∥BC1。[8分］在正方體ABCD—A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C，BC1?平面BB1C1C，∴A1B1⊥BC1.∵M(jìn)K∥BC1，∴A1B1⊥MK.∵四邊形BB1C1C為正方形,∴BC1⊥B1C，[10分]∴MK⊥B1C。∵A1B1?平面A1B1C，B1C?平面A1B1C，A1B1∩B1C＝B1，∴MK⊥平面A1B1C。又∵M(jìn)K?平面A1MK，∴平面A1B1C⊥平面A1MK。［12分]1．若平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝直線l,則(）A．垂直于平面β的平面一定平行于平面αB．垂直于直線l的直線一定垂直于平面αC．垂直于平面β的平面一定平行于直線lD．垂直于直線l的平面一定與平面α,β都垂直答案D解析對(duì)于A,垂直于平面β的平面與平面α平行或相交，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，垂直于直線l的直線與平面α垂直、斜交、平行或在平面α內(nèi)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，垂直于平面β的平面與直線l平行或相交，故C錯(cuò)誤．D正確．2．（2017·深圳四校聯(lián)考)若平面α，β滿(mǎn)足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P?l，則下列命題中是假命題的為（)A．過(guò)點(diǎn)P垂直于平面α的直線平行于平面βB．過(guò)點(diǎn)P垂直于直線l的直線在平面α內(nèi)C．過(guò)點(diǎn)P垂直于平面β的直線在平面α內(nèi)D．過(guò)點(diǎn)P且在平面α內(nèi)垂直于l的直線必垂直于平面β答案B解析由于過(guò)點(diǎn)P垂直于平面α的直線必平行于平面β內(nèi)垂直于交線的直線，因此也平行于平面β，因此A正確；過(guò)點(diǎn)P垂直于直線l的直線有可能垂直于平面α,不一定在平面α內(nèi)，因此B不正確;根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理,知選項(xiàng)C，D正確．3．設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，l，m是兩條不同的直線，且l?α，m?β（）A．若l⊥β,則α⊥β B．若α⊥β，則l⊥mC．若l∥β，則α∥β D．若α∥β，則l∥m答案A解析選項(xiàng)A，∵l⊥β，l?α，∴α⊥β，A正確;選項(xiàng)B，α⊥β,l?α，m?β，l與m的位置關(guān)系不確定；選項(xiàng)C，∵l∥β，l?α,∴α∥β或α與β相交；選項(xiàng)D，∵α∥β，l?α，m?β，此時(shí)，l與m的位置關(guān)系不確定．故選A。4．（2017·中原名校聯(lián)盟聯(lián)考)已知m和n是兩條不同的直線，α和β是兩個(gè)不重合的平面，下面給出的條件中一定能推出m⊥β的是()A．α⊥β且m?α B．α⊥β且m∥αC．m∥n且n⊥β D．m⊥n且n∥β答案C解析對(duì)于選項(xiàng)A，由α⊥β且m?α，可得m∥β或m與β相交或m?β,故A不成立;對(duì)于選項(xiàng)B,由α⊥β且m∥α，可得m?β或m∥β或m與β相交，故B不成立；對(duì)于選項(xiàng)C，由m∥n且n⊥β，可得m⊥β，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，由m⊥n且n∥β，可得m∥β或m與β相交或m?β，故D不成立．故選C。5．(2018屆江西南昌摸底)如圖，在四棱錐P-ABCD中，△PAB與△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，則下列結(jié)論不一定成立的是（）A．PB⊥AC B．PD⊥平面ABCDC．AC⊥PD D．平面PBD⊥平面ABCD答案B解析取BP的中點(diǎn)O，連接OA，OC，則BP⊥OA，BP⊥OC，又因?yàn)镺A∩OC＝O，所以BP⊥平面OAC，所以BP⊥AC，故選項(xiàng)A正確；又AC⊥BD，BP∩BD＝B，得AC⊥平面BDP，又PD?平面BDP，所以AC⊥PD,平面PBD⊥平面ABCD，故選項(xiàng)C，D正確，故選B。6。如圖所示，直線PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB為⊙O的直徑，點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn)．現(xiàn)有結(jié)論：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③點(diǎn)B到平面PAC的距離等于線段BC的長(zhǎng)．其中正確的是(）A．①② B．①②③C．① D．②③答案B解析對(duì)于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC,∵AB為⊙O的直徑，∴BC⊥AC，∵AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC,又PC?平面PAC，∴BC⊥PC;對(duì)于②，∵點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn),∴OM∥PA，∵PA?平面PAC，OM?平面PAC，∴OM∥平面PAC;對(duì)于③,由①知BC⊥平面PAC，∴線段BC的長(zhǎng)即是點(diǎn)B到平面PAC的距離,故①②③都正確．7。如圖,已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．答案4解析∵PA⊥平面ABC,AB,AC,BC?平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC,則△PAB,△PAC為直角三角形．由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，得BC⊥平面PAC,從而B(niǎo)C⊥PC,因此△ABC，△PBC也是直角三角形．8．（2018·洛陽(yáng)模擬）如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等,M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿(mǎn)足________時(shí),平面MBD⊥平面PCD。(只要填寫(xiě)一個(gè)你認(rèn)為正確的條件即可)答案DM⊥PC（或BM⊥PC等）解析∵PA⊥底面ABCD,∴BD⊥PA，連接AC，則BD⊥AC，且PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC,∴BD⊥PC。∴當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時(shí),即有PC⊥平面MBD,而PC?平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.9。如圖，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，則在△ABC和△PAC的邊所在的直線中,與PC垂直的直線有________；與AP垂直的直線有________．答案AB，BC，ACAB解析∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直線AB,BC，AC；∵AB⊥AC,AB⊥PC,AC∩PC＝C，∴AB⊥平面PAC，∴與AP垂直的直線是AB.10.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱長(zhǎng)為2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°,D是A1B1的中點(diǎn)，F(xiàn)是BB1上的動(dòng)點(diǎn)，AB1，DF交于點(diǎn)E，要使AB1⊥平面C1DF，則線段B1F的長(zhǎng)為_(kāi)_______．答案eq\f(1，2）解析設(shè)B1F＝x，因?yàn)锳B1⊥平面C1DF，DF?平面C1DF,所以AB1⊥DF.由已知可得A1B1＝eq\r（2),設(shè)Rt△AA1B1斜邊AB1上的高為h，則DE＝eq\f(1，2)h。又eq\f(1,2)×2×eq\r(2）＝eq\f(1,2)×heq\r（22＋\r（2）2)，所以h＝eq\f(2\r(3）,3)，DE＝eq\f（\r（3）,3).在Rt△DB1E中，B1E＝eq\r(\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(\r(2）,2）））2－\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（\r(3)，3)))2）＝eq\f（\r(6）,6）。由面積相等得eq\f（1,2)×eq\f（\r（6)，6）×eq\r(x2＋\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(\r（2），2）))2)＝eq\f(1，2）×eq\f(\r(2)，2）x,得x＝eq\f(1，2)。11.(2017·長(zhǎng)春二檢)如圖，在三棱錐A—BCD中,△ABC是等腰直角三角形，且AC⊥BC，BC＝2，AD⊥平面BCD，AD＝1。(1）求證:平面ABC⊥平面ACD；（2）若E為AB的中點(diǎn)，求點(diǎn)A到平面CED的距離．(1）證明因?yàn)锳D⊥平面BCD，BC?平面BCD，所以AD⊥BC，又AC⊥BC，AC∩AD＝A,AC，AD?平面ABCD,所以BC⊥平面ACD，因?yàn)锽C?平面ABC，所以平面ABC⊥平面ACD。（2）解由已知可得CD＝eq\r(3)，取CD的中點(diǎn)F,連接EF，因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，所以ED＝EC＝eq\f(1,2)AB＝eq\r（2)，所以△ECD為等腰三角形,從而EF＝eq\f（\r(5)，2)，所以S△ECD＝eq\f（1，2)×eq\r(3)×eq\f（\r（5)，2)＝eq\f（\r(15），4).由（1)知BC⊥平面ACD，所以E到平面ACD的距離為1，S△ACD＝eq\f（1，2）×eq\r（3）×1＝eq\f（\r(3），2）。設(shè)點(diǎn)A到平面CED的距離為d，則V三棱錐A-ECD＝eq\f(1,3）·S△ECD·d＝V三棱錐E—ACD＝eq\f（1，3)·S△ACD·1，解得d＝eq\f（2\r（5)，5）。12。如圖,在四棱錐P—ABCD中,PC＝AD＝CD＝eq\f(1,2）AB＝2，AB∥DC，AD⊥CD,PC⊥平面ABCD。（1)求證：BC⊥平面PAC；(2)若M為線段PA的中點(diǎn)，且過(guò)C，D，M三點(diǎn)的平面與線段PB交于點(diǎn)N，確定點(diǎn)N的位置，說(shuō)明理由；并求三棱錐A-CMN的高．（1)證明連接AC，在直角梯形ABCD中，AC＝eq\r（AD2＋DC2）＝2eq\r（2），BC＝eq\r(AB－CD2＋AD2)＝2eq\r(2)，所以AC2＋BC2＝AB2,即AC⊥BC。又PC⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PC⊥BC，又AC∩PC＝C,AC，PC?平面PAC，故BC⊥平面PAC。(2）解N為PB的中點(diǎn)，連接MN，CN.因?yàn)镸為PA的中點(diǎn)，N為PB的中點(diǎn),所以MN∥AB，且MN＝eq\f(1,2)AB＝2.又因?yàn)锳B∥CD，所以MN∥CD，所以M，N，C，D四點(diǎn)共面，所以N為過(guò)C，D,M三點(diǎn)的平面與線段PB的交點(diǎn)．因?yàn)锽C⊥平面PAC，N為PB的中點(diǎn)，所以點(diǎn)N到平面PAC的距離d＝eq\f(1,2）BC＝eq\r（2).又S△ACM＝eq\f（1，2)S△ACP＝eq\f(1，2）×eq\f（1，2）×AC×PC＝eq\r（2)，所以V三棱錐N—ACM＝eq\f(1,3)×eq\r（2）×eq\r(2）＝eq\f(2,3)。由題意可知,在Rt△PCA中，PA＝eq\r（AC2＋PC2)＝2eq\r(3),CM＝eq\r(3)，在Rt△PCB中，PB＝eq\r（BC2＋PC2)＝2eq\r(3),CN＝eq\r（3），所以S△CMN＝eq\f(1,2）×2×eq\r(2）＝eq\r(2)。設(shè)三棱錐A—CMN的高為h，V三棱錐N-ACM＝V三棱錐A-CMN＝eq\f（1，3)×eq\r（2)×h＝eq\f（2,3)，解得h＝eq\r(2)，故三棱錐A-CMN的高為eq\r（2）。13．(2018屆南寧市聯(lián)考)如圖，在正方形ABCD中，E,F分別是BC，CD的中點(diǎn)，G是EF的中點(diǎn)．現(xiàn)在沿AE,AF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)空間圖形，使B，C，D三點(diǎn)重合,重合后的點(diǎn)記為H。下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是________．(填序號(hào))①AG⊥△EFH所在平面；②AH⊥△EFH所在平面；③HF⊥△AEF所在平面；④HG⊥△AEF所在平面．答案①③④解析折之前AG⊥EF，CG⊥EF，折之后也垂直，所以EF⊥平面AHG,折之前∠B，∠D，∠C均為直角，折之后三點(diǎn)重合，所以折之后AH，EH,FH三條直線兩兩垂直，所以AH⊥△EFH所在平面，②對(duì)；同時(shí)可知AH⊥HG，又HF⊥△AEH所在平面，過(guò)AE不可能做兩個(gè)平面與直線HF垂直,③錯(cuò)；如果HG⊥△AEF所在平面,則有HG⊥AG，與②中AH⊥HG矛盾，④錯(cuò)；若AG⊥△EFH所在平面，則有AG⊥HG，與②中AH⊥HG矛盾，所以①也錯(cuò)．

14。如圖，PA⊥圓O所在的平面,AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點(diǎn)，E,F分別是點(diǎn)A在PB,PC