初二秋季·第2講·提高班·教師版三角形9級全等三角形的經(jīng)典模型（二）三角形8級全等三角形的經(jīng)典模型（一）三角形7級倍長中線與截長補(bǔ)短秋季班第四講秋季班第三講秋季班第二講倍長中線與截長補(bǔ)短滿分晉級漫畫釋義2倍長中線與截長補(bǔ)短定義示例剖析倍長中線：即延長三角形的中線，使得延長后的線段是原中線的兩倍．其目的是構(gòu)造一對對頂?shù)娜热切?；其本質(zhì)是轉(zhuǎn)移邊和角．EDABC其中BDCD，延長AD使得DEAD，則BDECDA△≌△．【例1】已知ABC△中，AD平分BAC，且BDCD，求證：ABAC．【解析】延長AD到E，使DEAD，連接CE．則CDEBDA△≌△，∴CEAB，CEDBAD，∵AD平分BAC，∴BADCAD，∴CEDCAD，∴CEAC，思路導(dǎo)航例題精講知識互聯(lián)網(wǎng)題型一：倍長中線EABCDABCD再證△BPC≌△DNC(SAS)易證△PCN為等腰直角三角形，又∵PM=MN，∴PM⊥MC,且PM=CM．定義示例剖析截長：即在一條較長的線段上截取一段較短的線段DCBA在線段AB上截取ADAC補(bǔ)短：即在較短的線段上補(bǔ)一段線段使其和較長的線段相等ABCD延長AC，使得ADAB【例5】在ABC△中，A的平分線交BC于D，ABACCD，40B，求C的大?。ㄏＭ嘤?xùn)題）DCBAEDCBA例題精講思路導(dǎo)航題型二：截長補(bǔ)短GFECBDAADBCEF【解析】數(shù)量關(guān)系為：EF=BFDE．理由如下：在BC上截取BG，使得BG=DF，連接AG由四邊形ABCD是正方形得ADE=ABG=90°，AD=AB又DE=BG∴△ADE≌△ABG（SAS）∴EAD=GAB，AE=AG由四邊形ABCD是正方形得DAB°=90=DAG+GAB=DAG+EAD=GAE∴GAF=GAEEAF=90°45°=45°∴GAF=EAF=45°又∵AG=AE，AF=AF∴△EAF≌△GAF（SAS）∴EF=GF=BFBG=BFDE【變式三】正方形ABCD中，點(diǎn)E在DC延長線上，點(diǎn)F在CB延長線上，EAF=45°，請問現(xiàn)在EF、DE、BF又有什么數(shù)量關(guān)系？FECBDAADBCEFG【解析】數(shù)量關(guān)系為：EF=DEBF.理由如下：在DC上截取DG，使得DG=BF，連接AG由四邊形ABCD是正方形得ADG=ABF=90°，AD=AB又∵DG=BF∴△ADG≌△ABF（SAS）∴GAD=FAB，AG=AF由四邊形ABCD是正方形得DAB=90°=DAG+GAB=BAF+GAB=GAF∴GAE=GAFEAF=90°45°=45°∴GAE=FAE=45°又∵AG=AF，AE=AE∴△EAG≌△EAF（SAS）∴EF=EG=EDGD=DEBF【變式四】正三角形ABC中，E在AB上，F(xiàn)在AC上EDF=60°，DB=DC，BDC=120°，請問現(xiàn)在EF、BE、CF又有什么數(shù)量關(guān)系？HGADBCEFFECBDA【解析】延長CD到點(diǎn)G，使得DG=BF，連接AG，過E作EHAG前面如變式一所證，△ADG≌△ABF，△EAG≌△EAFGAD=FAB°=30，S△EAG=S△EAF在Rt△ADG中，GAD=30°，AD=3∴AGD=60°，AG=2設(shè)EH=x在Rt△EGH中和Rt△EHA中∵AGD=60°，HAE=45°∴HG=33x，AH=xAG=2=HG+AH=33xx，∴EH=x=33S△EAG=S△EAF=12EHAG=3．【例8】已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長線）于點(diǎn)M、N．

∴AM=AE；∠MAB=∠EAD．易證AMNAEN△≌△（SAS）．∴MNEN．∵DNDEEN，∴DNBMMN．第十五種品格：創(chuàng)新巧問巧答從前，有個(gè)有智慧的國王在大臣們的陪同下，來到御花園散步。國王瞧著前面的水池，忽然心血來潮，靈機(jī)一動，出了一個(gè)題目考問身邊的大臣：“這水池里共有多少桶水？”眾臣一聽，面面相覷，全答不上來。國王發(fā)旨：“給你們?nèi)炜紤]，誰回答上來就重賞！”大臣們用桶量來量去，怎么也量不出一個(gè)確切數(shù)據(jù)。很快三天到了，大臣們?nèi)砸换I莫展。就在此時(shí)，一個(gè)少年走向?qū)m殿，向國王聲稱自己知道池塘有多少桶水。國王命令那些戰(zhàn)戰(zhàn)兢兢的大臣帶少年去看池塘。少年輕松地笑道：“不用看了，這個(gè)問題太容易了！”國王樂了：“哦，那你就說說吧。”少年眨了眨眼說：“這個(gè)問題關(guān)鍵取決于桶的大小，如果和水池一樣大，那池里就是一桶水；如果桶只有水池的一半大，那池里就有兩桶水；如果桶只有水池的三分