9-1目錄1.系統(tǒng)數(shù)學(xué)描述的兩種基本類型2.系統(tǒng)數(shù)學(xué)描述中常用的基本概念3.系統(tǒng)狀態(tài)空間描述常用的基本概念4.線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立5.線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解6.系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣7.線性離散系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立及其解第九章線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合當(dāng)前1頁，總共75頁。系統(tǒng)描述中的基本概念若系統(tǒng)的輸出由輸入唯一確定,則稱系統(tǒng)在是松弛的。1.系統(tǒng)：一些相互制約的部分所構(gòu)成的整體。2.輸入和輸出:輸入:由外部施加到系統(tǒng)上的全部激勵(lì)輸出:從外部量測(cè)到的來自系統(tǒng)的信息3.系統(tǒng)數(shù)學(xué)描述的兩種類型：1)系統(tǒng)的外部描述→傳遞函數(shù)2)系統(tǒng)的內(nèi)部描述→狀態(tài)空間表達(dá)式

4.松弛性:系統(tǒng)描述中常用的基本概念當(dāng)前2頁，總共75頁。5.線性:一個(gè)松弛系統(tǒng),當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任何輸入及任意常數(shù),

均有

則該系統(tǒng)稱為線性的，否則為非線性。6.定常性（時(shí)不變性）:基本概念續(xù)(可加性)(齊次性)一個(gè)松弛系統(tǒng)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任何輸入u和任意實(shí)數(shù),均有則稱系統(tǒng)是定常的,否則稱為時(shí)變的。

狀態(tài)空間的基本概念當(dāng)前3頁，總共75頁。狀態(tài)空間的基本概念

1.狀態(tài)

系統(tǒng)在時(shí)間域中的行為或運(yùn)動(dòng)信息的集合2.狀態(tài)變量

完全表征系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的最小一組變量。一般記為3.狀態(tài)向量

描述系統(tǒng)狀態(tài)的n個(gè)狀態(tài)變量看作向量的分量

向量稱為維狀態(tài)向量.4.狀態(tài)空間

以n個(gè)狀態(tài)變量作為坐標(biāo)軸所組成的n維空間.狀態(tài)空間的基本概念當(dāng)前4頁，總共75頁。續(xù)5.狀態(tài)方程：描述系統(tǒng)狀態(tài)變量與輸入變量之間關(guān)系的一階微分方程組(連續(xù)系統(tǒng))或一階差分方程組(離散系統(tǒng))

6.輸出方程：

描述系統(tǒng)輸出變量與系統(tǒng)狀態(tài)變量和輸入變量之間函數(shù)關(guān)系的代數(shù)方程

7.狀態(tài)空間表達(dá)式(動(dòng)態(tài)方程)：{A，B，C，D}

當(dāng)前5頁，總共75頁。狀態(tài)方程…輸出方程…Y(s)G(s)U(s)狀態(tài)空間描述法示意圖線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式

狀態(tài)空間描述法示意圖狀態(tài)空間的幾個(gè)重要概念當(dāng)前6頁，總共75頁。線性離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式：

線性定常系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式

A為系統(tǒng)矩陣B為輸入矩陣C為輸出矩陣D為輸入-輸出矩陣,一般控制系統(tǒng)中,通常情況D=0。輸入向量用u(t)表示，個(gè)數(shù)為：p個(gè)輸出向量用y(t)表示，個(gè)數(shù)為：q個(gè)狀態(tài)向量用x(t)表示，個(gè)數(shù)為：n個(gè)狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)空間的幾個(gè)重要概念線性離散系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式：當(dāng)前7頁，總共75頁。一.不同系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的特點(diǎn)——又稱動(dòng)態(tài)方程1.一般形式3.線性系統(tǒng)：若系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式中，f

和g均為線性函數(shù)，則稱線性系統(tǒng)2.自治系統(tǒng)：在系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式中，函數(shù)f和g均不顯含時(shí)間t，則稱自治系統(tǒng)。動(dòng)態(tài)方程線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立當(dāng)前8頁，總共75頁。4.線性定常系統(tǒng)：若A，B，C，D與時(shí)間無關(guān)，為常數(shù)。二、狀態(tài)空間表達(dá)式的結(jié)構(gòu)圖狀態(tài)空間表達(dá)式結(jié)構(gòu)圖有三種基本單元：（1）積分器（2）加法器（3）比例器

線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立狀態(tài)空間表達(dá)式的結(jié)構(gòu)圖當(dāng)前9頁，總共75頁。繪制步驟：1）在適當(dāng)位置畫出積分器，其個(gè)數(shù)=狀態(tài)變量個(gè)數(shù)每個(gè)積分器的輸出等于對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量

2）由狀態(tài)方程和輸出方程畫出加法器和比例器

3）箭頭連接各部分繪制步驟

線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立當(dāng)前10頁，總共75頁?！纠糠治觯罕鞠到y(tǒng)狀態(tài)變量有三個(gè)一個(gè)輸入量u，一個(gè)輸出量y，（p=1,q=1）解：

系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖（或狀態(tài)變量圖）如下：

繪制結(jié)構(gòu)圖

線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立當(dāng)前11頁，總共75頁。1.從系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖出發(fā)三.狀態(tài)空間表達(dá)式的建立1.從系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖出發(fā)-6-6-11-6

線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立當(dāng)前12頁，總共75頁。解：

狀態(tài)變量的選取有三種途徑：（1）選取系統(tǒng)的儲(chǔ)能元件的輸出量作為狀態(tài)變量----從機(jī)理出發(fā)（2）選取系統(tǒng)的輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)（3）選擇使系統(tǒng)狀態(tài)方程為某標(biāo)準(zhǔn)形式的變量2.從系統(tǒng)機(jī)理出發(fā)2.從系統(tǒng)機(jī)理出發(fā)

線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立當(dāng)前13頁，總共75頁。[例].列寫RLC網(wǎng)格的電路方程，選擇幾組狀態(tài)變量并建立相應(yīng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。解：法一：選為系統(tǒng)的狀態(tài)變量則例9-1

線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立當(dāng)前14頁，總共75頁。解：寫成矩陣-向量形式為：法二：選為系統(tǒng)的狀態(tài)變量則寫成矩陣-向量形式為：例9-1續(xù)

線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立當(dāng)前15頁，總共75頁。結(jié)論：(1).狀態(tài)變量選取具有非唯一性，但狀態(tài)變量個(gè)數(shù)相同=系統(tǒng)的階次；(2).狀態(tài)變量具有獨(dú)立性；(3).不同組狀態(tài)變量之間可做等價(jià)變換，稱作狀態(tài)的線性變換。例9-1續(xù)

線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立當(dāng)前16頁，總共75頁。【例】試列寫機(jī)械運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)以質(zhì)量M的位移y為輸出的狀態(tài)空間表達(dá)式。MkfyF(外力)解：令x1=y2x=vu=F例題

線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立當(dāng)前17頁，總共75頁。3.從微分方程出發(fā)a.系統(tǒng)輸入量中不含導(dǎo)數(shù)項(xiàng)關(guān)鍵：選取輸出量導(dǎo)數(shù)為狀態(tài)變量【例】設(shè)系統(tǒng)uyyyy67416=+++&&&&&&解:選擇狀態(tài)變量令：

3.從微分方程出發(fā)

線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立當(dāng)前18頁，總共75頁。則:b.系統(tǒng)輸入量中含有導(dǎo)數(shù)原則：使?fàn)顟B(tài)方程不含u的導(dǎo)數(shù)。系統(tǒng)輸入量中含有導(dǎo)數(shù)線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立當(dāng)前19頁，總共75頁。由上式求導(dǎo)得：整理得：則：續(xù)

線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立當(dāng)前20頁，總共75頁。注

意：這種方法不適用。可先將微分方程畫為傳遞函數(shù)，然后再由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式。注

意

線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立當(dāng)前21頁，總共75頁。【例】狀態(tài)空間表達(dá)式為：例題線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立當(dāng)前22頁，總共75頁。4.從傳遞函數(shù)出發(fā)線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立4從傳遞函數(shù)出發(fā)由傳遞函數(shù)出發(fā)直接求出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式,屬于系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)問題當(dāng)前23頁，總共75頁。1)直接分解法線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立U(s)Z(s)Y(s)1)直接分解法當(dāng)前24頁，總共75頁。A)可控標(biāo)準(zhǔn)形將分解為兩部分串聯(lián)，為中間變量，應(yīng)滿足：選取狀態(tài)變量：，，，…，A)可控標(biāo)準(zhǔn)形線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立當(dāng)前25頁，總共75頁。結(jié)論：若系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式中，A，b所示如上，稱此狀態(tài)空間表達(dá)式為可控標(biāo)準(zhǔn)形。整理得:結(jié)論

線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立當(dāng)前26頁，總共75頁。B)可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立結(jié)論：若系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式中，A，c所示如上，稱此狀態(tài)空間表達(dá)式為可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形。B)可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形當(dāng)前27頁，總共75頁。【例】已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為，試求狀態(tài)空間表式。解：（1）可控標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式為：其中：（2）可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式為：其中：可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形例題線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立當(dāng)前28頁，總共75頁。2)串聯(lián)分解法--適用于傳遞函數(shù)乘積形式A)式中：2)串聯(lián)分解法A)只含單根線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立當(dāng)前29頁，總共75頁。取狀態(tài)變量：向量—矩陣形式為：續(xù)線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立當(dāng)前30頁，總共75頁。試求狀態(tài)空間表達(dá)式。解：

【例】已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為其中：

狀態(tài)空間表達(dá)式為：串聯(lián)分解法例題

線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立當(dāng)前31頁，總共75頁?！纠緽)有重極點(diǎn)

線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立當(dāng)前32頁，總共75頁。B)有重極點(diǎn)線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立當(dāng)前33頁，總共75頁。其中：狀態(tài)空間表達(dá)式為：有重極點(diǎn)例題

線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立【例】已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為，試求約當(dāng)型狀態(tài)空間表達(dá)式。解：當(dāng)前34頁，總共75頁。狀態(tài)空間的線性變換

狀態(tài)空間的線性變換目的：同一系統(tǒng)選取不同的狀態(tài)變量便有不同形式的動(dòng)態(tài)方程，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行

線性變換，便于揭示系統(tǒng)特性及分析和綜合設(shè)計(jì),且不會(huì)改變系統(tǒng)的性質(zhì)。

稱狀態(tài)空間的線性變換。對(duì)于狀態(tài)變量x，有非奇異矩陣P，使變換后系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：

式中：

當(dāng)前35頁，總共75頁。[例]系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為取使線性變換例題狀態(tài)空間的線性變換結(jié)論：狀態(tài)變量經(jīng)過某種變換，化“A”陣為對(duì)角化后，解除了系統(tǒng)狀態(tài)的耦合，為研究系統(tǒng)提供的方便。當(dāng)前36頁，總共75頁。結(jié)論：狀態(tài)變量經(jīng)過某種變換，特征值的不變性二.系統(tǒng)特征值的不變性對(duì)于狀態(tài)變量x，有非奇異矩陣P，使系統(tǒng)特征值的不變性狀態(tài)空間的線性變換當(dāng)前37頁，總共75頁。三.系統(tǒng)矩陣A的規(guī)范化——對(duì)角化、約當(dāng)化、模態(tài)式化1.對(duì)角化定理1：1.對(duì)角化狀態(tài)空間的線性變換當(dāng)前38頁，總共75頁。續(xù)

狀態(tài)空間的線性變換當(dāng)前39頁，總共75頁。A具有重特征值所對(duì)應(yīng)的獨(dú)立向量仍為m個(gè)其它(n-m)個(gè)特征值互異，則仍可將A化為對(duì)角形，且定理2定理2狀態(tài)空間的線性變換當(dāng)前40頁，總共75頁。【例】試將下列系統(tǒng)狀態(tài)方程變換為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型。

由系統(tǒng)特征多項(xiàng)式解出特征值為解：

可由，進(jìn)而求出。令對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型例題狀態(tài)空間的線性變換當(dāng)前41頁，總共75頁。由，有

解出，則

即:續(xù)狀態(tài)空間的線性變換當(dāng)前42頁，總共75頁。只有一個(gè)獨(dú)立向量則只能將A化為約當(dāng)陣定理12.化A為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形A

陣為“友”矩陣，具有重特征值m階約當(dāng)塊與之對(duì)應(yīng)，其余(n-m)個(gè)特征值互異,2.化A為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形定理1狀態(tài)空間的線性變換當(dāng)前43頁，總共75頁。2.化A為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形定理2式中A具有重特征值其余(n-m)個(gè)特征值互異則可將A化為約當(dāng)化定理2：2.化A為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形m階約當(dāng)塊狀態(tài)空間的線性變換當(dāng)前44頁，總共75頁。續(xù)與m階約當(dāng)塊對(duì)應(yīng)的特征向量為：狀態(tài)空間的線性變換當(dāng)前45頁，總共75頁。3.化A為模式化矩陣設(shè)A為二階矩陣1）2）3.化A為模式化矩陣狀態(tài)空間的線性變換當(dāng)前46頁，總共75頁。齊次狀態(tài)方程的解1.冪級(jí)數(shù)法【例】解：一、齊次狀態(tài)方程的解齊次狀態(tài)方程指輸入為零的狀態(tài)方程，即反映系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的狀況（即沒有輸入作用的狀況）。

有兩種常見解法：（1）冪級(jí)數(shù)法；（2）拉氏變換法。

線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解當(dāng)前47頁，總共75頁。1.冪級(jí)數(shù)法1.冪級(jí)數(shù)法【例】解：線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解【例】當(dāng)前48頁，總共75頁。2.拉氏變換法將兩端取拉氏變換，有2.拉氏變換法線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解拉氏反變換，有則當(dāng)前49頁，總共75頁?！纠吭嚽鬆顟B(tài)方程的解。，初始條件為解：拉氏變換法例題線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解則：當(dāng)前50頁，總共75頁。三、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)[要求熟練掌握]

證明：

有成立

狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解當(dāng)前51頁，總共75頁。5.

6.7.證明：續(xù)線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解當(dāng)前52頁，總共75頁。【例】

已知狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為

，試求和A。

（2）根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣性質(zhì)2知：

解：（1）根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可知：例題

線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解當(dāng)前53頁，總共75頁。1.

2.

四、常見的求解常見的三種求解方法1、2

線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解當(dāng)前54頁，總共75頁。3線性變換法常見的三種求解方法3

線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解當(dāng)前55頁，總共75頁。解：根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)可知

【例】已知

試求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。線性變換法例題

線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解當(dāng)前56頁，總共75頁。五、線性連續(xù)定常非齊次狀態(tài)方程的解線性定常非齊次狀態(tài)方程：，求。1、直接積分法由于

所以非齊次狀態(tài)方程的解

線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解當(dāng)前57頁，總共75頁。1.直接積分法1、直接積分法由于

所以

線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解注意：若取作為初始時(shí)刻，積分可得：當(dāng)前58頁，總共75頁。

2.拉氏變換法，

兩邊同時(shí)取拉氏變換2.拉氏變換法線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解當(dāng)前59頁，總共75頁。

【例】

已知系統(tǒng)狀態(tài)方程為，輸入初始條件為，試求解此非齊次狀態(tài)方程。解：

由

拉氏變換法例題線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解故當(dāng)前60頁，總共75頁。傳遞函數(shù)矩陣1.定義

系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣對(duì)于多輸入-多輸出系統(tǒng),需要討論傳遞函數(shù)矩陣。1.定義初始條件為零時(shí),輸出向量的拉氏變換式與輸入向量的拉氏變換式之間的傳遞關(guān)系稱為傳遞函數(shù)矩陣,簡(jiǎn)稱傳遞矩陣。

設(shè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為令初始條件為零,進(jìn)行拉氏變換有,系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣表達(dá)式為輸入為維向量,輸出為維向量,則為矩陣

當(dāng)前61頁，總共75頁。

[例]

已知系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為試求系統(tǒng)的傳遞矩陣。解:,故求系統(tǒng)的傳遞矩陣系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣當(dāng)前62頁，總共75頁。2.不變性3.開閉環(huán)傳遞矩陣

系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣2.不變性

系統(tǒng)經(jīng)過狀態(tài)變換后，特征值與特征方程不變性

傳遞函數(shù)矩陣不變性3.開環(huán)與閉環(huán)傳遞矩陣G(s)H(s)開環(huán)傳遞矩陣

--H(s)G(s)閉環(huán)傳遞矩陣當(dāng)前63頁，總共75頁。

3.解耦系統(tǒng)的傳遞矩陣耦合:MIMO系統(tǒng)中每個(gè)輸入控制所有全部輸出或者說每個(gè)輸出受控于所有全部輸入解耦系統(tǒng)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣當(dāng)前64頁，總共75頁。解耦系統(tǒng)標(biāo)志：解耦系統(tǒng)的傳遞矩陣具有對(duì)角線矩陣形式定義：系統(tǒng){A,B,C}傳遞函數(shù)陣G(s)為對(duì)角化的非奇異陣，稱系統(tǒng){A,B,C}為解耦系統(tǒng)解耦系統(tǒng)標(biāo)志

系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣當(dāng)前65頁，總共75頁。a)用串聯(lián)補(bǔ)償器Gc(s）實(shí)現(xiàn)解耦U(s)U(s)HY(s)E(s)Z(s)用串聯(lián)補(bǔ)償器實(shí)現(xiàn)解耦

系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣當(dāng)前66頁，總共75頁。用前饋補(bǔ)償器實(shí)現(xiàn)解耦

系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣b）用前饋補(bǔ)償器Gd(s）實(shí)現(xiàn)解耦U(s)Y(s)E