5.1.1變化率問題——拋物線的切線的斜率5.1導數(shù)的概念及其意義微積分的創(chuàng)立與處理四類科學問題直接相關：一、是已知物體運動的路程作為時間的函數(shù)，求物體在任意時刻的速度與加速度，反之，已知物體的加速度作為時間的函數(shù)，求速度與路程；二、是求曲線的切線；三、是求函數(shù)的最大值與最小值；四、是求長度、面積、體積和重心等.

歷史上科學家們對這些問題的興趣和研究經(jīng)久不衰，終于在17世紀中葉，牛頓和萊布尼茨在前人探索與研究的基礎上，憑著他們敏銳的直覺和豐富的想象力，各自獨立地創(chuàng)立了微積分.艾薩克·牛頓(1643.1.4-1727.3.31)英國著名的物理學家、數(shù)學家.物理的盡頭是數(shù)學萊布尼茨(1646.7.1-1716.11.14),德國哲學家、數(shù)學家微積分符號創(chuàng)始人物體運動的平均速度物體運動的瞬時速度無限逼近取極限(1)平均速度：(2)瞬時速度：1.瞬時速度的本質(zhì)是平均速度的極限.2.求物體在時刻t0的瞬時速度一般步驟：復習引入“當Δt無限趨近于0時，平均速度的極限為瞬時速度”在獲得知識的過程中用到了特殊到一般、極限思想極限符號問題2：拋物線的切線的斜率思考：如何求過圓上一點的切線方程？

探究：我們知道斜率是確定直線的一個要素，如何求拋物線f(x)=x2在點P0(1,1)處的切線的斜率呢？問題探究

對于一般的曲線C，如何確定它的切線呢？P0探究：對于拋物線f(x)=x2，應該如何定義它點P0(1,1)處的切線呢？類比上節(jié)課的研究瞬時速度思路，為了研究拋物線f(x)=x2在點P0(1,1)處的切線，我們通常在點P0(1,1)的附近任取一點P(x,x2)，考察拋物線f(x)=x2的割線P0P的變化情況.問題探究觀察：將點P逐漸靠近點P0，觀察割線P0P的位置變化情況.T當點P無限趨近于點P0時，割線P0P無限趨近于一個確定的位置，這個確定的位置的直線P0T稱為拋物線f(x)=x2在點P0(1,1)處的切線.P問題探究PTP0割線位置切線位置無限逼近割線斜率切線斜率無限逼近取極限割線P0P的斜率為：記點P的橫坐標x=1+Δx，則點P的坐標為

(1+Δx,(1+Δx)2).切線P0T的斜率為：探究：對于拋物線f(x)=x2，應該如何定義它點P0(1,1)處的切線呢？探究：對于拋物線f(x)=x2，應該如何定義它點P0(1,1)處的切線呢？問題探究PTP0割線位置切線位置無限逼近割線斜率切線斜率無限逼近取極限切線P0T的斜率為：從幾何圖形上看，當橫坐標間隔|Δx|無限變小時，當點P無限趨近于點P0時，割線P0P無限趨近于點P0處的切線P0T

.

割線P0P的斜率k無限趨近于點P0處的切線的斜率k0.因此，切線P0T的斜率k0=2.小結(jié)：當Δx無限趨近于0，即x無論是從小于1的一邊，還是從大于1的一邊無限趨近于1時，割線斜率k無限趨近于2.問題探究概念深化觀察問題1中的函數(shù)：

的圖像（右圖），平均速度：的幾何意義是什么？瞬時速度v(1)呢？

過點(1，h(1)）、(1+Δt,h(1+Δt))的割線的斜率過點(1，h(1)）的切線的斜率小結(jié)：切線的斜率是割線的斜率的極限值；切線斜率的本質(zhì)是瞬時變化率。th1O?(1,h(1))?(1+?t,h(1+?t))例1已知拋物線f(x)=x2+2x，求：（1）拋物線在點P

(1,3)處切線的斜率；（2）拋物線在點P

(1,3)處切線方程。例題講解∴拋物線f(x)=x2+2x在點P

(1,3)處切線的斜率為：總結(jié)：求曲線在點p(x0,f(x0)處切線的方程，一般步驟：(1)先求割線的斜率：(2)再對割線的斜率取極限得切線的斜率：(3)點斜式寫出切線方程。例2求拋物線f(x)=2x2-1在x=1處的切線方程.例題講解解：1.你認為應該怎樣定義拋物線f(x)=x2在點(x0,x02)處的切線?試求拋物線f(x)=x2在點(－1,1)處切線的斜率.課本P642.求拋物線f(x)=x2+1在點(0,1)處的切線方程.課本P64物體運動的平均速度物體運動的瞬時速度函數(shù)的平均變化率函數(shù)的瞬時變化率幾何意義割線的斜率幾何意義切線的斜率無限逼近無限逼近課堂小結(jié)小結(jié)：切線的斜率是割線的斜率的極限值；切線斜率的本質(zhì)是瞬時變化率。作業(yè)：教材