第十九

轉(zhuǎn)化靈的圓中角角是幾何圖形中最重要的元素明兩直線位置關(guān)系運(yùn)用全等三角形法相似三角形法都要涉及角，而圓的特征，賦予角極強(qiáng)的活性，使得角能靈活地互相轉(zhuǎn)化．根據(jù)圓心角與圓周角的倍半關(guān)系，可實(shí)現(xiàn)圓心角與圓周角的轉(zhuǎn)化；由同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等可圓周角在大不變的情況下變頂點(diǎn)在圓上的位置進(jìn)行探索由圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)和外角等于內(nèi)對(duì)角，可將與圓有關(guān)的角互相聯(lián)系起來．熟悉以下基本圖形、基本結(jié)論．注：根據(jù)頂點(diǎn)、角的兩邊與圓的位置關(guān)系，我們定義了圓心角與圓周角，類似地，當(dāng)角的頂點(diǎn)在圓外或圓內(nèi)們以定義外角與圓內(nèi)角兩類角分別與它們的所夾弧度數(shù)有怎樣的關(guān)系者可自行作一番探討．【題解【例】如，直線與⊙O交于A，B點(diǎn)，點(diǎn)O在AB上點(diǎn)在上且AOC40°，點(diǎn)是線AB上個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)O不重合，直線交于一點(diǎn)，則使DE=DO的正共有個(gè)．思點(diǎn)在直線AB上的點(diǎn)與O有樣的位置關(guān)?分點(diǎn)E在AB上在O內(nèi)、在BAAB的長線上(E點(diǎn)⊙O外)三種情況考慮，通過角度的計(jì)算，確定E點(diǎn)位置、存在的個(gè)數(shù)．注：弧聯(lián)系與圓有關(guān)的角的介到角，由角看弧”是促使與圓有關(guān)的角相互轉(zhuǎn)化的基本方法．【例】如圖已知△ABC為腰直角三形D為邊的點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A、的與邊ABACBC分相交于點(diǎn)M對(duì)于如下五個(gè)結(jié)論①∠FMC=45°②AE+AF＝；③()

BAEFBC

；④2BM=BF×；⑤四邊形AEMF為矩形．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是A2個(gè)

B．3個(gè)

C．個(gè)

D．5個(gè)思點(diǎn)充分運(yùn)用與圓有關(guān)的角找殊三角形特殊四邊形似三角一驗(yàn)證．/

22；(2)22；(2)注：多重選擇單選化是近年出現(xiàn)的一種新題型，解這類問題條重組與整合，挖掘隱合條件，作深入的探究，方能作出小正確的選擇．【例】如，已知四邊形ABCD外⊙O的徑為5對(duì)角線AC與的點(diǎn)為，且AB=AEAC，＝，求△ABD的積．思點(diǎn)條件出發(fā)，利用相似三角形、圓中角可推得A為BD點(diǎn)，這是解本例的關(guān)鍵．【例4】如圖已知AB是⊙O的徑C是O上一點(diǎn)，連結(jié)，過點(diǎn)C作線⊥AB于D(AD<DB)，點(diǎn)是AB上任意一(點(diǎn)DB除)，直線交⊙O于，連結(jié)AF直線CD交點(diǎn)G(1)求證：AC×；(2)若點(diǎn)E是點(diǎn)A除外)上任意一點(diǎn)，上述結(jié)論是否然成?成立．請(qǐng)畫出圖形并給予證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．思點(diǎn)作出圓中常用輔助線證明∽AFC（2）判斷上述結(jié)論在E點(diǎn)動(dòng)的情況下否成立，依題意準(zhǔn)確畫出圖形是關(guān)鍵．注：構(gòu)造直徑上°的圓周角，是解與圓相關(guān)問的常用輔助線，這樣就為勾股定理的運(yùn)用、相似三角形的判定創(chuàng)造了條件．【例】如圖，圓內(nèi)接六邊形ABCDEF滿AB=CD=EF，且對(duì)角線ADBECF相于一點(diǎn)Q設(shè)AD與的點(diǎn)為．求證）

QDACCPACCE

．思點(diǎn)解例的關(guān)鍵在于運(yùn)用與圓相關(guān)的角，能發(fā)現(xiàn)多對(duì)相似三角形．證△QDE∽(2)易證

通其他三角形相似并結(jié)(把非常規(guī)問題DE的證明轉(zhuǎn)化為常規(guī)問題的證明．/

⌒⌒22⌒⌒22注：有些幾何問題雖然表面與圓無關(guān)，但是若能發(fā)現(xiàn)隱含的圓，尤其是能發(fā)現(xiàn)共圓的四點(diǎn)，就能運(yùn)用圓的豐富性質(zhì)為解題服務(wù)，確定四點(diǎn)共圓的主要方法有：(1)利用圓的定義判定；(2)利用圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)的逆命判定．學(xué)訓(xùn)．一條弦把圓分成23兩分，那么這弦所對(duì)的圓周角的度數(shù)為．．如圖是的徑C、、都⊙O上一點(diǎn)，則∠2=

．．如圖是的徑，弦⊥ABF是的點(diǎn)，延長AF交O于，，，EF的為．如圖已知△ABC接于⊙⊥BC于DAD3設(shè)O的徑為，長為x

，用

的代數(shù)式表示y，．．如圖ABCD是的內(nèi)接四邊形，延長BC到，知BCD∠＝3：，那么∠等于)A°B°．144°．150．如圖，⊙O中弦∥BCDA=DC°，∠等()A°B．30．°D．50°．如圖BC為圓O的直徑A、為圓O上點(diǎn)AB=3，，∠D的數(shù)為)A°B120°．°D．°．如圖，⊙O的徑垂直于弦CD，點(diǎn)是上(點(diǎn)P不AC點(diǎn)重合)，連結(jié)PCPD，點(diǎn)在的長線上AB交點(diǎn)．出下列四個(gè)結(jié)論：①=AH×AD=ACAD=DF×∠EPC=∠中確的個(gè)數(shù)是)A1B．．D．．如圖，已知B正△的接圓O的徑，是ABC的．求證：··CD；/

已，，，⊙O的徑的長．10如圖，已知是ABC角∠EAC的分，交的長線于點(diǎn)D延長交△ABC的外接圓于點(diǎn)，連結(jié)FB，．求證：FB=FC；求證：FB；若AB是△ABC外接圓的直徑，∠°，BC=6cm求AD長．11如圖B是線段AD的個(gè)三等分點(diǎn)以BC直徑的圓周上的任意一(B點(diǎn)除外)，則∠APB·∠．12如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=AD∠BAD=60AC=的面積為．

，則四邊形ABCD13如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD中A＝60，B90AD=3，則BC=⌒14如圖是圓的直徑，D是AC的點(diǎn)，∠B=40°，則A等()A60°B．50°．°．°

．15如圖，已知ABCD是個(gè)以AD為直徑圓內(nèi)接四邊形AB=5，分別延長AB和DC它們相交于，∠°則O的積為()A25πB16CπD．13π(2001紹興市競賽)/

ABAB16如圖AD是eq\o\ac(△,Rt)ABC的邊BC上高AB=AC，過A、D兩點(diǎn)的圓與AB、分別相交于點(diǎn)弦與AD相于點(diǎn)則中與△GDE相似的三角形的個(gè)數(shù)()ABC．D17四邊形外圓O的徑為2線AC與BD交點(diǎn)為，AB=2

AE且BD=23，求四邊形ABCD面積．18如圖，已知ABCD為O的接四邊形是BD上一點(diǎn)，且有∠DAC．求證：(1)ABE△；·BC＝AC·BD19如圖，已知P是⊙O直AB延線上的一點(diǎn)，直線交O于D兩點(diǎn)，弦⊥AB于AB于．求證PA·PB=PO(2)若DE⊥，∠P=15，O半徑為，求弦的．．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙，BC=4，S=3，為銳