透鏡成像公式典型例題[例1]高h(yuǎn)=9mm的燭焰，由凸透鏡造成的像高h(yuǎn)′=12mm．已知透鏡焦距f=40cm，求物距u．[分析]凸透鏡可以成放大的實(shí)像或放大的虛像，應(yīng)分兩種情況討論．[解]透鏡成像的放大率[例2]幻燈機(jī)的畫(huà)片插在離鏡頭30cm處，剛好能在離鏡頭6m的墻上造成清晰的像．如果要造像在離鏡頭8m遠(yuǎn)的墻上，應(yīng)該怎樣調(diào)節(jié)鏡頭？如果畫(huà)片的面積是S=3cm×4cm，那么兩次像的面積各是多大？[分析]根據(jù)第一次成清晰像時(shí)的物距和像距，算出幻燈機(jī)鏡頭的焦距，即可由第二次的像距算出物距，從而確定對(duì)鏡頭的調(diào)節(jié)．由于對(duì)畫(huà)片的長(zhǎng)，寬兩個(gè)方向都作了同樣倍數(shù)的放大，所以像的面積應(yīng)與放大率的平方成正比．知鏡頭的焦距是第二次把像距調(diào)整到v2=8m=800cm，那么畫(huà)片離鏡頭的距離應(yīng)該調(diào)整到:也就是鏡頭應(yīng)該向畫(huà)片方向移動(dòng)兩次成像的時(shí)候，像的放大率分別是所以兩次像的面積分別是[說(shuō)明]如果根據(jù)第一次成像的u1、v1計(jì)算鏡頭焦距的時(shí)候算成這樣，計(jì)算第二次成像時(shí)候的物距就得到于是得出結(jié)論：應(yīng)該使鏡頭再離開(kāi)畫(huà)片由于計(jì)算焦距取了近似值而得出鏡頭移動(dòng)方向恰好相反的結(jié)果，顯然這也就是說(shuō)應(yīng)該使u變小，就是鏡頭應(yīng)該向畫(huà)片靠攏[例3]用一照相機(jī)對(duì)太陽(yáng)攝像時(shí)，底片與鏡頭相距8cm．用這架照相機(jī)對(duì)著平面鏡給自己拍照，假如人站在鏡前1m處，手執(zhí)照相機(jī)對(duì)準(zhǔn)平面鏡，底片到平面鏡的距離也當(dāng)作1m，則鏡頭應(yīng)調(diào)到離底片多遠(yuǎn)？[分析]太陽(yáng)光可認(rèn)為是平行光，因此這架照相機(jī)鏡頭的焦距f=8cm．人站在鏡前1m處手執(zhí)照相機(jī)對(duì)鏡自拍時(shí)，鏡后虛像也離鏡1m．由透鏡成像公式即得像距．[解]設(shè)鏡頭離底片為v（即像距），則平面鏡中虛像離鏡頭的距離（即物距）為（2m-v）=200cm-v，由成像公式，得取合理值v≈8.4cm．即應(yīng)把鏡頭調(diào)至離底片8.4cm處．[說(shuō)明]本題要會(huì)合理近似，當(dāng)把平面鏡中的虛像作為拍攝對(duì)象的“物”時(shí)，認(rèn)為整個(gè)人體包括手執(zhí)的照相機(jī)是“扁平的一片”，離鏡都等于1m．但在拍攝過(guò)程中調(diào)整鏡頭至底片的距離時(shí)（俗稱調(diào)焦），必須把鏡中的像對(duì)鏡頭的距離和鏡中的像對(duì)底片的距離區(qū)分開(kāi)來(lái)，不注意這點(diǎn)，常會(huì)誤認(rèn)為u=2m=200cm，得出不正確的結(jié)果．[例4]一個(gè)點(diǎn)光源位于凸透鏡的主光軸上．當(dāng)點(diǎn)光源位于A點(diǎn)處，它成像在B點(diǎn)；當(dāng)它位于B點(diǎn)處，成像于C點(diǎn)（圖1）．已知BC＞AB，則此凸透鏡應(yīng)[]A．位于C點(diǎn)右側(cè)B．位于BC之間C．位于AB之間D．位于A點(diǎn)左側(cè)[分析]若凸透鏡位于C點(diǎn)右側(cè)時(shí)，兩次物、像都位于透鏡同側(cè)（左側(cè)），且物距大于像距，表示兩次都成縮小的虛像，這是不可能的，A錯(cuò)若凸透鏡位于BC之間，光源位于A時(shí)成像于B為縮小虛像，同樣是不可能的，B錯(cuò)．若凸透鏡位于AB之間（圖2），光源在A時(shí)成像于B，為實(shí)像．光源在B時(shí)，成像于C，為放大虛像．但據(jù)成像公式，成實(shí)像時(shí)因u＞0，f＞0，v＞0，故v＞f．這樣，當(dāng)光源置于B時(shí)不可能在同側(cè)C處形成放大虛像，C錯(cuò)．若透鏡位于A點(diǎn)左側(cè)時(shí)（圖3），只要要求A、B兩點(diǎn)都在焦點(diǎn)之內(nèi)，就可能形成兩次放大的虛像．[答]D[例5]把一個(gè)點(diǎn)光源放在焦距為f的凸透鏡的焦點(diǎn)上，在透鏡另一側(cè)2f處豎立一光屏，在光屏上看到一個(gè)半徑為R的光亮的圓．現(xiàn)保持透鏡和光屏不動(dòng)，在主軸上移動(dòng)點(diǎn)光源，若要使屏上光亮的圓半徑縮為R/2，則這個(gè)點(diǎn)光源應(yīng)移到什么位置上？[分析]點(diǎn)光源放在凸透鏡的焦點(diǎn)上時(shí)，從光源射出的發(fā)散光束經(jīng)凸透鏡折射成一平行光束入射至屏，因此屏上亮圓的半徑R就等于透鏡的半徑．保持透鏡和光屏不動(dòng)，要使屏上亮圓的半徑減為R/2，必須使點(diǎn)光源沿光軸遠(yuǎn)離透鏡移動(dòng)．此時(shí)可以有兩種情況，如圖所示．（1）折射光線交會(huì)前先遇到屏，表示點(diǎn)光源的像距大于物距，因（2）折射光線交會(huì)后再照射到屏，表示點(diǎn)光源的像距小于物距，應(yīng)邊成比例的關(guān)系得[說(shuō)明]求解本題的關(guān)鍵是注意光源移動(dòng)時(shí)可能發(fā)生的情況并作出光路示意圖，否則常容易漏掉一個(gè)解．在透鏡成像問(wèn)題中，常會(huì)出現(xiàn)由于透鏡性質(zhì)不明確、像的虛實(shí)不明確、像的位置不明確等情況而產(chǎn)生的多種解答．[例6]在物體與屏之間放一薄凸透鏡，焦距為f=22cm．為了使得移動(dòng)透鏡時(shí)能在屏上形成兩個(gè)清晰像，如果兩次像高之比為4.84，則此時(shí)物體與屏之間的距離多大？[分析]能在屏上形成兩個(gè)清晰像時(shí)，物體與屏之間的距離l應(yīng)滿足條件l＞4f由光路可逆知，此時(shí)兩次成像的物距與像距正好互換．利用這個(gè)關(guān)系，結(jié)合題中條件即可算出l．放大率根據(jù)題意，代入成像公式，有所以物體與屏相距知結(jié)論引用的，實(shí)際上可以給出證明．因?yàn)槊看纬汕逦駮r(shí)，物距u與像距v必滿足條件聯(lián)立得成實(shí)像時(shí)，必須滿足條件當(dāng)L＝4f時(shí)，u有一個(gè)實(shí)數(shù)解，表示只能有一個(gè)位置使屏上成實(shí)像；當(dāng)L＞4f時(shí)，u有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，表示能找到兩個(gè)位置使屏上成實(shí)像．由上面的計(jì)算和u+v=L的關(guān)系得兩次成像的物距和像距正好互換，這正是光路可逆的必然結(jié)果．[例7]如圖1在一個(gè)焦距f=10cm的凸透鏡的主軸上，與主軸角θ=60°斜立著一個(gè)長(zhǎng)L＝2cm的細(xì)桿AB，其B端正好位于2f處．（1）作出成像光路圖；（2）計(jì)算像長(zhǎng)L′．[分析]利用特殊光線作圖法可作出光路圖，根據(jù)A、B兩端的物距，分別算出像距，即可算出像長(zhǎng)．[解]（1）成像光路如圖2所示．（2）A端離透鏡的距離其像距設(shè)物體垂直于主軸的長(zhǎng)度為AC，對(duì)應(yīng)的像長(zhǎng)為A′C′，其放大所以像長(zhǎng)[說(shuō)明]令像與主軸的夾角為θ′，則由此可見(jiàn)，當(dāng)物體斜向放置在主光軸上時(shí)，像也斜臥在主光軸上，兩者與主光軸的夾角大小相等，只是方位不同，如果物體繞主軸上的B端順時(shí)針向旋轉(zhuǎn)一周，對(duì)應(yīng)的像繞B′點(diǎn)逆時(shí)針向也旋轉(zhuǎn)一周．[例8]凸透鏡的焦距為f，一個(gè)在透鏡全光軸上的物體，從距離透鏡3f處，沿全光軸逐漸移動(dòng)到距離透鏡1．5f處，在此過(guò)程中[]A．像不斷增大B．像和物之間的距離不斷增大C．像和焦點(diǎn)的距離不斷增大D．像和透鏡的距離不斷減小[分析]物體從距透鏡3f處逐漸移到距透鏡1．5f處的過(guò)程中，物距u變小，而像從鏡后距透鏡f與2f之間逐漸移到2f外，像距v不斷增大．在這個(gè)過(guò)程中，像和物之間的距離L先變小（從u=3f到u=2f，L從大于4f變到等于4f）后變大（從u=2f到u=1.5f，L從等于4f變到大于4f），B錯(cuò)．像和焦點(diǎn)的距離隨著像距增大而增大，C正確，D錯(cuò)．[答]A、C．[說(shuō)明]物像間距與物距的關(guān)系，可以從函數(shù)圖像上得到更確切的認(rèn)識(shí)．由得下的拋物線，如圖所示．變小、后變大．不是單調(diào)增大的．[例9]一物體垂直于凸透鏡主軸放在鏡前某處時(shí)，可得到放大6倍的像，若物體向透鏡移動(dòng)2cm，可得放大3倍的像，求該透鏡的焦距．[分析]根據(jù)凸透鏡成像放大率m與物距u的關(guān)系圖，放大率由m=6變到m=3有兩種可能：（1）先在f＜u＜2f區(qū)域內(nèi)成實(shí)像，后在u＜f區(qū)域內(nèi)成虛像；（2）都在u＜f區(qū)域內(nèi)成不同放大率的虛像．所以應(yīng)該分別計(jì)算．[解]（1）先成實(shí)像后成虛像時(shí)由聯(lián)立解得（2）前后二次均成虛像時(shí)由聯(lián)立解得所以凸透鏡的焦距有兩種可能，4cm或12cm．[說(shuō)明]若移動(dòng)方向沒(méi)有限制，則還有一種可能，先成m=6的實(shí)像，后成m=3的實(shí)像，可解得u=14cm，f=12cm．[例10]透鏡的焦距f=5cm，鏡面直徑d=10cm，在距透鏡8cm處及主光軸下方距主軸2cm處得到發(fā)光點(diǎn)S的實(shí)像點(diǎn)S′．如在光源與透鏡之間的主軸上半部，垂直于主軸放置一個(gè)不透光的遮板，板的形狀與透鏡上半部相似（半圓形），為了使像消失，則：（1）板到透鏡的最小距離是多少？（2）在此位置板的最小半徑是多少？[分析]題中指出得到的是實(shí)像點(diǎn)，表示是凸透鏡成像，像點(diǎn)S′與光源S必分居透鏡兩側(cè)，且在主軸的上、下方．由焦距（f=5cm）、像距（v=8cm）、像高（h′=2cm），根據(jù)透鏡成像公式可算出物距和物高．為了使像消失，應(yīng)該使得從光源S發(fā)出的光都無(wú)法到達(dá)透鏡．通過(guò)引發(fā)邊緣根據(jù)幾何關(guān)系，即可得解．[解]（1）根據(jù)上述分析，作光路示意圖如圖所示．由透鏡成像公式分別得物距和物高要求放置遮光板AC后使像消失，必須使它能遮擋掉所有到達(dá)透鏡的光．由光路圖可知，它立于主軸上半部時(shí)離鏡的最小距離就是下邊緣光SN與主軸交點(diǎn)離鏡的距離，設(shè)為x．由△SBC～△SDN，得（2）設(shè)遮光板的最小半徑為d′由△SAC～△SMN，得[說(shuō)明]求解本題有三個(gè)要點(diǎn)：（1）根據(jù)題意能畫(huà)出光路示意圖；（2）理解最小距離（最小半徑）的含義，確定遮光板的位置，（3）選擇合適的相似三角形．[例11]如圖所示，L為薄凸透鏡，點(diǎn)光源S位于L的主光軸上，它到L的距離為36cm；M為一與主光軸垂直的擋光圓板，其圓心在主光軸上，它到L的距離為12cm；P為光屏，到L的距離為30cm，現(xiàn)看到P上有一與擋光板同樣大小的圓形暗區(qū)ab，求透鏡的焦距.[分析]畫(huà)好光路圖是關(guān)鍵，然后利用幾何關(guān)系，就可以找到像距，再利用凸透鏡成像公式求解.[解]第一種情況S'為S的像，設(shè)像距為v1由幾何關(guān)系可知：根據(jù)透鏡公式第二種情況S''為S的像，設(shè)像距為v2由幾何關(guān)系可知根據(jù)透鏡公式[說(shuō)明]透鏡公式是建立在透鏡成像作圖的基礎(chǔ)上，運(yùn)用幾何學(xué)的方法，求得物和像的位置與透鏡的焦距之間的關(guān)系.在應(yīng)用透鏡公式討論問(wèn)題時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：①注意分析物體通過(guò)透鏡成像的具體情況，建立物體通過(guò)透鏡成像的物理圖景是正確理解題意，分析題意和尋求已知條件和所求問(wèn)題的聯(lián)系的前提.②正確畫(huà)出光路圖.③注意焦距、物距、像距的正、負(fù)符號(hào)，正確應(yīng)用符號(hào)規(guī)則.④光路可逆，在有些情況下，逆向思維可使問(wèn)題簡(jiǎn)化.[例12]一個(gè)凸透鏡，焦距為5cm，發(fā)光點(diǎn)S位于距光心6cm的主軸上，在下列三種情況下，求像的位置.(1)用直徑0.4cm的不透明圓紙片將透鏡中心部分遮?。▓Da）(2)將這個(gè)凸透鏡分成上、下兩半，且各離主軸0.2cm上、下隔開(kāi)0.4cm（圖b）(3)將這個(gè)凸透鏡分成上、下兩半，左、右錯(cuò)開(kāi)0.4cm，但主軸重合，點(diǎn)光源仍位于主軸上，距左邊半個(gè)凸透鏡光心6cm（圖c）[分析]各種情況要注意透鏡的光心、主光軸、焦點(diǎn)的位置是否發(fā)生變化，還應(yīng)注意點(diǎn)光源相對(duì)于主光軸及透鏡的位置.[解](1)中心部分遮住，透鏡的光心、主光軸、焦點(diǎn)位置不變，發(fā)光點(diǎn)的物距不變，只是入射到透鏡的能量減少，所呈的像位置不變，只是亮度變暗.(2)若透鏡分成上、下兩部分，再分開(kāi)，這就成了兩個(gè)透鏡，它們的主光軸O1O1'、O2O2'，分別通過(guò)各自的光心，形成的像S1'、S2'.由于f、u不變