112112標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用“差”式拋線點(diǎn)問中妙圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題是高考常見的題型，在選擇題、填空題和解答題中都是命題的熱點(diǎn)。它的一般方法是：聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程，借助于一元二次方程的根的判別式、根與系數(shù)的系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式及參數(shù)法求解。若已知直線與圓錐曲線的交點(diǎn)（弦的端點(diǎn)）坐標(biāo)，將這兩點(diǎn)代入圓錐曲線的方程并對所得兩式作差，得到一個(gè)與弦的點(diǎn)和斜率有關(guān)的式子，可以大大減少運(yùn)算量。我們稱這種代點(diǎn)作差的方為“點(diǎn)差法一結(jié)論叫點(diǎn)差法公式。本文就拋物線的點(diǎn)差法公式在高考中的妙用做一些粗淺的探討，以饗讀者。定在物線

y

2

2mx(m0)

中，若直線l與物線相交于N兩點(diǎn)點(diǎn)

(,)0

是弦MN的中點(diǎn)，弦MN所在直線

l

的斜率為

k

，則

k

m0

.證明：設(shè)M、N兩的坐標(biāo)分別

(y、()1

mx,，則有mx2

，得yy2

2().2y2

.又

k

MN

y11

,y21

.k

m0

.注意：能用這個(gè)公式的條件）直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)直的斜率存在.同理可證在物線

x22(

中若直線

l

與拋物線相交于MN兩點(diǎn)點(diǎn)

(,)0

是弦MN的點(diǎn)，弦MN所在直線

l

的斜率為

k

，則

k

MN

0

.注意：能用這個(gè)公式的條件）直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)）直線的斜率存在，且不等于零例1．拋物線

y2

的過焦點(diǎn)的弦的中點(diǎn)的軌跡方程是（）A.

yx

B.

y

2

C.

y

D.

y

2

x解：

，焦點(diǎn)

在

軸上.設(shè)弦中點(diǎn)M的標(biāo)為(x)

.由

k

得：

yx

2

，整理得：文案大全

y2

.標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用所的跡方程為

y

.故選B.例2．拋物線

yx

2

上一組斜率為2的行弦中點(diǎn)的跡方程是（）A.

x

1（＞）B.（）C.222

y2x

（

x

＞

）D.

yx解：由

yx

2

得

x2

1y，m4

，焦點(diǎn)在

軸上.設(shè)平弦的中點(diǎn)M的標(biāo)(xy)

.由

k

m

得：

1124

，

.在

yx

2

中，當(dāng)

x

時(shí)，y

.1x（＞）點(diǎn)M的跡方程為2故答案選A.例3上海直線被物線

2

截得的線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是__________.解2

在x軸上.設(shè)MN的點(diǎn)P的標(biāo)為(,y

MN所在的直線l的斜率為

k

，則

k

由k

得：200

，x從而.所求的中點(diǎn)坐標(biāo)是.例4物的頂點(diǎn)在原點(diǎn)點(diǎn)

x

軸上和線yx

相交得弦的中點(diǎn)在

xy2上，求拋物線的方程解：設(shè)拋物線的方程為

y

2

2m0)

，直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)為MN，弦MN的點(diǎn)P的標(biāo)為(,)0

.由

k

得ym0

，xy00又

點(diǎn)P(mm)

在圓

x

22

5

上，(2解之得：文案大全

或

標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用由

yy2mx.

得：

x2(mx0.直與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，4(

2

＞0.m＜

，或m＞0.故所求的拋物線方程為

y22x.例5．已知拋物線

y

2

上永遠(yuǎn)有關(guān)于直線l4x

對稱的相異兩點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的值范圍解：設(shè)拋物線上A、兩關(guān)于直線l對稱，且弦AB的點(diǎn)為

(,)0

.根據(jù)題意，點(diǎn)P在線l上l，

AB

.又

y

2x，y

mx，m

.由

k

m0

，得：

6

，y0

.又由

yxm0

，得：

x

m

.點(diǎn)

(,)0

在拋物線的開口內(nèi)，(

2

＜

m24

)

.解之得：

m

＜

.故實(shí)數(shù)的取值范圍(

.例6.（全國文22）設(shè)

((xy)12

兩點(diǎn)在拋物線

yx

2

上，l是AB的垂平分.（Ⅰ）當(dāng)且僅當(dāng)

1

2

取何值時(shí)，直線

l

經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F？證明你的.（Ⅱ）當(dāng)

12

時(shí)，求直線

l

的方程解）x

11y，F(xiàn)(0,)48

.設(shè)線段AB的中為

()0

，直線

l

的斜率為

k

，則

x212

0

.若直線

l

的斜率不存在，當(dāng)且僅當(dāng)

1

時(shí)，AB的直平分線

l

為

軸，經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F.若直線l的率在，則其方程為

y(x)，k00

AB

k

.文案大全00標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用由

k

1

0

得：

11，x44k

.若直線l經(jīng)焦F，則得：

，y，04

相矛盾當(dāng)線l的斜存在時(shí)，它不可能經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F.綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)

1

時(shí)，直線

l

經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F.（Ⅱ）當(dāng)

12

時(shí)，

(1,2),B3,18),

x21

由

k

1

得k0

14

.所的線l方程為

y

(10

，即y例7知直線x0

與拋物線

y

2

交于兩么線段AB的點(diǎn)坐標(biāo)是_______.解：

y

2x，y

2m

.直的斜率為1.由

k

m0

得：2

.代入x00

求得

4

.線AB的中坐標(biāo)是(4,2)

.例8直線y|PQ=____.

與拋物線

y

交于不同的兩點(diǎn)P、Q，PQ中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2，則解：

y

2xy

4

.在y中

時(shí)，yk0

，若PQ中的縱坐標(biāo)是yk0

.由

0

得：k(2k，k

0

.解之得：k或

.由

ykxyx

得：

k24(x0

.直與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，

2)

k

0.文案大全)(xx)x1)(xx)x1標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用解之得：

k

＞

且

.

.由

yxyx

得：x

2

x.即x

2

x0

.設(shè)

(Q)12

，則

xx1

.PQ|

2

112

5(164)215

.例9．已知拋物線C的頂在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸正半軸上，直線l的弦AB的點(diǎn)M的坐標(biāo)為，拋線C的程為_

被拋物線C所得解：

y

2xy

4

.由

得：0

AB

.AB所的直線方程為x

，即x

.例10．設(shè)

為物線x的如果這條弦的垂直平分線l的程為y，弦12所在的直線方程.解：設(shè)拋物線的方程為

y2mx

（＞）在y

中，斜率為y時(shí)，x

.弦AB的點(diǎn)坐標(biāo)為(,

.由

0

得：m

，m

.所的物線的方程為

yx

.例11(4,1)

作拋物線

y2

的弦ABAB恰Q平在的直線方程_______.解：

x

2

y

，

x

2

2my

，m

.弦

1

所在直線的斜率為1.設(shè)

1

的中點(diǎn)坐標(biāo)為(x,)0

.由

k

P

得：

x

.弦

1

的中點(diǎn)也在直線y上，y

.弦PP的點(diǎn)坐標(biāo)為(,2弦

1

所在的直線方程為

y

)2

，即

.例12知物線

y2x

2

上有不同的兩點(diǎn)A關(guān)直線l:yx

對稱實(shí)數(shù)

m

的取值范圍解：設(shè)弦AB的中為文案大全

(,)0

.2020標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用根據(jù)題意，

ABl

，

AB

.又

x

1y，xmy，4

.由

k

，：0

1，44

.又由

yx0

，得：

y

m

.點(diǎn)

(,)0

在拋物線的開口內(nèi)，11＜)24

.解之得：

m

＞

.故實(shí)數(shù)的取值范圍(,

.例13全國理21）設(shè)

((xy)12

兩點(diǎn)在拋物線

yx

2

上，l是AB的垂平分.（Ⅰ）當(dāng)且僅當(dāng)

1

2

取何值時(shí)，直線

l

經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F？證明你的.（Ⅱ）當(dāng)直線

l

的斜率為2時(shí)，

l

在y軸上的截距的取值范.解）

x

11y，,(0,)48

.設(shè)線段AB的中為

()0

，直線

l

的斜率為

k

，則

x212

0

.若直線

l

的斜率不存在，當(dāng)且僅當(dāng)

1

時(shí)，AB的直平分線

l

為y

軸，經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F.若直線l的率在，則其方程為

y(x)，k00

AB

k

.由

k

m0

得：

kx

11，44k

.若直線

l

經(jīng)過焦點(diǎn)F，則得：

，y4

，與

y00

相矛盾

當(dāng)直線

l

的斜率存在時(shí)，它不可能經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F.綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)，線l經(jīng)拋物線的焦點(diǎn)F.1（Ⅱ）當(dāng)

時(shí)，由（Ⅰ）知，

x

，直線

l

的方程為

yxy

，它y軸的截距

1，yb4

.直線AB的程為

y

1(x)，y

.文案大全標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用代入

y2x

2

并整理得：

x

.直線與拋線有兩個(gè)不同交，

＞，

＞＞.b故l在y軸的距的取值范圍是

(

.例14陜文理20)已知物線

：y2

2

，直線y

交C于A、B兩M是段AB的中點(diǎn)，過M作x軸的垂線交C于N.（Ⅰ）證明：拋物線C在N處切線與AB平；（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)

k

使

NA0

，若存在，求

k

的值；若不存在，請說明理由.證明）

x

y,

，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為

(xy)0

.當(dāng)0時(shí)點(diǎn)M在y軸，N與點(diǎn)O重，拋物線點(diǎn)的切線為x軸，與AB平行當(dāng)k，由

k

1

p得0

k4

.2

0

2

kk2.得N的標(biāo)(,)4

.設(shè)拋物線在點(diǎn)N處切線方程為

y

k2k2(x)，y()48

.代入

yx

2

，得：

2x2mx

)48

，整理得：

x

2

k20

.2

k2)2km)8

，m

，即拋物線C在N處切線的率等于直線AB的率故拋物線在點(diǎn)N處切線與AB平行（Ⅱ）解：若

0

，則

NB

，即

.|2|AM|BM||MN|

.文案大全標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用ykx00

k

2

，