二維形式的柯西不等式（一）宜昌市三峽高中郭和慶教學(xué)目標(biāo)：1.知識技能：通過對二維形式的柯西不等式的探究和證明過程的分析的學(xué)習(xí)，認(rèn)識二維形式的柯西不等式的幾種不同形式，理解其幾何意義；2.過程與方法：通過對柯西不等式幾種不同形式的探究過程的學(xué)習(xí)，會用語言敘述柯西不等式的幾種形式，能總結(jié)本節(jié)課涉及到的數(shù)形結(jié)合思想，比較法，綜合法，配方法，類比法，構(gòu)造法等數(shù)學(xué)方法，總結(jié)應(yīng)用柯西不等式解答問題的一般方法與步驟；3.情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過對二維形式柯西不等式的學(xué)習(xí)，學(xué)生會感受到柯西不等式的對稱與和諧美，感受探究交流與合作的學(xué)習(xí)方式，同時(shí)提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).教學(xué)重點(diǎn)：二維形式柯西不等式的證明思路，二維形式柯西不等式的應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)：二維形式柯西不等式的應(yīng)用.教學(xué)過程：引入：同學(xué)們，中學(xué)課本有很多定理定義都以科學(xué)家姓名命名，你知道有哪些？牛頓，高斯，安培，焦耳，裴波拉契，歐姆，伽利略，韋達(dá)定理，笛卡爾,祖暅原理，秦九韶算法，海倫公式，引出課題：1.復(fù)習(xí)：二元基本不等式：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.變形：，,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.2.嘗試練習(xí)，引入新課：（1）求的最大值；學(xué)生獨(dú)立思考，再小組討論分析：由得,因?yàn)椋约?，?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號成立.（2）,，為正常數(shù)，求的最大值并指出等號成立的條件.分析：由,得因?yàn)椋?故，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)即等號成立.從而，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?二．新課：1.定理1：（柯西不等式的代數(shù)形式）設(shè)均為實(shí)數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.證明：因?yàn)?所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.注意考慮等號成立的條件！探究：結(jié)合，能否利用所學(xué)知識從形的角度認(rèn)識？小組討論，學(xué)生展示結(jié)果：2.幾何意義：設(shè)為平面上以原點(diǎn)為起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量，它們的終點(diǎn)分別為，），因?yàn)橛忠驗(yàn)樗?，同時(shí)：根據(jù)坐標(biāo)表示得，，它們的數(shù)量積為，所以，即柯西不等式的代數(shù)形式是向量形式的坐標(biāo)表示！所以柯西不等式的幾何意義就是：，當(dāng)且僅當(dāng)是零向量，或存在實(shí)數(shù),使時(shí)等號成立.3.定理2：（柯西不等式的向量形式）設(shè)為平面上的兩個(gè)向量，則，當(dāng)且僅當(dāng)是零向量，或存在實(shí)數(shù),使時(shí)等號成立.4.變形：不等式結(jié)構(gòu)分析：左邊是實(shí)數(shù)平方和的乘積，右邊是實(shí)數(shù)積的和的平方（1）(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.)(2)(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.)(3)（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立）使用柯西不等式的關(guān)鍵是恰當(dāng)變形，化為符合它的結(jié)構(gòu)形式，當(dāng)一個(gè)式子與柯西不等式的左邊或右邊具有一致形式時(shí)，就可使用柯西不等式．美題欣賞：即即即即又如：已知，求的最小值.分析：因?yàn)榧?，所以，所以的最小值為又如，求函?shù)的最大值.三.例題教學(xué)：設(shè)是正實(shí)數(shù)，，求證分析：法1：展開，用均值不等式解：(當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號成立.)（學(xué)生一起快速齊答）法2：注意到，有了就可以用柯西不等式了.解：,(當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號成立.)變式訓(xùn)練：已知，求最大值.分析：因?yàn)榧矗核援?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取最大值.時(shí)取最小值.四．課堂小結(jié)：學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容：定理1：（柯西不等式的代數(shù)形式）設(shè)均為實(shí)數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.定理2：（柯西不等式的向量形式）設(shè)為平面上的兩個(gè)向量，則，當(dāng)且僅當(dāng)是零向量，或存在實(shí)數(shù),使時(shí)等號成立.方法：作差，構(gòu)造，數(shù)形結(jié)合五．作業(yè)：P37頁，4，5，7，8，9思考題：根據(jù)二維形式的柯西不等式類比得到三維形式的柯西不等式結(jié)束語：數(shù)學(xué)家不單單數(shù)學(xué)有用而研究數(shù)學(xué)；他研究它還因?yàn)樗矚g它，而他喜歡它則是因?yàn)樗敲利惖模?---龐加萊柯西不等式魅力無窮，希望同學(xué)們喜歡！六．板書設(shè)計(jì)：二維形式的柯西不等式（一）定理1：（柯西不等式的代數(shù)形式）例：變形：1.法1：2.法2：3.定