第二章函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

覽全局?網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建I

廠（定義域）

---------------------（對(duì)應(yīng)法則）

(W)T值域）

~（解析法〉

—---------（列表法〉（函數(shù)與方程）

—（圖象法）

（單調(diào)性）

—---------（奇偶性｝

―［函數(shù)模型及其.

，、―（周期性）

.應(yīng)用.

~~（二次函數(shù)j--------

基本初

、等函數(shù),

~~（一函數(shù)卜」（曲線的切線）

廠（導(dǎo)數(shù)概念n_____［基本初等函數(shù)T函數(shù)單調(diào)性）

丁京藪公式

-（?-

——（導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算）―（極值與最值〕

—（幾何意義）一

J導(dǎo)數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用）

備高考?策略指導(dǎo)I

金重點(diǎn)關(guān)注信導(dǎo)學(xué)心語

Ki數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用是歷年高考命題的重點(diǎn)與熱1.注重基礎(chǔ)，對(duì)函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)（單調(diào)性

，約占總分的20%左右.奇偶性、周期性）、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)在研窮

函數(shù)的概念、圖象及其性質(zhì)是高考考查的主要內(nèi)數(shù)單調(diào)性、極值、最值及導(dǎo)數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用要

,函數(shù)的定義域、解析式、圖象是高考考查的重練掌握并靈活應(yīng)用.

,函數(shù)性質(zhì)與其他知識(shí)的綜合是歷年高考的熱點(diǎn).

2.加強(qiáng)交匯，強(qiáng)化綜合應(yīng)用意識(shí).在知識(shí)的交匯

導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性、極值、處命制試題，已成為高考的一大亮點(diǎn)，函數(shù)的觀

直及導(dǎo)數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn).和方法貫穿于高中數(shù)學(xué)的全過程，因此，應(yīng)加強(qiáng)

本章內(nèi)容集中體現(xiàn)了四大數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程、數(shù)與三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、解析幾何、導(dǎo)數(shù)

形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸的思想，且常與各章節(jié)之間的聯(lián)系.

程、不等式、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)交匯命題，體現(xiàn)了綜合3.把握思想，數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、

創(chuàng)新類討論思想和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想在解決各種與函數(shù)有

的問題中均有應(yīng)用，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)引起足夠重視.

第一節(jié)函數(shù)及其表示

固基礎(chǔ)?自主落實(shí)I

內(nèi)容要求

考綱傳真ABC

函數(shù)的概念V

1.函數(shù)與映射的概念

函數(shù)映射

兩集合4B設(shè)4、8是兩個(gè)非空數(shù)集設(shè)43是兩個(gè)非空集合

如果按某種對(duì)應(yīng)法則/,對(duì)于集合4

如果按某種對(duì)應(yīng)法則/,對(duì)于Z中的每一個(gè)元

對(duì)應(yīng)法則/中的每一個(gè)元素工,在集合8中都有

蜜，在8中都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng)

唯一的元素”和它對(duì)應(yīng)

名稱這樣的對(duì)應(yīng)叫做從4到B的一個(gè)函數(shù)這樣的單值對(duì)應(yīng)叫做從/到B的映射

記法f：AfB

2.函數(shù)的定義域、值域與對(duì)應(yīng)法則

在函數(shù)%￡/中，所有的輸入值x組成的集合4叫做函

數(shù)”=危）的定義域,對(duì)于/中的每一個(gè)工,都有一個(gè)輸出值y與之對(duì)

應(yīng)，所有輸出值y組成的集合稱為函數(shù)的值域」對(duì)應(yīng)法則一般用了表

不.

3.如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則完全一樣,那么這兩個(gè)函

數(shù)相同.

4.函數(shù)的表示法

(1)表示函數(shù)的常用方法有列表法、解析法、圖象法.

(2)在函數(shù)定義域內(nèi)的不同部分上，有不同的解析表達(dá)式，這樣

的函數(shù)叫做分段函數(shù).

1.(夯基釋疑)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“J”，錯(cuò)誤的

打“X”)

(1)對(duì)于函數(shù)/：A-B,其值域是集合A()

(2)函數(shù)y=l與y=x°是同一個(gè)函數(shù).()

(3)與x軸垂直的直線和一個(gè)函數(shù)的圖象至多有一個(gè)交點(diǎn).()

(4)映射是特殊的函數(shù).()

［解析］⑴值域是集合5的子集,3中可能有不是函數(shù)值的元素，

⑴錯(cuò)誤.

(2)y=x°中的xWO,而y=1中x可以取任何值.(2)錯(cuò)誤.

(3)由函數(shù)的定義可知任意定義域內(nèi)的任一x只能有一個(gè)函數(shù)值歹

與其對(duì)應(yīng).若有兩個(gè)及以上交點(diǎn)，則有兩個(gè)及多個(gè)y值與一個(gè)》對(duì)

應(yīng).(3)正確.

(4)映射不一定是函數(shù)，函數(shù)是特殊的映射.(4)錯(cuò)誤.

［答案］(1)X(2)X(3)V(4)X

卜?+i,

2.(教材改編題)設(shè)函數(shù)危)=<2,則以3))=

［解析］由于3>1,知人3)=|,所以_/(/(3))=/|

13

［答案］V

3.(2013?浙江高考)已知函數(shù)<])=4口.若<a)=3,則實(shí)數(shù)。

［解析］因?yàn)?lt;。)=.q-］=3,所以。-1=9,即a=10.

［答案］10

4.(2014?江西高考)函數(shù)/(x)=ln(x2—%)的定義域?yàn)?

［解析］￥-％>0即xQ-i)>o,所以％<0或%>1.

［答案］(—8,0)U(l,+o°)

5.已知/(x)=2f+x—l,則/+1)=.

［解析］令尤+1代替/(x)=2,d+x-1中%,得./+1)=2(x+I)?

+(x+1)-1=2x2+5x+2.

［答案］2x?+5x+2

提知能?典例探究I

考向1求函數(shù)的定義域

1

【典例】(1)(2014?山東高考)函數(shù)/)=的定義域

1］(10g2X)2-l

為

(2)(2013?大綱全國卷)已知函數(shù)加)的定義域?yàn)?-1,0),則函數(shù)

42%+1)的定義域?yàn)?

2

［解析］(l)(log2^)-1>0即k>g2%>l或log2X<-1.

解得x>2或0<x<；.

(2)由危)的定義域?yàn)?-1,0),對(duì)于函數(shù)./(2x+1)有-l<2x+1<0

解得~l<x<-g.

[答案](1)(0,1)u(2,+-)(2)]—1,一三

【規(guī)律方法】

1.求具體函數(shù)的定義域就是求使函數(shù)有意義的x的范圍，具體

為⑴分式的分母不等于0,(2)偶次根號(hào)下的代數(shù)式大于等于0,(3)

對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0,底數(shù)大于0且不等于1.(4)0次賽的底數(shù)不為0.—

般轉(zhuǎn)化為求不等式或不等式組的解集.

2.若已知<%)的定義域?yàn)閇a,h],則/(g(x))的定義域可由aWg(x)Wb

求出；若已知./(g(x))的定義域?yàn)棰萣],則<x)的定義域?yàn)間(x)在

[a,以時(shí)的值域.

3.定義域一定要寫成集合或區(qū)間的形式.

【變式訓(xùn)練1】(1)(2013?重慶高考)函數(shù)二不的定義域

是________

(2)已知函數(shù)<x)的定義域?yàn)閇1,2],則函數(shù)的定義域

為.

log2(x-2)W0,

[解析]⑴由得x>2且xW3.

(2)要使函數(shù)g(x)=/勺^]()有意義，則必須有，1W2XW2i

%-IWO2

<1,故函數(shù)g(x)的定義域?yàn)?，1]

[答案]⑴{小>2且xW3}(2)1,ij

考向2求函數(shù)的值域

【典例2】求下列函數(shù)的值域.

(1?=-X2+4X—2,[0,3];(2?=x+21x+1；

2

l-x

⑶尸市.

[解](1)(配方法)y=-x2+4x-2=-(x-2)2+2

'-'X€[0,3),.-X=0時(shí)Vmin=_2,X=2時(shí)Vmax=2.

函數(shù)的值域?yàn)閇-2,2].

(2)(換元法)設(shè).x+]=/(/N0),貝ijx=p-l,

-1+2t=(t+Ip-2.

當(dāng)/20時(shí)，y2(0+1)2-2=-1,

二.函數(shù)的值域?yàn)閇-1,+8).

_1_%2+22

⑶(不等式法).?》=-]+2=—1+^77,且f+iei,

1+xX+1

22

丁?()<2~1<2,-'--1<-1+2-W1,

X+1X+1

函數(shù)的值域?yàn)?-1,1].

【規(guī)律方法】

1.求函數(shù)的值域，根據(jù)不同的解析式形式，采用不同的方法，

要靈活運(yùn)用，熟練掌握.

2.(1)二次函數(shù)式二次函數(shù)型的函數(shù)求值域可用配方法.

(2)用換元法求函數(shù)的值域應(yīng)注意新變量的取值范圍.

(3)不等式法是利用不等式的性質(zhì)，特別是分式形式通過分離常

數(shù)，再結(jié)合不等式的范圍來求函數(shù)的值域.

【變式訓(xùn)練2](1)設(shè)函數(shù)ga)=￥—2(x￡R),<])=

g(x)+x+4,x<g(x),

則./(x)的值域是

g(x)—x,x2g(x),

(2)(2014?漣水中學(xué)月考)已知函數(shù)<x)=f—2x,切的值域

為[—1,3],則b-a的取值范圍是.

[解析]⑴當(dāng)x<g(x),即-2,(x-2)(%+1)>0時(shí)，xE(-8,

22

-1)U(2,+8),Mf(x)=x-2+x+4=x+x+2,

當(dāng)x》g(x),即―2時(shí)，x[-1,2],此時(shí)<%)=f一％一2.

x2+x+2,x€(-°°,-1)U(2,+°°),

,,火”)一]?一%—2,[-1,2]

%+牛+a(-8,-1)U(2,

+0°),

9

??貝x)的值域?yàn)閇-不0p(2,+8).

(2)函數(shù):段)=d-2x=(x-I)2-1.

令兀v)=3,解得％=3或x=-1.

當(dāng)。二-1,6=1或。=1,6=3時(shí)，有最小值2;

當(dāng)。=一1,6=3時(shí)，有最大值4.

9

菊

圖O

一

下U(2,+8)Q)[2,4]

考向3求函數(shù)的解析式(高頻考點(diǎn))

命題視角函數(shù)的解析式是函數(shù)的主體部分，求函數(shù)的解析式是

高考的必考內(nèi)容.主要命題角度有：(1)已知復(fù)合函數(shù)的解析式

求外)的解析式；(2)已知函數(shù)類型求函數(shù)解析式；(3)解方程組法求函

數(shù)解析式.

【典例3】(1)已知(1+曰=±—1,求/(%)的解析式.

(2)(2014?徐州成賢中學(xué))二次函數(shù)段)滿足於+1)—於)=2%,且

/(0)=L

①求./)的解析式；

(3)定義在(一1,1)內(nèi)的函數(shù)人工)滿足2的一人一%)=lg(x+1),求函

數(shù)兀r)的解析式.

【思路點(diǎn)撥】(1)把1+J看作一個(gè)整體/，用，表示函數(shù)中的

Ji

也可直接把表達(dá)式轉(zhuǎn)化為只含(1+§和常數(shù)的形式.

(2)①題中已明確說出為二次函數(shù)，因此可設(shè)兀0=辦2+版+

c(aNO)再由條件求出a,b,c.

(3)令尤=-x列方程組求解/(x).

［解］⑴法一：設(shè)1+：=?wi),得%=質(zhì),代入小+D=7-

1,得＜/)=(/-I)?-1=*-2/,

所以加)=f-2x(xWl).

(I］1l-fl+xl—x

法一：A1+力？一1=丁=丁丁

1

又1+F/1，-,-./(x)=x?2-2x(xW1).

(2)由次0)=1,可設(shè)&)=/+云+1(#0),

故火x+1)一#x)=a(x+1f+b(x+1)+1-(ax1+bx+1)

=2ax+a+b,

2a=2,67=1,

由題意‘得"八。，解得

b=-1,

故/(x)=x2~x+1.

(3)Vx€(-l,l),

-x€(-1,1).

.4/㈤-7(-%)=ig(i+%)，

"[2/(-x)-Xx)=lg(l-x).

解得加)=§lg(l+x)+\g(l-x),x￡(-1』).，【通關(guān)錦囊】

函數(shù)解析式的求法

(1)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))，可

用待定系數(shù)法；

(2)換元法：已知復(fù)合函數(shù)次趴1))的解析式，可用換元法，此時(shí)要

注意新元的取值范圍；

(3)配湊法：由已知條件/(g(x))=尸(%),可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)

的表達(dá)式，然后以％替代g(x),便得作)的解析式；

(4)方程組法：已知關(guān)于人期與《三或八一、)的表達(dá)式，可根據(jù)已知

條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式組成方程組，通過解方程組求出；(x).

【變式訓(xùn)練3](1)已知"+2)=2f+x—1,求40的解析式.

(2)段)為二次函數(shù)，滿足＜x+l)=f—%—1求小)的解析式.

[解](1)法一：設(shè)x+2=/,則x=/-2,代入./+2)=2x2+x-1,

得/⑺=2(，-2)2+(/-2)-1=2*-7/+5,

所以加)=24-7%+5.

法二：於+2)=2/+X_]=2(%+2)2-7(%+2)+5,

所以j(x)=2x2-7x+5,

(2)設(shè)/(x)=￥+法+c,

因?yàn)閒(x+1)=(%+I)2+b(x+])+c=f+(6+2)x+(b+c+1)=x2

-x~\,

Z>+2=-1,b=-3,

所以＜…+一]，解得

c=1.

所以f(x)=x2-3x+1.

I名師微博I

熟記1種方法求形如函數(shù)y=/(ga))的定義域的方法

(1)若歹=段)的定義域?yàn)?。，份，則解不等式得aVg(x)Vb即可求

出V=/(g(x))的定義域；(2)若y=/(g(x))的定義域?yàn)棰萣),則求出g(x)

的值域即為段)的定義域.

做到2個(gè)防范1.解決函數(shù)問題，必須優(yōu)先考慮函數(shù)的定義

域.2.用換元法解題時(shí)，應(yīng)注意換元前后的等價(jià)性.

把握3個(gè)要素函數(shù)的三要素是：定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則.值

域是由函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則所確定的.兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)

法則完全一致時(shí)，則認(rèn)為兩個(gè)函數(shù)相等.函數(shù)是特殊的映射，映射r：

/f〃的三要素是集合力、〃和對(duì)應(yīng)法則￡

啟智慧?高考研析I

思想方法之2分類討論的思想在分段函數(shù)中的應(yīng)用

L例題已知實(shí)數(shù)函數(shù)/(x)=21十=若

x2Q,x1

y(i-o)=/(i+a),求。的值.

［解］當(dāng)1一。<1,即a>0時(shí),a+\>\,由41-0=火1+a)

3

得2(1-a)+a=-(1+a)~2a,解得a=~/(舍去).

當(dāng)1-aNl,又???QWO即a<0時(shí)，a+l<l,由/(I-a)=/(1+a)

3

得2(1+a)+a=-(1-a)-2a,解得。=一不

3

綜上可知a的值為一不

【智慧心語】

易錯(cuò)提ZF：(1)分類討論的標(biāo)準(zhǔn)把握不準(zhǔn).

(2)求得結(jié)果不驗(yàn)證，導(dǎo)致出現(xiàn)增根，如本題不驗(yàn)算就會(huì)得到a

=——3

2'

防范措施：(1)分類討論的依據(jù)是定義域中x的范圍.

(2)分類后得出的結(jié)果都要驗(yàn)證是否符合分類所需的前提條件.

產(chǎn)T尤<1,

【類題通關(guān)】(2014?課標(biāo)全國卷H)設(shè)函數(shù)<刈=11、

則使得7(x)W2成立的x范圍是.

［解析］當(dāng)x<l時(shí),ex-1<l則-一仁2,

時(shí)段)W2成立.

當(dāng)時(shí)，*丁2則

綜上，xW8.

［答案］{x|x^8}

課后限時(shí)自測

［A級(jí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練］

一、填空題

1.(2013?廣東高考改編)函數(shù)》=誓聲的定義域是.

x+1>0,

［解析］要使函數(shù)有意義，需_解得了>-1且%W1.

［X-1N0,

［答案］(―1,1)U(1,+8)

2.下列函數(shù)中，與函數(shù)y=x相同的函數(shù)是.

￥

2

①?y=(ylx)；③y=lg10"；@y=2\og2x

2

［解析］①y=‘=x(xW0).②y=(m)2=x(x20).

X

③y=1g10'=x.@y=210g2%=x(x>0).

［答案］③

3.已知函數(shù)人%)由下表給出

X123

於)231

若/如))>1，則%的值是.

［解析］由表格知加1))=次2)=3,加2))=H3)=1,歡3))=川)

=2,.,.//(%))>1時(shí)，x的值為3或1.

［答案］1或3

3

4.函數(shù),=］_/］_、的定義域是.

［解桐1由-x20,-得|f4xW1,4，解得E且

x#0.

［答案］(-8,O)U(O,1］

4

5.(2014?興化安豐中學(xué)檢測)已知函數(shù)/(x)=x+;：,x￡［l,5］,則

函數(shù)人的的值域?yàn)?

［解析］函數(shù)/(X)在［1,2］上是減函數(shù)，在［2,5］上是增函數(shù)，且/U)

29「29一

=5,/(2)=4,{5)=］■,故函數(shù)y(x)的值域?yàn)?,5.

［答案］r卜，y291

6.已知函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)椋邸?,2］,則函數(shù)y=/(x—1)的定義

域?yàn)?

［解析］>=於)的定義域?yàn)椋?2,2］,對(duì)于函數(shù)1),-2Wx

-1^2,即-1WXW3.

［答案］［-1,3］

7.若則/)=.

［解析］令X-1=/,則x=/+l,.?./(/)=(/+1)2=*+2/+1

［答案］7+2x+l

8.已知/(x)是一次函數(shù)，且<0)=1,/(1)=0,則加)=.

\b=

［解析］設(shè)段)=辦+6(。70),則彳

<7+0=0,

a--1,

解得女?

b=1

???加）=-x+1.

［答案］—x+1

二、解答題

lgx,x>0,

9.(2014?杭州模擬)已知函數(shù)兀r)=「…

x十3,x&O.

若火0+41)=0,求實(shí)數(shù)。的范圍.

［解］-.7(1)=1g1=0,由/)+火1)=0得%)=0.

當(dāng)<7>0時(shí)，j(a)=1g<7=0,■'-a=1.

當(dāng)aWO時(shí)，<a)=a+3=0,-'-a=-3.

綜上a的值為1或-3.

.［x—1,x>0,

10.已知段)=x-1,g(x)=

12—x,x<0.

⑴求如⑵)和g(o)的值；

(2)求/(g(x))的解析式.

［解］(1)由已知，g(2)=l,42)=3,

「加⑵)=")=0,g(/(2))=g⑶=2.

(2)當(dāng)x>0時(shí)，g(%)=x-1,

故./(g(x))=(X-1)2-1=f-2］；

當(dāng)x<0時(shí)，g(x)=2一％,

故7(g(x))=(2--1=f-4x+3;

x2-2x,x>0,

?\Xg(%))=24

［x-4x+3,x<0.

歸級(jí)能力提升練|

一、填空題

2/，x<0，

7T

1.(2013?福建局考)已知函數(shù)兀0=71則

一tanx,OWx</,

［解析］??尤卜-tan%7,

2.(2014?安徽高考)函數(shù)y=ln［l+；|+yi］？的定義域?yàn)?/p>

一1+->0,:->0,

［解析］要使函數(shù)有意義，需Jx即J%即

x<-1或x>0,

解得0<xWl,所以定義域?yàn)?0,1］.

—11,

［答案］(0,1］

二、解答題

3.(1)已知年+l)=lgx,求火了);

(2)已知於)是二次函數(shù)且/(0)=2,於+1)—/(x)=x—1,求/(%).

22

［解］(1)令，=：+1,則%=二77，

xt—1

22

???/“)=ig］l彳1，即/(尤)=3Jv1

(2)設(shè)/(x)=ax1+bx+c(aWO),

由/(0)=2,得c=2,

+1)-fix)=a(x+1y+b(x+1)-ax2-bx=x-1,

即2ax+a+h=x-1,

I

2。=1,a=2,

即＜

a+b=-1,

~2x+^-

第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值

固基礎(chǔ)?自主落實(shí)I

要求

內(nèi)容

ABC

考綱傳真

函數(shù)的基本

性質(zhì)

1.函數(shù)的單調(diào)性

（1）單調(diào)函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)

設(shè)函數(shù)y=/（x）的定義域?yàn)?,區(qū)間/C4如果對(duì)于區(qū)間/內(nèi)的任意兩個(gè)值修，工2

義

當(dāng)X1＜X2時(shí)，都有九盯）＜心2）那么就說函數(shù)收）當(dāng)修＜必時(shí)，都有色聞⑷，那么就說函數(shù).

在區(qū)間/上是單調(diào)增函數(shù)區(qū)間/上是單調(diào)減函數(shù)

（2）單調(diào)區(qū)間的定義

若函數(shù)作）在區(qū)間/上是單調(diào)增（減）函數(shù),則稱區(qū)間/為y=f{x）

的單調(diào)增（減）區(qū)間.

(3)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)j=大〃)，〃=g(x)，復(fù)合構(gòu)成y=/(g(x))，若、=/(〃)，〃=g(x)

具有單調(diào)性，則y=Ag(x))也具有單調(diào)性，規(guī)律如下表：

產(chǎn)加)增增減減

U=g(x)增減增減

增減減增

2.函數(shù)的最值

設(shè)函數(shù).=/)的定義域?yàn)?,如果存在的￡4

對(duì)任意的都有/(x)W/(媼對(duì)于任意的都有/U)Nf(x。).

危0)是)=/(%)的最大值,記作ymax=/(Xo)?0)是9=危)的最小值,記作為^=/(沏：

1.(夯基釋疑)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“J”，錯(cuò)誤的

打“X”)

(1)函數(shù)/)=2%+1在(-8,十8)上是增函數(shù).()

(2)函數(shù)y=/(x)在［1,+8)上是增函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間

是［1，+8).()

(3)函數(shù)歹=：的單調(diào)遞減區(qū)間是(一8,0)U(0,+°°).()

(4)函數(shù)/(x)=log2(3'+l)的最小值為0.()

［解析］(1)正確.(2)［1,+8)可能是單調(diào)遞增區(qū)間的子集.故Q)

錯(cuò)誤.(3)單調(diào)區(qū)間一般不能用U聯(lián)結(jié)，＞=」在(-8,0)上單調(diào)遞減，

X

在(0,+8)也單調(diào)遞減，但在區(qū)間(-8,0)U(0,+8)上不是單調(diào)

函數(shù)，故(3)錯(cuò)誤.(4)3、+1＞1,若最小值為0必須有3、+1=1.故(4)

錯(cuò)誤.

［答案］⑴J(2)X(3)X(4)X

2.(教材改編題)已知函數(shù)/(x)=-2f—QX,若對(duì)于區(qū)間［1,2］內(nèi)任

意兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)p，q，不等式"三詈＞0恒成立，則實(shí)數(shù)。的取

值范圍是.

［解析］由題意/)=--辦在口,2］上是增函數(shù)，

.,.一.22,-8.

［答案］(-8,-8］

3.函數(shù)y=|x|的單調(diào)遞增區(qū)間是.

x,,

［解析］y=\x\=］八故單調(diào)遞增區(qū)間是［0,+8).

-x,x＜0,

［答案］［0,+8)

4.對(duì)于函數(shù)兀E),xGD,若X”必￡。且(占一］2)貿(mào)工1)—/(%2)］＞0,

則函數(shù)在區(qū)間D上是單調(diào)函數(shù).

［解析］由(修-必)［/(修)-義工2)］＞0，可知(修-M)與貝為)-火必)］符

號(hào)相同，即若修＜》2則人為)勺(%2)，若修＞v2則加1)刁(%2＞故函數(shù)危)

為單調(diào)遞增函數(shù).

［答案］遞增

5.若函數(shù)人刈在R上是減函數(shù)，貝IJ/3)勺⑴的解集是.

［解析］..7(x)在R上是減函數(shù)，且義慟)勺(1),

|x|＞l,因此%＞1或

［答案］國%>1或X<—1}

提知能?典例探究I析典例探求—―

考向1函數(shù)單調(diào)性的判斷

【典例1】（1）（2014?無錫模擬）函數(shù)/（x）=log2（12—l）的單調(diào)遞減

區(qū)間為.

rix

（2）試討論函數(shù)火%）="1二px￡（—1,1）的單調(diào)性（其中aWO）.

XL

［解析］（1）由f-1>0得％>1或％<-1,

函數(shù)危）的定義域?yàn)椋?8,-1）U（1,+8）.

令/=-1,因?yàn)閥=log2/在/￡（0,+8）上為增函數(shù),

/=尤2-1在工￡（一8,-1）上是減函數(shù)，

所以函數(shù)段）遞減區(qū)間為（-8,-1）.

［答案］（—8，-1）

（2）法一：設(shè)-1<%1<%2<1，

則/（修）-./2）=善70X24（必一+D

-

X\1X2-1（X?-1）（X21）

一1<Xi<%2<1，

二.12一％1>°，X；—1<0,X\X2+1>0.

.（M-+D

（x”l）（若-1）

因此，當(dāng)a>0時(shí)，兀q）一左2）>0,

.,./Xi）>X%2）,此時(shí)函數(shù)在（-1,1）上為減函數(shù)；

當(dāng)Q<0時(shí)，火修）—人必）<0，

..貝修）（<了2），此時(shí)函數(shù)在（-1,1）上為增函數(shù).

_,[(/-1)-2a*2-+])

法二T叱(")2

當(dāng)a>0時(shí)，/(x)<0；當(dāng)a<0時(shí)，/(x)>0.

.，當(dāng)a>0時(shí)，於)在(一1,1)上為減函數(shù).

當(dāng)a<0時(shí)，/(%)在(-1,1)上為增函數(shù).

【規(guī)律方法】

1.求解第⑴題時(shí)，應(yīng)先求定義域，在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間.

2.函數(shù)單調(diào)性的判定方法有：(1)定義法；(2)圖象法；(3)利用已

知函數(shù)的單調(diào)性；(4)導(dǎo)數(shù)法.

3.函數(shù)y=y(g(x))的單調(diào)性應(yīng)根據(jù)外層函數(shù)>和內(nèi)層函數(shù)t

=g(x)的單調(diào)性判斷，遵循“同增異減”的原則.

【變式訓(xùn)練1](1)(2014?蘇州調(diào)研)若函數(shù)/(x)=|2x+a|的單調(diào)

遞增區(qū)間是[3,+8),求。的值.

(2)已知函數(shù)段)=2x+W的定義域?yàn)?0,2](a28的常數(shù))，試判斷/(x)

a

在定義域上的單調(diào)性.

2x+a,

[解](l〃)=|2x+a|da

-2x-Q,X<-

所以小)的單調(diào)增區(qū)間是一冬+8),

從而-/=3,---a=-6.

(2)任?。ァ睉?yīng)￡(0,2],且尤]V%2，

則於1)-AM)=2(xi—必)+。?一J

(修一42)(271'2-a)

X\X2

'：0<XI<X2^2,且

—%2<0,2修工2<8,

則2x\X2~a<0,

則人修)一/(必)>0,/(修)>/(12)，

/.當(dāng)時(shí)，/(X)在(0,2］上是減函數(shù).

考向2利用函數(shù)的單調(diào)性求最值

【典例2】求下列函數(shù)的最小值

x2—2x+2(1)

(l)/w=---------］；

(2)/(x)=x2—2ax+2,x^［—1,1］.

x2-2x+221

［解］(iyw------—=x+x~2,任取。<%1<%2W疝

次修)-加2)=卜+，2)-,2+1-2)

因?yàn)樾抟唬?<0，%1%2>0，%1%2-2<0,所以/(X1)-/(X2)>。,即

1-

所以函數(shù)4上為單調(diào)遞減函數(shù).

-

Y--2r+2，1、25

即函數(shù)J［x}----------［0<xWa］的最小值為彳.

(2)函數(shù)/(%)的圖象的對(duì)稱軸為x=a,且開口向上.

當(dāng)a>\時(shí)，4)在［-1,1］上單調(diào)遞減,

故於)min=7U)=3-2以

當(dāng)-IWaWl時(shí)，段)在［-1,1］上先減后增,

故/(x)min=./(?)=2-a2

當(dāng)。1時(shí),/㈤在［-1,1］上單調(diào)遞增，

故危)min=/-1)=3+2a

3-2a,

綜上可知，加)min=<22,(-iWaWl),

、3+2a,(a<-1).

【規(guī)律方法】

求函數(shù)最值的常用方法：

(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值；

(2)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，求

出最值；

(3)基本不等式法：先對(duì)解析式變形，使之具備“一正二定三相

等”的條件后用基本不等式求出最值；

(4)導(dǎo)數(shù)法：先求導(dǎo)，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合

端點(diǎn)值，求出最值；

(5)換元法：對(duì)比較復(fù)雜的函數(shù)可通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，

再用相應(yīng)的方法求最值.

【變式訓(xùn)練2】已知函數(shù)—)=4%2—24氏+3—貼>0)在［1,3］上

有最大值5和最小值2,求。和6的值.

［解］然)=ax2-2ax+3~b=a(x~\)2-a-b+3(a>0)函數(shù)圖象

工［/(3)=5,

的對(duì)稱軸為x=1,［1,3］是加)的單調(diào)遞增區(qū)間.所以2即

3

3a-h+3=5,a*

，解得1

-a-b+3=2.

u中

31

所以a的值為不b的值為不

考向3函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用(高頻考點(diǎn))

命題視角函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用比較廣泛是每年高考的重點(diǎn)和熱

點(diǎn)內(nèi)容.歸納起來常見的命題角度有：

(1)求函數(shù)的值域或最值；

(2)比較兩個(gè)函數(shù)值或兩個(gè)自變量的大??；

(3)解函數(shù)不等式.

【典例3】(2014?鎮(zhèn)江調(diào)研)已知函數(shù)4)=。0+63',其中常

數(shù)b滿足ab>0.

(1)判斷函數(shù)/(%)的單調(diào)性；

(2)解不等式式3x—2)況2x+l).

【思路點(diǎn)撥】(1)討論。、6的符號(hào)，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判定

外)的單調(diào)性；(2)利用第(1)問的結(jié)論，脫去對(duì)應(yīng)法則，了，轉(zhuǎn)化為關(guān)于

x的不等式求解.

［解］(1)當(dāng)"〉0時(shí)，a、b同號(hào).

①若a〉0,b>0,則與均單調(diào)遞增;

???/(X)=a-2x+b-3x在R上是增函數(shù).

②若a<0,b<0時(shí)，則W與萬3”是減函數(shù)，

「?小)=a-2x+63*在R上是減函數(shù).

(2)由。3%-2)次2%+1),得

若a>0,b>0：/(x)在R上是增函數(shù)，

3x-2>2x+1,則x>3,

若a<0,b<0,由第(1)問，得3%-2<2%+1,x<3.

綜上知，當(dāng)a>0,b>0,原不等式的解集為(3,+8)；

當(dāng)a<0,b<0時(shí)，原不等式的解集為(-8,3).

【通關(guān)錦囊】

i.函數(shù)大幻的單調(diào)性取決于系數(shù)。、人的符號(hào)，因此根據(jù)題設(shè)條

件，分類考查.

2.(1)熟練掌握基本初等函數(shù)的單調(diào)性是求解這類問題的關(guān)鍵.(2)

重視化歸思想與分類討論數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用.

【變式訓(xùn)練3】已知/(%)的定義域是(0,+oo),,/(xy)=X^)+?

且當(dāng)%>1時(shí)-，/(x)>0.

(1)求人1)的值;

(2)求證/(%)在定義域上是單調(diào)增函數(shù)；

(3)如果公')=—1,求滿足不等式一J占)22的x的取值范圍.

［解］⑴令x=y=l,得加)=41),即如)=0.

(2)證明：令歹=:，得/⑴=/(x)+/g=0，

所以《3=-小)

任取修，工2￡(0,+8)，且羽<x2,則加2)一人修)=7(%2)+彳0=乂微)

因?yàn)?<%1<X2，所以彳>1，故?后卜

從而危2)刁3)，所以/(X)在(0,+8)上是單調(diào)增函數(shù).

(3)因?yàn)?；)=-1,/；)=-負(fù)3)，所以<3)=1,

在/中)=危)+期中，令X=y=3,

得-9)=<3)+7(3)=2.

又-舊T=加-2)，故所給不等式可化為危-2)。9),所以

口乙)

x-2>0

?即ei.

x-2三9,

所以X的取值范圍是［11,+8）.

?名師微博?

掌握2個(gè)結(jié)論1.閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小

值.當(dāng)函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)時(shí)最值一定在端點(diǎn)取到.2.開區(qū)間上的

“單峰”函數(shù)一定存在最大（?。┲?

勿忘3點(diǎn)注意1.單調(diào)區(qū)間是定義域的子區(qū)間，求單調(diào)區(qū)間定義

域優(yōu)先.2.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間要分開寫，兩個(gè)（或兩個(gè)以上）同一類單

調(diào)區(qū)間之間用”隔開，不能用“U”連接，如函數(shù)單調(diào)減

區(qū)間為：（-8,0）,（0,+8）.3.兩函數(shù)義工）,g（x）在b）上

1

都是增（減）函數(shù)，則/（x）+g（x）也為增（減）函數(shù)，但麗等的

單調(diào)性與其正負(fù)有關(guān)，是不能一概而論來確定的.

熟記4種方法函數(shù)單調(diào)性的判斷

1.定義法：取值、作差、變形、定號(hào)、下結(jié)論.2.利用函數(shù)

的性質(zhì)：同增異減，即內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性相同時(shí)，為增函數(shù)，不同時(shí)

為減函數(shù).3.導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.4.圖象法：

利用圖象研究函數(shù)的單調(diào)性.

啟智慧?高考研析I

易錯(cuò)辨析之1分段函數(shù)單調(diào)性不注意端點(diǎn)值的比較

,8ax+3,%<1,

已知函數(shù)小）=在R上單調(diào)遞

，X1

減，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【錯(cuò)解】當(dāng)時(shí)，要使函數(shù)小）單調(diào)遞減，則有2。21,即

當(dāng)一21時(shí),要使函數(shù)加）單調(diào)遞減,則有0<a<l.

綜上知，/（%）在R上是減函數(shù)，。的范圍是:，+

【正解】當(dāng)x<l時(shí)，要使函數(shù)/（x）單調(diào)遞減，則有2aN1,即

當(dāng)xNl時(shí)，要使函數(shù)<x）單調(diào)遞減，則有

要使於）在R上單調(diào)遞減，則有2X12_8a+3Niog,i,解之得

綜上知，於）在R上是減函數(shù)，應(yīng)有;WaW|;

【智慧心語】

錯(cuò)因分析：由于函數(shù)在R上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x<l時(shí)的函數(shù)值

應(yīng)大于時(shí)的函數(shù)值.錯(cuò)解中只保證了和時(shí)，分別是減

函數(shù)，但沒能保證在R上單調(diào)遞減.

防范措施：對(duì)于分段函數(shù)的單調(diào)性，有兩種基本的判斷方法：一

保證各段上同增（減）時(shí)，要注意上、下段間端點(diǎn)值間的大小關(guān)系；二

是畫出這個(gè)分段函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象、性質(zhì)進(jìn)行直觀的判斷.研

究函數(shù)問題離不開函數(shù)圖象，函數(shù)圖象反映了函數(shù)的所有性質(zhì)，在研

究函數(shù)問題時(shí)要時(shí)時(shí)刻刻想到函數(shù)的圖象，學(xué)會(huì)從函數(shù)圖象上去分析

問題、尋找解決問題的方法.

X>1

【類題通關(guān)】公,一是R上的單調(diào)遞增函

［4一］卜+2xWl

數(shù)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

7>1,

［解］加）在R上單調(diào)遞增，則有<4―2>°'

以間+24,

解得4Wa<8,

所以a的取值范圍是［4,8）.

課后限時(shí)自測

［A級(jí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練］

一、填空題

1.（2014?北京高考改編）下列函數(shù)中，在區(qū)間（0,+8）上為增函

數(shù)的是.

①產(chǎn)為+1；②歹=（%-1）2;⑨=2。?y=logo,5（-r+l）.

［解析］①，函數(shù)歹=業(yè)+1在［-1,+8）上為增函數(shù)，所以函

數(shù)在（0,+8）上為增函數(shù)，故正確；②，函數(shù)y=Q-以在（-8,

1）上為減函數(shù)，在［1,+8）上為增函數(shù)，故錯(cuò)誤；③，函數(shù)、=2一、

="在R上為減函數(shù)，故錯(cuò)誤；④，函數(shù)y=logo，1+1）在（-1，+

8）上為減函數(shù)，故錯(cuò)誤.

［答案］①

2.(2014?陜西高考改編)下列函數(shù)中，滿足''7('+歹)=/心)”的

單調(diào)遞增函數(shù)是.

頌x)=g；頷x)=S領(lǐng)%)=(；);領(lǐng)%)=3二

［解析］指數(shù)函數(shù)滿足+刃=_X%M>)，又<X)=3、是增函數(shù).

［答案］④

3.給出如下三個(gè)函數(shù)：①歹=ln(x+2)；②尸一由+如?y=x

+1.其中在區(qū)間(0,+8)上為增函數(shù)的是

(寫出所有增函數(shù)的序號(hào))

［解析］、=111(%+2)在(-2,+8)上為增函數(shù);y=-@+1在(-

1,+8)上為減函數(shù)；y=%+1在(0,1)上為減函數(shù)，在(1,+8)上為

X

增函數(shù).

［答案］①

4.已知函數(shù)小)=酋一0(。為常數(shù)).若段)在區(qū)間［1,+8)上是

增函數(shù)，則。的取值范圍是.

?『(4),

［解析］./)=4八一…；