2022-2023學年山東省泰安市高二上學期期中考試數(shù)學試題一、單選題1．經(jīng)過A0,31，B3,1兩點的直線的傾斜角為（）A．π6B．π32π5πC．3D．6【答案】D【分析】利用傾斜角與斜率關系即可求解.k3113，設傾斜角為，A0,31，B3,1，則直線斜率為【詳解】因為直線經(jīng)過335π3,0,，此時則tan故選：D.632．若a2,4,1與b2,m,1共線，則m（）A．－4B．－2C．2D．4【答案】A【分析】依題意可得ba，即可得到方程組，解得即可.【詳解】解：因為a2,4,1與b2,m,1共線，2212,m,12,4,1，即4m所以ba，即，解得m4.1故選：A3．已知圓M的方程為x2y22x4y10，則圓心M的坐標為（）C．2,4D．2,4A．1,21,2B．【答案】B【分析】先化成標準式，即得圓心坐標.x2y22x4y10xy224，1【詳解】2因此圓心坐標為M1,2.故選：B.xy4．兩條平行直線l：3460與l：3x4y90間的距離為（）12第1頁共17頁13A．B．C．3D．535【答案】C【分析】直接利用兩條平行直線間的距離公式求解即可．【詳解】兩條平行直線l：3x4y60與l：3x4y9012693242153．所以兩條平行線間的距離為5故選：C．0,1,0為內一點，則點P1,0,1到平面的距1,2,2，點A5．已知平面的一個法向量為n離為（）A．4【答案】DB．3C．2D．1【分析】利用空間向量的數(shù)量積以及點到面的距離向量求法即可求解.【詳解】因為AP1,1,1，n1,2,2，所以1223，n1443，APnAPn則點P到平面的距離d1.n故選：D6．已知圓M：y4內有點P3,1，則以點P為中點的圓M的弦所在直線方程為（）2x22A．20xyxyB．20xyC．40D．xy20【答案】C【分析】由圓M的標準方程得出圓心和半徑，連接PM，作PM的垂線，交圓M于A，B兩點，以點P為中點的圓M的弦即為AB，求出直線MP的斜率，利用兩直線垂直關系，則可求出直線AB的斜率，用點斜式方程即可求出直線AB.【詳解】由圓的標準方程2,0，半徑r2，Mx224，可知圓心My2如圖，連接MP，作MP的垂線，交圓M于A，B兩點，第2頁共17頁k13021MPAB，1kAB1kMPy11x3，整理得xy40，所以直線的方程為：AB故選：C.AAbb為兩條異面直線，在直線上取點，，在直線b上取點，，使，且aAAAaAEF1117．已知，aa，的公垂線）AE2，.已知，5，，則異面直線AF3EF32a，（稱AA為異面直線bAA111b所成的角為（）52A．B．C．D．6633【答案】Bcos【分析】由題可設異面直線ba，所成的角為，利用向量可得的值，即求.a，所成的角為，(0,]【詳解】設異面直線b2∵AAa，且，，AF3，5，AA32，AAbAE21EF111∴EFEAAAAF11∴EF2EA2AA2AF2EAAAAAAF22EAAF2111111∴5222(32)232223cos第3頁共17頁(0,]2∴.3故選：B.8．若直線kxyk0與曲線y12僅有一個公共xx點，則實數(shù)k的取值范圍是（）211B．1,03A．1,031414C．1,D．1,3333【答案】D【分析】首先確定曲線的形狀，然后結合直線恒過定點考查臨界情況結合圖像即可確定實數(shù)的取k值范圍．2x【詳解】曲線y12即(y1)22x0(y1)，xx2M(1,1)為圓心，1為半徑的圓的上半部分，即(x1)2(y1)21(y1)，表示r直線kxyk0即yk(x1)恒過定點(1,0)，作出直線與半圓的圖象，如圖，考查臨界情況：當直線過點(0,1)時，直線的斜率k1，此時直線與半圓有兩個交點，1當直線過點時，直線的斜率k，此時直線(2,1)與半圓有1個交點，3M(1,1)到直線kxyk0的距離為1，且k0，當直線與半圓相切時，圓心|k1k|41，解得：k，(k0舍去）．即k21314據(jù)此可得，實數(shù)的取值范圍k是(1,]．33故選：D．二、多選題第4頁共17頁B．直線AB的傾斜角大于135C．的邊BC上的高所在直線的方程為【分析】A選項，135的大小；C選項ABC的邊上的高所在直線過點，且斜率和直線的斜率乘積為ABC1畫出圖像即可看出有；B選項用先用直線斜率公式求出斜率，再比較傾斜用點斜式寫出邊上的高所在直線；D選項ABC的邊上的中垂線經(jīng)過BC的中點，且斜率和BCBC1xy0與線段無公共點，以直線A錯誤；423111，所以直線的傾斜角大于AB135，B正確．2k因為AB432過點，k因為BC4，且邊上的高所在直線BCA1所以ABC的邊上的高所在直線的方程為2(1)，yxBC4即x4y70，C正確，5404，，且直線的斜BC率為232,2因為線段的中點為BCy2x5，1上的中垂線所在直線的方程為42所以BC即2x8y210，故D錯誤.故選：BC.10．已知直線l：，圓：x2y21，點Ma,b，則（）Caxby1A．若M在圓上，直線l與圓相切B．若M在圓內，直線l與圓相離CCC．若M在圓外，直線l與圓相離D．若M在直線l上，直線l與圓相切CC【答案】ABD第5頁共17頁1，圓心C0,0y22111r，對于A，若M在圓上，則MC則直線l與圓C相切，故A正確；對于B，若M在圓內，則MCl與圓C相離，故B正確；a2b2r1，圓心到直線的距離為：dla2b211ba2b21，圓心到直線的距離為：dl1r，則直線a221b對于C，若M在圓外，則MCa2b21，圓心到直線l的距離為：d1r，直線l與a22圓C相交，故C錯誤；1a2b212對于D，若M在直線l上，則21，圓心到直線l的距離為：dab1r，則直線l1與圓C相切，故D正確.故選：ABD.11．如圖，四棱柱ABCDABCD的底面ABCD是正方形，O為底面中心，平面ABCD，AO11111ABAA2．以O為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則（）12,0,2A．OB1B．平面OBBAC11C．平面OBB的一個法向量為n0,1,11D．點B到直線的距離為AC31【答案】BCDA,B,C,A的坐標,再對各個選項逐一分析計算并判斷1【分析】根據(jù)已知條件及給定的幾何圖形寫出點第6頁共17頁作答.,與的交點為原點,ABAA2【詳解】依題意,ABCD是正方形,ACBDACBDO,1,在給定的空間直角坐標系中,B2,0,0,C0,2,0,A0,2,0,A0,0,21,而ABAB2,2,0112,2,2,故A錯誤;,則點B12,2,2OB12,2,2,OB2,0,0OB,1設平面OBB的法向量nx,y,z,1nOB2x0則,nOB2x2y2z01y1,得n0,1,1,故C正確;令AC0,2,22n,即平面OBB,故B正確;AC111ABAC1,AC0,2,2AB2,0,,2,d11AC111B到AC的距離h2413,故D正確AB2d11故選:BCD12．古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼奧斯（約公元前262-前190）發(fā)現(xiàn)：平面內到兩個定點A，B的距離之比為定值1的點的軌跡是圓．后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼奧斯圓，B2,0，動點C滿足CA1，直線l：CB2簡稱阿氏圓．在平面直角坐標系中，已知A1,0，xOymxym10，則（）A．直線l過定點1,1B．動點C的軌跡方程為x22y24C．動點C到直線l的距離的最大值為21D．若直線l與動點C的軌跡交于P，Q兩點，且PQ22，則m1【答案】ABD第7頁共17頁C(x,y)【分析】設,由題意求出點的軌跡以及軌跡方程,利用直線與圓的位置關系,依次判斷四個C選項即可.x10x1，直線過定點m(x1)y10，y10y1lmxym【詳解】對于A,直線：10，l1,1，故選項A正確;|CA|1(x1)2y12C(x,y),因為動點滿足B,設對于C|CB|2,所以2,(x2)2y2(2,0)為圓心，2為半徑的整理可得4C的軌跡是以x,(x2)y24,所以動點yx0即N222r圓,動點,C的軌跡方程為(2)4故選項正確x2y2B;對于C,當直線與垂直時lMN,動點C到直線的距離最大l,且最大值為22,故選項C錯誤;,|m1|,因為PQ||4rd2對于D,記圓心到直線的距離為則d,Nld22m21|m1|4rd8,,r則因為2所以2,即2,解得m1,故選項正確D.22dm12故選:ABD.三、填空題xy13．已知直線：210，：2xay10，若∥，則的值是________．lll1l2a12【答案】4ABAB，代入相關【分析】由兩直線平行可得數(shù)據(jù)計算即可.1221【詳解】解：因為l∥l，12.a所以224故答案為：4.M4,0，N0,4兩點，且半徑為14．寫出過4的圓的一個標準方程：________．216）44yx2【答案】16（或y2x2坐標求解即可yb216，代入M，兩點的N.【分析】設所求圓的標準方程為：2xa216，xa標準方程為：yb【詳解】解：設所求圓的2第8頁共17頁a4x2y2xx2y2x15．在中國古代數(shù)學著作《就長算術》中，鱉臑（biēnào）是指四個面都是直角三角形的四面體.如AC4ABD，使圖，在直角中，為斜邊BC上的高，AB3，，現(xiàn)將ABD沿AD翻折ADC為一個鱉臑，則直線BD與平面所成角的余弦值是______.9【答案】16于交CD于M,可證明B'M平面ACD,則B'DM即為與平面的夾BMCDADCBD角.根據(jù)線段關系即可求解【分析】作'.【詳解】作BMCD于交CD于M'因為ADCD,ADDD'且CDDD'D所以AD平面DB'C而AD平面ACD所以平面ACD平面DB'C平面DB'CDC,且B'MCD第9頁共17頁又因為平面ACDB'M平面ACD則B'DM即為所以與平面的夾角ADCBD,,AC4因為直角中AB3ABC所以BCAB2AC29165ADABAC3412BC55212AD2425165則DCAC2所以DB'BCDC5169559cosB'DMcosB'DCDB''中,9516在直角三角形BDCDC1659:16故答案為【點睛】本題考查了空間幾何體中直線與平面的夾角求法,直線與平面垂直關系的判定,對空間想象能力和計算能力要求較高,屬于中檔題.xyz2a，，b6，則11abxyzbx,y,z，且3________．1axyz16．已知,,，1112222222【答案】32a2，b3，【分析】由6，可得向量與平行，且a，從而可得結果b.abab3a【詳解】∵||2，|b|3，6，ab所以23cosa,b6,a,b[0,π],a,bπ.2∴向量與平行，且b，aba32(x,y,z)(x,y,z)，所以3111222x2所以.1x32xyzx2∴3．1111xyzx22222故答案為.3：四、解答題第10頁共17頁117．已知直線：x1，：y2ykxb，且．ll1l1l22(1)求k的值；yx上，求直線的方程．l2(2)若直線與的交點的直線ll12【答案】(1)k2(2)y26x【分析】(1)根據(jù)兩直線垂直的條件即可求解；即可求解.l的斜率為k．(2)聯(lián)立兩直線方程求出交點坐標，代入直線的方程l21【詳解】（1）直線l的斜率為，直線1221因為ll，所以k1，2122．故k1yx1x2y2（2）由題意可知：聯(lián)立兩直線方程可得：2，解得．yx222b，解得b6，2,2將點代入l的方程得2y2x6．l的方程所以直線2為A1,3,4，B1,5,4，C1,2,1．18．已知ABBC(1)求,；(2)求AC在BC上的投影向量．【答案】(1)23π(2)0,2,2【分析】（1）由向量夾角余弦公式,分別計算向量數(shù)量積和向量的模,再根據(jù)夾角范圍,確定夾角的值.（2）根據(jù)投影向量定義分別計算兩個向量的數(shù)量積和模,再求出向量BC的同方向單位向量,計算即可得到投影向量.，【詳解】（1）解：因為AB2,2,0BC0,3,3所以ABBC6，AB22，BC32，，第11頁共17頁612．ABBC0AB,BCπ因為，2π3．ABBC所以,AC2,1,3（2）因為，BC0,3,3，1227．7所以cosAC,BC1432BC因為2,20,，22BC所以在上的投影向量為ACBC27722-ACcosAC,BCBC14BC0-，，22．=0,2,219．如圖，在平行六面體ABCDABCD中，ABAD4，，AA5BAADAA60，1DAB111111，分別為DC，CB中點．MN1111(1)求AC的長；1MNAC(2)證明：．1【答案】(1)AC113；1(2)證明見解析.【分析】（AB=a1）設，，，將AC用a,b,c表示出來，AAc根據(jù)向量的模長公式即可得到ADb11結果.第12頁共17頁,,表示出來，根據(jù)0，即可證明MNAC.MNAC（2）將MN,AC，分別用abc1111）設，，，則ab4，c5，【詳解】（8，ab10，acbcAAcAB=aADb111MNMCCNab2211ACABBCCCabc．11因為AC2abc2a2b2c2abbcca2424252281010113，113所以AC111（2）證明：因為MNACababc2211a21c2a1bcb21222214211014211022220，所以MNAC．120．已知圓M：x2y1225，圓N：x2y214xmy520，過圓M的圓心M作圓N2的切線，切線長為5．(1)求m的值，并判斷圓M與圓N的位置關系；(2)過圓N的圓心N作圓M的切線l，求l的方程．【答案】(1)m4，圓M與圓N相交xy(2)x7或125940，【分析】（然后根據(jù)切線長公式計算出的值，再根據(jù)圓心1）先用配方法確定圓N的圓心和半徑，m距和半徑之間的大小關系判斷位置關系；（需要對直線的斜率是否存在進行討論.2）過圓外一點可作圓的兩條切線，在我們求解的過程中M2,1，N7,m2，圓N的半徑r1）由題意知，142m2452m212，2【詳解】（2N由勾股定理得MN2r252，N第13頁共17頁252，m21m212即72222m解得4．226，r，，rr6rr4121所以72．MN2NMNMNrrMNrr，所以圓與圓相交；MNMN因為MNx7．檢驗知滿足相切（2）當?shù)男甭什淮嬖跁r，的方程為ll.y2kx7，即kxy7k20，當?shù)男甭蚀嬖跁r，設的方程為ll2k17k2512，解得5，k因為與圓相切，所以Ml1k212．ly所以的方程為27，即xy125940x5x7或12x5y940綜上所述，的方程為l，21．如圖，圓柱上，下底面圓的圓心分別為O，，該圓柱的軸截面為正方形，三棱柱ABCABCO1111306的三條側棱均為圓柱的母線，且ABAC，點在軸OO上運動．OOP11(1)證明：不論在何處，總有；BCPAP1(2)當為的中點時，求平面與平面夾角的余弦值．OO1APBBPBP11【答案】(1)證明見解析1111(2)【分析】（1）證明線面垂直，進而證明線線垂直；（2）利用空間向量的坐標運算方法求面面角的余弦值.【詳解】（1）證明：連接并延長，交于，交圓柱側面于．BCMAONABACOBOCBAMCAM，△≌△，所以因為，，所以AOBAOC所以≌ABM，所以為中點，所以．MBCOABCACM第14頁共17頁又在圓柱OO中，AA平面，平面，1ABCBCABC1AABC，AOAAA，AO,AA平面AOOA,11111所以BC平面AOOA．11因為不論在何處，總有PPA平面AOOA，111BCPA．1所以30a．OOAAANa(a0)，則（2）設ABAC116AMACcosCAMACAC5a，AN6在ABC中，1230655a．62CMBMaaOM則．所以a36Oxyz，1如圖，建立空間直角坐標系BC//x軸，軸是的垂直平分線，y其中BC1111A0,a,0，1,,0)，Ba,a,a，P2a，5110,0,51則(B1aa26316311aa(0,,)，2255所以(AB1,,)，APaaa6615a,11BB(0,0,a)BP，(6a,a)．3211mx,y,z，則APB的一個法向量為設平面155axayaz061ay12az06，取x1，得m(1,5,5)．2，則nb,c,d設平面BPB的一個法向量為1ad02,5,0．，取2，得nb5ab