一、選擇題1．(2022·高考全國卷Ⅲ)若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為，則不用現(xiàn)金支付的概率為()A． B．C． D．解析：由題意可知不用現(xiàn)金支付的概率為1－－＝.故選B.答案：B2．(2022·云南模擬)在正方形ABCD內(nèi)隨機(jī)生成n個點，其中在正方形ABCD內(nèi)切圓內(nèi)的點共有m個，利用隨機(jī)模擬的方法，估計圓周率π的近似值為()\f(m,n) \f(2m,n)\f(4m,n) \f(6m,n)解析：依題意，設(shè)正方形的邊長為2a則該正方形的內(nèi)切圓半徑為a，于是有eq\f(πa2,4a2)≈eq\f(m,n)，即π≈eq\f(4m,n)，即可估計圓周率π的近似值為eq\f(4m,n).答案：C3．(2022·滄州聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x2,ex)，在區(qū)間(－1,4)上任取一點，則使f′(x)＞0的概率是()\f(1,2) \f(2,5)\f(1,3) \f(1,6)解析：f′(x)＝eq\f(2x－x2,ex)，由f′(x)＞0可得f′(x)＝eq\f(2x－x2,ex)＞0，解得0＜x＜2，根據(jù)幾何概型的概率計算公式可得所求概率P＝eq\f(2－0,4－－1)＝eq\f(2,5).答案：B4．在區(qū)間[0,1]上隨意選擇兩個實數(shù)x，y，則使eq\r(x2＋y2)≤1成立的概率為()\f(π,2) \f(π,4)\f(π,3) \f(π,5)解析：如圖所示，試驗的全部結(jié)果構(gòu)成正方形區(qū)域，使得eq\r(x2＋y2)≤1成立的平面區(qū)域為以坐標(biāo)原點O為圓心，1為半徑的圓的eq\f(1,4)與x軸正半軸，y軸正半軸圍成的區(qū)域，由幾何概型的概率計算公式得，所求概率P＝eq\f(\f(π,4),1)＝eq\f(π,4).答案：B5．已知向量a＝(x，y)，b＝(1，－2)，從6張大小相同分別標(biāo)有號碼1,2,3,4,5,6的卡片中，有放回地抽取兩張，x，y分別表示第一次、第二次抽取的卡片上的號碼，則滿足a·b＞0的概率是()\f(1,12) \f(3,4)\f(1,5) \f(1,6)解析：設(shè)(x，y)表示一個基本事件，則兩次抽取卡片的所有基本事件有6×6＝36個，a·b＞0，即x－2y＞0，滿足x－2y＞0的基本事件有(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(5,2)，(6,2)，共6個，所以所求概率P＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).答案：D6．(2022·湖南五校聯(lián)考)在矩形ABCD中，AB＝2AD，在CD上任取一點P，△ABP的最大邊是AB的概率是()\f(\r(2),2) \f(\r(3),2)\r(2)－1 \r(3)－1解析：分別以A，B為圓心，AB的長為半徑畫弧，交CD于P1，P2，則當(dāng)P在線段P1P2間運(yùn)動時，能使得△ABP的最大邊是AB，易得eq\f(P1P2,CD)＝eq\r(3)－1，即△ABP的最大邊是AB的概率是eq\r(3)－1.答案：D7．(2022·天津六校聯(lián)考)連擲兩次骰子分別得到點數(shù)m，n，則向量a＝(m，n)與向量b＝(－1,1)的夾角θ＞90?的概率是()\f(5,12) \f(7,12)\f(1,3) \f(1,2)解析：連擲兩次骰子得到的點數(shù)(m，n)的所有基本事件為(1,1)，(1,2)，…，(6,6)，共36個．∵(m，n)·(－1,1)＝－m＋n＜0，∴m＞n.符合要求的事件為(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共15個，∴所求概率P＝eq\f(15,36)＝eq\f(5,12).答案：A8．由不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,y≥0，,y－x－2≤0))確定的平面區(qū)域記為Ω1，不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤1，,x＋y≥－2))確定的平面區(qū)域記為Ω2，在Ω1中隨機(jī)取一點，則該點恰好在Ω2內(nèi)的概率為()\f(1,8) \f(1,4)\f(3,4) \f(7,8)解析：由題意作圖，如圖所示，Ω1的面積為eq\f(1,2)×2×2＝2，圖中陰影部分的面積為2－eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×1＝eq\f(7,4)，則所求的概率P＝eq\f(\f(7,4),2)＝eq\f(7,8).答案：D二、填空題9．(2022·長沙模擬)在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點P，則點P到點O解析：由題意，在正方體中與點O距離等于1的是個半球面，V正＝23＝8，V半球＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(2,3)π，eq\f(V半球,V正)＝eq\f(2π,8×3)＝eq\f(π,12)，∴所求概率P＝1－eq\f(π,12).答案：1－eq\f(π,12)10．如圖，在等腰直角△ABC中，過直角頂點C作射線CM交AB于M，則使得AM小于AC的概率為________．解析：當(dāng)AM＝AC時，△ACM為以A為頂點的等腰三角形，∠ACM＝eq\f(180?－45?,2)＝?.當(dāng)∠ACM＜?時，AM＜AC，所以AM小于AC的概率P＝eq\f(∠ACM的度數(shù),∠ACB的度數(shù))＝eq\f?,90?)＝eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)11．某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎，抽獎方法是：從裝有2個紅球A1，A2和1個白球B的甲箱與裝有2個紅球a1，a2和2個白球b1，b2的乙箱中，各隨機(jī)摸出1個球，若摸出的2個球都是紅球則中獎，否則不中獎，則中獎的概率是________．解析：由題意，所有可能的結(jié)果是{A1，a1}，{A1，a2}，{A1，b1}，{A1，b2}，{A2，a1}，{A2，a2}，{A2，b1}，{A2，b2}，{B，a1}，{B，a2}，{B，b1}，{B，b2}，共12種，其中摸出的2個球都是紅球的結(jié)果為{A1，a1}，{A1，a2}，{A2，a1}，{A2，a2}，共4種，所以中獎的概率為P＝eq\f(4,12)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)12．一只受傷的候鳥在如圖所示(直角梯形ABCD)的草原上飛，其中AD＝3，CD＝2，BC＝5，它可能隨機(jī)落在該草原上任何一處(點)，若落在扇形沼澤區(qū)域(圖中的陰影部分)CDE以外候鳥能生還，則該候鳥生還的概率為________．解析：直角梯形ABCD的面積S1＝eq\f(1,2)×(3＋5)×2＝8，扇形CDE的面積S2＝eq\f(1,4)π×22＝π，根據(jù)幾何概型的概率公式，得候鳥生還的概率P＝eq\f(S1－S2,S1)＝eq\f(8－π,8)＝1－eq\f(π,8).答案：1－eq\f(π,8)三、解答題13．(2022·寶雞模擬)為了解我市的交通狀況，現(xiàn)對其6條道路進(jìn)行評估，得分分別為5,6,7,8,9,10.規(guī)定評估的平均得分與全市的總體交通狀況等級如下表：評估的平均得分(0,6)[6,8)[8,10]全市的總體交通狀況等級不合格合格優(yōu)秀(1)求本次評估的平均得分，并參照上表估計我市的總體交通狀況等級；(2)用簡單隨機(jī)抽樣的方法從這6條道路中抽取2條，它們的得分組成一個樣本，求該樣本的平均數(shù)與總體的平均數(shù)之差的絕對值不超過的概率．解析：(1)6條道路的平均得分為eq\f(1,6)×(5＋6＋7＋8＋9＋10)＝，∴該市的總體交通狀況等級為合格．(2)設(shè)A表示事件“樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5”從6條道路中抽取2條的得分組成的所有基本事件為(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(5,10)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，(7,10)，(8,9)，(8,10)，(9,10)，共15個基本事件．事件A包括(5,9)，(5,10)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，共7個基本事件．∴P(A)＝eq\f(7,15).故該樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對值不超過的概率為eq\f(7,15).14．(2022·西安八校聯(lián)考)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測量這些產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得到如圖所示的頻率分布直方圖，質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間[55,65)，[65,75)，[75,85]內(nèi)的頻率之比為4∶2∶1.(1)求這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間[75,85]內(nèi)的頻率；(2)用分層抽樣的方法在區(qū)間[45,75)內(nèi)抽取一個容量為6的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任意抽取2件產(chǎn)品，求這2件產(chǎn)品都在區(qū)間[45,65)內(nèi)的概率．解析：(1)設(shè)質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間[75,85]內(nèi)的頻率為x，則質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間[55,65)，[65,75)內(nèi)的頻率分別為4x,2x.依題意得＋＋＋×10＋4x＋2x＋x＝1，解得x＝.所以質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間[75,85]內(nèi)的頻率為.(2)由(1)得，質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間[45,55)，[55,65)，[65,75)內(nèi)的頻率分別為,,.用分層抽樣的方法在區(qū)間[45,75)內(nèi)抽取一個容量為6的樣本，則在區(qū)間[45,55)內(nèi)應(yīng)抽取6×eq\f,＋＋＝3件，記為A1，A2，A3；在區(qū)間[55,65)內(nèi)應(yīng)抽取6×eq\f,＋＋＝2件，記為B1，B2；在區(qū)間[65,75)內(nèi)應(yīng)抽取6×eq\f,＋＋＝1件，記為C.設(shè)“從樣本中任意抽取2件產(chǎn)品，這2件產(chǎn)品都在區(qū)間[45,65)內(nèi)”為事件M，則所有的基本事件有：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C)，(B1，B2)，(B1，C)，(B2，C)，共15種，事件M包含的基本事件有：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，共10種，所以這2件產(chǎn)品都在區(qū)間[45,65)內(nèi)的概率P＝eq\f(10,15)＝eq\f(2,3).15．(2022·長沙模擬)為了打好脫貧攻堅戰(zhàn)，某貧困縣農(nóng)科院針對玉米種植情況進(jìn)行調(diào)研，力爭有效地改良玉米品種，為農(nóng)民提供技術(shù)支援．現(xiàn)對已選出的一組玉米的莖高進(jìn)行統(tǒng)計，獲得莖葉圖如圖(單位：厘米)，設(shè)莖高大于或等于180厘米的玉米為高莖玉米，否則為矮莖玉米.(1)列出2×2列聯(lián)表，并判斷是否可以在犯錯誤的概率不超過的前提下，認(rèn)為抗倒伏與玉米矮莖有關(guān)？(2)為了改良玉米品種，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從抗倒伏的玉米中抽出5株，再從這5株玉米中選取2株進(jìn)行雜交試驗，則選取的植株均為矮莖的概率是多少？附：P(K2≥k0)k0K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.解析：(1)根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)得2×2列聯(lián)表如下：抗倒伏易倒伏總計矮莖1