關于高斯求積公式第一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四數(shù)值分析考慮更一般形式的數(shù)值積分問題定義：若求積公式對一切不高于m次的多項式p(x)都等號成立，即R(p)=0;而對于某個m+1次多項式等號不成立，則稱此求積公式的代數(shù)精度為m.一、構造高斯型求積公式的基本原理和方法

數(shù)值分析第二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四數(shù)值分析定理1：設節(jié)點x0,x1…,xn∈[a,b]，則求積公式

的代數(shù)精度最高為2n+1次。

分別取

f(x)=1,x，x2，...xr

代入公式，并讓其成為等式，得：

A0+A1+……+An=∫ab1dx.=b-ax0A0+x1A1+……+xnAn=∫abxdx.=（b2-a2)/2......x0

rA0+x1

rA1+……+xn

rAn=∫abxrdxr=(br+1-ar+1)

(r+1)數(shù)值分析第三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四數(shù)值分析

事實上,取

2n+2次多項式g(x)=(x-x0)2(x-x1)2….(x-xn)2

代入求積公式,這里x0,x1…,xn是節(jié)點，有左右,故等式不成立,求積公式的代數(shù)精度最高為2n+1次。證畢.

上式共有r+1個等式，2n+2個待定系數(shù)(變元),要想如上方程組有唯一解，應有方程的個數(shù)等于變元的個數(shù),即r+1=2n+2,這樣導出求積公式的代數(shù)精度至少是2n+1,下面證明代數(shù)精度只能是2n+1.

數(shù)值分析第四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四數(shù)值分析定義:使求積公式達到最高代數(shù)精度2n+1的求積公式稱為Guass求積公式。Guass求積公式的節(jié)點xk稱為Guass點,系數(shù)Ak稱為Guass系數(shù).因為Guass求積公式也是插值型求積公式,故有結論:n+1個節(jié)點的插值型求積公式的代數(shù)精度d

滿足：

n

d2n+1。數(shù)值分析第五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四數(shù)值分析例：選擇系數(shù)與節(jié)點，使求積公式（1）成為Gauss公式。解：n=1,由定義，若求積公式具有3次代數(shù)精度，則其是Gauss公式。為此，分別取

f(x)=1,x，x2，x3

代入公式，并讓其成為等式，得c1+

c2=2c1x1+

c2x2=0c1x12+

c2x22=2/3c1x13+

c2x23=0求解得：所求Gauss公式為：(1)用待定系數(shù)法構造高斯求積公式數(shù)值分析第六頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四數(shù)值分析

設Pn(x)，n=0,1,2,…,為正交多項式序列，Pn(x)具有如下性質(zhì)：1）對每一個n,Pn(x)是n次多項式。n=0,1,…2）(正交性)3）對任意一個次數(shù)≤n-1的多項式P(x)，有4）Pn(x)在(a,b)內(nèi)有n個互異零點。（2）利用正交多項式構造高斯求積公式數(shù)值分析第七頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四數(shù)值分析定理2

設x0,x1,…,xn是n+1次正交多項式Pn+1(x)的n+1

個零點,則插值型求積公式是Guass型求積公式。證明：只要證明求積公式的代數(shù)精確度為2n+1,即對任意一個次數(shù)≤2n+1的多項式求積公式都精確成立。設f(x)為任意一個次數(shù)≤2n+1的多項式，則有

f(x)=q(x)Pn+1(x)+r(x)，滿足f(xk)=r(xk)這里，Pn+1(x)是n+1次正交多項式，q(x)、r(x)均是次數(shù)≤n的多項式。數(shù)值分析第八頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四數(shù)值分析由性質(zhì)3）及(4)式，有由于n+1個節(jié)點的插值型求積公式的代數(shù)精確度不低于n，故有即對f(x)為任意一個次數(shù)≤2n+1的多項式求積公式都精確成立。證畢數(shù)值分析第九頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四數(shù)值分析利用正交多項式構造高斯求積公式的基本步驟：代入積分式因此，求積系數(shù)為數(shù)值分析第十頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四數(shù)值分析數(shù)值分析第十一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四數(shù)值分析數(shù)值分析第十二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四數(shù)值分析常用的高斯求積公式1.Gauss-Legendre求積公式

(1)

其中高斯點為Legendre多項式的零點Guass點xk,Guass系數(shù)Ak都有表可以查詢.數(shù)值分析第十三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四數(shù)值分析數(shù)值分析第十四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四數(shù)值分析數(shù)值分析第十五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四數(shù)值分析數(shù)值分析第十六頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四數(shù)值分析一般區(qū)間的Gauss-Legendre求積公式

如果積分區(qū)間是[a,b]，用線性變換

這樣就可以用Gauss-Legendre求積公式計算一般區(qū)間的積分.將積分區(qū)間從[a,b]變成[-1,1],由定積分的換元積分法有數(shù)值分析第十七頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四數(shù)值分析數(shù)值分析第十八頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四數(shù)值分析數(shù)值分析第十九頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四數(shù)值分析數(shù)值分析第二十頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四數(shù)值分析數(shù)值分析第二十一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四數(shù)值分析例

利用高斯求積公式計算解:

令x=1/2(1+t),則用高斯-Legendre求積公式計算.取n=4

積分精確值為

I=ln2=0.69314718…由此可見，高斯公式精確度是很高的.數(shù)值分析第二十二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四數(shù)值分析例:分別用不同方法計算如下積分,并做比較各種做法比較如下：1、用Newton-Cotes公式當n=1時，即用梯形公式，I≈0.9270354當n=2時,即用Simpson公式,I≈0.9461359當n=3時,I≈0.9461090當n=4時,I≈0.9460830當n=5時,I≈0.9460830I準=0.9460831數(shù)值分析第二十三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四數(shù)值分析2:用復化梯形公式

令h=1/8=0.1253：用復化辛卜生公式令h=1/8=0.125I準=0.9460831數(shù)值分析第二十四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四數(shù)值分析4、用Romberg公式KTn

SnCnRn00.920735510.93979330.946145920.94451350.94608690.940083030.94569060.94608330.94608310.9460831

I準=0.9460831數(shù)值分析第二十五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四數(shù)值分析5、用Gauss公式解：令x=(t+1)/2,

I準=0.9460831（2）用3個節(jié)點的Gauss公式（1）用2個節(jié)點的Gauss公式數(shù)值分析第二十六頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四數(shù)值分析算法比較此例題的精確值為0.9460831...由例題的各種算法可知：對Newton-cotes公式，當n=1時只有1位有效數(shù)字，當n=2時有3位有效數(shù)字，當n=5時有7位有效數(shù)字。對復化梯形公式有2位有效數(shù)字，對復化辛卜生公式有6位有效數(shù)字。用復合梯形公式，對積分區(qū)間[0，1]二分了11次用2049個函數(shù)值，才可得到7位準確數(shù)字。用Romberg公式對區(qū)間二分3次，用了9個函數(shù)值，得到同樣的結果。用Gauss公式僅用了3個函數(shù)值，就得到結果。數(shù)值分析第二十七頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四數(shù)值分析2.Gauss-Chebyshev公式常用的高斯求積公式數(shù)值分析第二十八頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四數(shù)值分析3.Gauss-Laguerre公式數(shù)值分析第二十九頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四數(shù)值分析4.Gauss-Hermite公式數(shù)值分析第三十頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四數(shù)值分析二、高斯型求積公式的截斷誤差和穩(wěn)定性分析數(shù)值分析第三十一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四數(shù)值分析已知Hermite插值誤差是因為對2n+1次多項式求積公式準確成立，即代入上式即有數(shù)值分析第三十二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四數(shù)值分析以下將證明高斯形求積公式的求積系數(shù)恒正數(shù)值分析第三十三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四數(shù)值分析數(shù)值分析第三十四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四數(shù)值分析

將積分區(qū)間[a,b]n等分，在每個小子區(qū)間上使用一個節(jié)點數(shù)較少的Gauss型求積公式,然后把它們加起來，就得到整個區(qū)間上Gauss型求積公式的復化形式。

復化Gauss求積公式的基本思想：

下面用Gauss-Legender求積公式推導復化Gauss型求積公式.將積分區(qū)間[a,b]n等分，三、復化Gauss求積公式數(shù)值分析第三十五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四數(shù)值分析

數(shù)值分析第三十六頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四數(shù)值分析

例如,用2點的Gauss-Legender求積公式復合,由表9-4,取n=1,得