第3講線面垂直與面面垂直考試要求1.空間中線面垂直、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，B級要求；2.運(yùn)用線面垂直、面面垂直的判定定理及性質(zhì)定理證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡單命題，B級要求.知識梳理直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義如果一條直線l與一個平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線l與平面a互相垂直.(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號表示判定定理一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直Ubanb=O"luaa"ab"a性質(zhì)定理兩直線垂直于同一個平面，則這兩條直線平行aUa"aIIbbUa2.平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直三面角，就說這兩個平面互相垂直.(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號表示判定定理一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面互相垂直l!a「"a!。1。性質(zhì)定理如果兩個平面互相垂直，則在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面山aD|3=a「"1!a1!a墅診斷自測判斷正誤在括號內(nèi)打“/或“》（1）直線l與平面a內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則Ua（）（2）垂直于同一個平面的兩平面平行.（）（3假設(shè)兩平面垂直，則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個平面.（）（4假設(shè)平面a內(nèi)的一條直線垂直于平面。內(nèi)的無數(shù)條直線，則a!。（）給出以下命題：如果平面a!平面。則平面a內(nèi)一定存在直線平行于平面。如果平面a不垂直于平面。則平面a內(nèi)一定不存在直線垂直于平面。如果平面a!平面Y平面。！平面yaH0=L則U平面Y如果平面a!平面。則平面a內(nèi)所有直線都垂直于平面。其中錯誤的命題是填序號）.（2021**卷改編）互相垂直的平面a。交于直線l假設(shè)直線m,n滿足mIIan!。給出以下結(jié)論：mIIl②mIn；③n!l④m!n.其中正確的選項是填序號）.（2021**模擬）設(shè)0ftY為互不重合的三個平面，1為直線，給出以下命題:假設(shè)allftolLv則|31Y假設(shè)olLv0_Ly且cxfl[3=1,則11y假設(shè)直線1與平面OC內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則直線1與平面OC垂直;假設(shè)OC內(nèi)存在不共線的三點到|3的距離相等，則平面OC平行于平面。其中真命題的序號為鳥出所有真命題的序號）.必修2P42習(xí)題16）在三棱錐P-ABC中，點P在平面ABC中的射影為點0,（1暇設(shè)PA=PB=PC,則點0是aABC的一心.（2暇設(shè)PA1PB,PB1PC,PC1PA,則點0是aABC的一心.考點一線面垂直的判定與性質(zhì)P【例1】如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA1底面樸TOC\o"1-5"\h\zABCD,/i\\:AB1AD,AC1CD,——ZABC=60。，PA=AB=BC,E是PC的中點.證明：（1）CD1AE；B（2FD_L平面ABE.規(guī)律方法（1）證明直線和平面垂直的常用方法有:①判定定理；②垂直于平面的傳遞性&IIb,ald'bl③面面平行的性質(zhì)01aallP'al[J；④面面垂直的性質(zhì)（olLftaD[3=a,11a,1"P'llc^.（2證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì).因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的根本思想.【訓(xùn)練1】（2021**期末）如下列圖，AB為圓0的直徑，點D為線段AB±一點,且AD=：DB,點C為圓O上一點，且BC=，..."AC,PD1平面ABC,PD=DB.n求證：PA1CD.n考點二面面垂直的判定與性質(zhì)【例2】（2021**卷）如圖，三棱臺DEF-ABC中，AB2DE,G,H分別為AC,BC的中點.（1求證：BDII平面FGH；（2暇設(shè)CF1BC,AB1BC,求證：平面BCD1平面EGH.規(guī)律方法（1）證明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定義；②面面垂直的判定定理.（2）兩平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)展轉(zhuǎn)化，在一個平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.【訓(xùn)練2】如圖，在三棱錐P-ABC中，平面PAB1平面ABC,PA1PB,M,N分別為AB,PA的中點.（1）求證：PBI平面MNC;（2暇設(shè)AC=BC，求證：PA1平面MNC.考點三平行與垂直的綜合問題侈維探究）命題角度一平行與垂直關(guān)系的證明【例3-1】（2021**卷）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D,E分別為AB,BC的中點，點F在側(cè)棱B1B上,JLBD1AF,AC1AB.求證:111111⑴直線DE/平面ACF；(2呼面BDE1平面ACF.規(guī)律方法⑴三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進(jìn)展線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化.(2庵直與平行結(jié)合問題，求解時應(yīng)注意平行、垂直的性質(zhì)及判定的綜合應(yīng)用.命題角度二平行垂直中探索性問題為矩形，BC=CE,'.VI【例3-2】如下列圖，平面ABCD_L平面BCE,四邊形ABCD為矩形，BC=CE,'.VI點F為CE的中點.(1)證明：AEII平面BDF；(2)點M為CD上任意一點，在線段AE上是否存在點P,使得PM1BE假設(shè)存在，確定點P的位置，并加以證明；假設(shè)不存在，請說明理由.規(guī)律方法(1)求條件探索性問題的主要途徑：①先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明；②先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明充分性.(2涉及點的位置探索性問題一般是先根據(jù)條件猜測點的位置再給出證明，探索點存在問題，點多為中點或三等分點中*一個，也可以根據(jù)相似知識建點.【訓(xùn)練3](2021*瀾研)在如下列圖的幾何體中，面CDEF為正方形，面ABCD(3線段AC上是否存在點M,使EAII平面FDM假設(shè)存在，請說明其位置，并加以證明；假設(shè)不存在，請說明理由.為等腰梯形，ABIICD,AC=?,AB=2BC=2,AC1FB.(1)求證：AC1為等腰梯形，ABIICD,AC=?,AB=2BC=2,AC1FB.(1)求證：AC1平面FBC;(2)求四面體FBCD的體積;AB思想方法］證明線面垂直的方法：(1線面垂直的定義：a與a內(nèi)任何直線都垂直"alam,n"amDn=A(2判定定理1：「「"lallm,lln(3判定定理2：aIb,alabla(4)面面垂直的性質(zhì)：alftaD|3=l,a"aall"alf；證明面面垂直的方法(1利用定義：兩個平面相交，所成的二面角是直二面角；(2判定定理：a"aal伊alft轉(zhuǎn)化思想：垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化［易錯防范］證明線面垂直時，易無視面內(nèi)兩條線為相交線這一條件.面面垂直的判定定理中，直線在面內(nèi)且垂直于另一平面易無視.面面垂直的性質(zhì)定理在使用時易忘面內(nèi)一線垂直于交線而盲目套用造成失誤.在解決直線與平面垂直的問題過程中，要注意直線與平面垂直的定義、判定定理和性質(zhì)定理的聯(lián)合交替使用，即注意線線垂直和線面垂直的相互轉(zhuǎn)化.根底穩(wěn)固題組建議用時：40分鐘)一、填空題（2021*斕研）對于直線Lm,平面0m"a則hLm是ELoc成立的條件從“充分不必要“必要不充分“充要“既不充分也不必要中選填一個（2021**四校聯(lián)考）假設(shè)平面a|3滿足od_ftcxH|3=1,P6aP"l,給出以下命題：過點P垂直于平面oc的直線平行于平面0過點P垂直于直線1的直線在平面0C內(nèi)；過點P垂直于平面13的直線在平面0C內(nèi)；過點P且在平面a內(nèi)垂直于1的直線必垂直于平面|3其中假命題為填序號）.如圖，PA_L平面ABC,BC1AC,則圖中直角三角形的/個數(shù)為在正三棱錐底面為正三角形且側(cè)棱相等）P-ABC中，D,E分別是AB,BC的中點，有以下三個論斷：①AC_LCPB;②AC//平面PDE；③AB_L平面PDE.其中正確論斷的序號為（2021蘇北四市聯(lián)考）0|3是兩個不同的平面，Lni是兩條不同的直線，Uam"|3給出以下命題：allP'llm;②olLP'l//m;③mIId'U0④1_LP'mIIa其中正確的命題是填序號）.如下列圖，在四棱錐P-ABCD中，PA_L底面ABCD,且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當(dāng)點M滿足時，平面MBD_L平面PCD（R要填寫一個你認(rèn)為正確的條件即可）.p（2021**檢測）如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高AD為折痕，把^ABD和^ACD折成互相垂直的兩個平面后，*學(xué)生得出以下四個結(jié)論：BD1AC;ABAC是等邊三角形；三棱錐D-ABC是正三棱錐；平面ADC_L平面ABC.其中正確的選項是填序號）.（2021全國II卷改編）0|3是兩個平面，m,n是兩條直線，有以下四個命題:如果mIn,m1an//ftjziijolL6如果m1an//a則mIn；如果allftm"a則mII0如果mIIn,allft則m與oc所成的角和n與|3所成的角相等.其中正確的命題有填序號）.二、解答題（2021*斕研）如圖，aABC和aBCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2,ZABC=ZDBC=120°,E,F,G分別為ACDC,AD的中點.⑴求證：EF_L平面BCG；（2）求三棱錐D-BCG的體積.（2021**模擬）如圖，四棱錐P-ABCD中底面ABCD是矩形，AB=2AD,PD_L底面ABCDE,F分別為棱AB,PC的中點.⑴求證:EF//平面PAD；（2）求證：平面PDE1平面PEC.能力提升題組健議用時：20分鐘）（2021蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市調(diào)研）設(shè)m,n是兩條不同的直線，a0是兩個不同的平面：假設(shè)mIn,n//a則m1q假設(shè)m//ftfla則m1q假設(shè)m1ftnlftnla則m1q假設(shè)mIn,nlftgla則m1a上述命題中為真命題的是填序號）.（2021**師大模擬）如圖，在正方形ABCD中，E,F分別是BC,CD的中點,沿AE,AF,EF把正方形折成一個四面體，使B,C,D三點重合，重合后的點記為P,P點在^AEF內(nèi)的射影為0,給出以下結(jié)論:①0是aAEF的垂心；②0是aAEF的內(nèi)心；③0是aAEF的外心；④0是aAEF的重心.其中結(jié)論正確的選項是填序號）.如圖，六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形，PA_L平