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第六章利用微元法解決:定積分在幾何上的應(yīng)用定積分在物理上的應(yīng)用定積分的應(yīng)用.第一節(jié)微元法

一、很多實(shí)際問(wèn)題歸結(jié)為定積分問(wèn)題二、微元法

第六章.的方法求出一、很多實(shí)際問(wèn)題歸結(jié)為定積分問(wèn)題1)如果所求量

F

是與區(qū)間[a,b]上的某分布f(x)有2)F

對(duì)區(qū)間[a,b]具有可加性

,即可通過(guò)“分割，近似，取極限”有關(guān)的一個(gè)整體量;這樣就歸結(jié)為求f定積分:.二、微元法第一步內(nèi)的近似值：第二步的精確值，這種分析方法稱為微元法第二節(jié)稱為所求量F的微元.微元法在幾何和物理中有很多應(yīng)用.即f的積分表達(dá)式：用“分割、近似”的方法求出F在將微元從a到b進(jìn)行“無(wú)限累加”，得出F(或元素法)..第二節(jié)一、直角坐標(biāo)系下的面積公式二、極坐標(biāo)系下的面積公式平面圖形的面積

第六章.一、直角坐標(biāo)系下的面積公式設(shè)兩條連續(xù)曲線與所圍成的曲邊梯形面積為A,在[a,b]上任取小區(qū)間及直線上的面積微元是：則在所求面積是：.若平面圖形由連續(xù)曲線與圍成,則在[c,d]上任取小區(qū)間及直線得到面微元所求面積是：.例1.

在第一象限所圍圖形的面積.解:

由得交點(diǎn)因此，計(jì)算兩條拋物線.例2.

與直線的面積.解:得交點(diǎn)所圍圖形為簡(jiǎn)便計(jì)算,選取

y

作積分變量,則有計(jì)算拋物線由.例3.解:

所圍圖形的面積.有利用橢圓的參數(shù)方程應(yīng)用定積分換元法得當(dāng)a=b

時(shí)得圓面積公式求橢圓利用對(duì)稱性,.例4.的一拱與x

軸所圍平面圖形的面積.解:求由擺線.二、極坐標(biāo)系下的面積公式求由曲線及圍成的曲邊扇形的面積.在區(qū)間上任取小區(qū)間則對(duì)應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為所求曲邊扇形的面積為設(shè).心形線例5.所圍圖形的面積.解:(利用對(duì)稱性)計(jì)算心形線.心形線(外擺線的一種)即

尖點(diǎn):

面積:

弧長(zhǎng):參數(shù)的幾何意義.例6.

與圓所圍圖形的面積.解:所求面積計(jì)算心形線利用對(duì)稱性,.例7.

所圍圖形面積.解

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