2022-2023學年吉林省松原市前郭縣烏蘭塔拉中學等五校聯(lián)考九年級第一學期期中數(shù)學試卷一、選擇題（每小題2分，共12分）1．拋物線y＝2x2+1的對稱軸是（）A．直線x＝ B．直線x＝﹣ C．直線x＝2 D．y軸2．圖書館的標志是濃縮圖書館文化的符號，下列圖書館標志中，是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．下列各數(shù)中，是方程x2＝4x﹣3的解的是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．24．如圖，將△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到△COD．若∠A＝110°，∠B＝30°，則∠COD的度數(shù)為（）A．20° B．30° C．40° D．70°5．如圖，已知AB為⊙O的直徑，點B為的中點，則下列結(jié)論中一定正確的是（）A．BM＝OM B．AB⊥CD C．OM＝OC D．∠BOC＝60°6．如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD四個頂點的坐標分別為A（1，1）、B（1，2）、C（2，2）、D（2，1）．若拋物線y＝（x+1）2向下平移m個單位（m＞0）與正方形ABCD的邊（包括四個頂點）有交點，則m的值不可能是（）A．1 B．3 C．5 D．7二、填空題（每小題3分，共24分）7．點P（5，﹣6）關于原點的對稱點的坐標為．8．如圖是中國共產(chǎn)主義青年團團旗上的圖案（圖案本身沒有字母），則至少旋轉(zhuǎn)度后能與原來圖形重合．9．已知：如圖，AB為半⊙O的直徑，C、D、E為半圓弧上的點，＝＝，∠BOE＝55°，則∠AOC的度數(shù)為度．10．如圖，MN為⊙O的弦，若∠OMN＝35°，則∠MON＝°．11．若關于x的一元二次方程5x2﹣9x+m＝0有兩個相等的實數(shù)根，則m的值是．12．如圖，已知拋物線y＝﹣（x﹣h）2+k的對稱軸為直線x＝1，且與x軸的一個交點的坐標為（3，0），那么它對應的函數(shù)解析式是．13．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝．將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△MNC，則AM的長是．14．如圖，正方形的邊長為4，以正方形中心為原點建立平面直角坐標系，作出函數(shù)y＝2x2與y＝﹣2x2的圖象，則陰影部分的面積是．三、解答題（每小題5分，共20分）15．用適當?shù)姆椒ń夥匠蹋簒2﹣2x﹣3＝0．16．在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx﹣5的圖象恰好經(jīng)過A（2，﹣9），B（4，﹣5）兩點，求該拋物線的解析式．17．如圖所示的正方形網(wǎng)格中（每個小正方形的邊長均是1，小正方形的頂點叫作格點），△ABC的頂點均在格點上，請在所給平面直角坐標系中以點C為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得△CA1B1，畫出△CA1B1，并寫出點B的對應點B1的坐標．18．如圖，在⊙O中，弦AB、CD相交于點E，∠BAC＝50°，∠AED＝110°，求∠ABD的度數(shù)．四、解答題（每小題7分，共28分）19．有一圓柱形木材，埋在墻壁中，其橫截面如圖所示，測得木材的半徑為15cm，露在墻體外側(cè)的弦長AB＝18cm，其中半徑OC垂直平分AB，則埋在墻體內(nèi)的弓形高CD等于多少cm？20．圖①、圖②均是4×5的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，每個小正方形的邊長均為1．點A、B均在格點上．在圖①、圖②中，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格內(nèi)按要求畫圖，所畫圖形的頂點均在格點上，不要求寫出畫法．（1）在圖①中，以線段AB為邊畫一個中心對稱四邊形ABCD，使其面積為6；（2）在圖②中，以線段AB為邊畫一個四邊形ABEF，使其即是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．21．如圖，在△ABC中，AC＝BC，E是AB上一點，且CE＝BE，將△CBE繞點C旋轉(zhuǎn)得到△CAD．（1）求證：AB∥DC；（2）連接DE，判斷四邊形BEDC的形狀，并說明理由．22．如圖，在平面直角坐標系中，O是原點．拋物線的頂點P到x軸的距離是9，拋物線與x軸交于O、M兩點，OM＝6．（1）點P的坐標為，點M的坐標為；（2）求拋物線的解析式．五、解答題（每小題8分，共16分）23．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，頂點為D，其中點A、C的坐標分別是（﹣1，0）、（0，3）．（1）求拋物線的表達式與頂點D的坐標；（2）設對稱軸與x軸交于點F，連結(jié)BD，過點O作OE⊥BD于點E，求OE的長．24．如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝BC＝5，將△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△ADE，點B的對應點為點D，點C的對應點為點E，連接BD、BE，延長BE交AD于點F．（1）求證：△ABD是等邊三角形；（2）求證：BF⊥AD，AF＝DF；（3）請直接寫出BE的長．六、解答題（每小題10分，共20分）25．已知，如圖1，四邊形ABCD是正方形，E，F(xiàn)分別在邊BC、CD上，且∠EAF＝45°，我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法．（1）在圖1中，連接EF，為了證明結(jié)論“EF＝BE+DF”，小亮將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后解答了這個問題，請按小亮的思路寫出證明過程；（2）如圖2，當∠EAF繞點A旋轉(zhuǎn)到圖2位置時，試探究EF與DF、BE之間有怎樣的數(shù)量關系？26．已知拋物線y＝﹣x2+bx+c的對稱軸是直線x＝2，將拋物線在y軸左側(cè)的部分沿x軸翻折，翻折后的部分和拋物線在y軸右側(cè)的部分組成圖象G．（1）填空：b＝；（2）如圖①，在圖象G中，c＝0．①當x取何值時，圖象G中的函數(shù)值y隨x的增大而減??？②當﹣4≤x≤3時，求圖象G的最大值與最小值；（3）如圖②，若c＝2，直線y＝n﹣1與圖象G恰有3個公共點，求n的取值范圍．

參考答案一、選擇題（每小題2分，共12分）1．拋物線y＝2x2+1的對稱軸是（）A．直線x＝ B．直線x＝﹣ C．直線x＝2 D．y軸【分析】根據(jù)拋物線的頂點式即可求得．解：∵拋物線y＝2x2+1，∴拋物線的對稱軸為y軸，故選：D．【點評】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點式是解題的關鍵．即在y＝a（x﹣h）2+k中，對稱軸為x＝h，頂點坐標為（h，k）．2．圖書館的標志是濃縮圖書館文化的符號，下列圖書館標志中，是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．根據(jù)中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．解：選項A、B、D不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后與原圖重合，所以不是中心對稱圖形；選項C能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后與原圖重合，所以是中心對稱圖形；故選：C．【點評】本題考查了中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．3．下列各數(shù)中，是方程x2＝4x﹣3的解的是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】通過解方程可對各選項進行判斷．解：x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3．故選C．故選：C．【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．注意一元二次方程的定義．4．如圖，將△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到△COD．若∠A＝110°，∠B＝30°，則∠COD的度數(shù)為（）A．20° B．30° C．40° D．70°【分析】由三角形的內(nèi)角和定理可求∠AOB的度數(shù)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求解．解：∵∠A＝110°，∠B＝30°，∴∠AOB＝180°﹣∠A﹣∠B＝40°，∵將△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到△COD，∴∠COD＝∠AOB＝40°，故選：C．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關鍵．5．如圖，已知AB為⊙O的直徑，點B為的中點，則下列結(jié)論中一定正確的是（）A．BM＝OM B．AB⊥CD C．OM＝OC D．∠BOC＝60°【分析】根據(jù)垂徑定理對各選項進行逐一判斷即可．解：A、無法判定BM＝OM，故本選項錯誤；B、∵AB為⊙O的直徑，B為的中點，∴AB⊥CD，故本選項正確；C、當點M為OC的中點時，OM＝OC，故本選項錯誤；D、無法判定∠BOC＝60°，故本選項錯誤．故選：B．【點評】本題考查的是垂徑定理，即平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?．如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD四個頂點的坐標分別為A（1，1）、B（1，2）、C（2，2）、D（2，1）．若拋物線y＝（x+1）2向下平移m個單位（m＞0）與正方形ABCD的邊（包括四個頂點）有交點，則m的值不可能是（）A．1 B．3 C．5 D．7【分析】根據(jù)向下平移橫坐標不變，分別代入B的橫坐標和D的橫坐標求得對應的函數(shù)值，即可求得m的取值范圍．解：設平移后的解析式為y＝（x+1）2﹣m，將B點坐標代入，得4﹣m＝2，解得m＝2，將D點坐標代入，得9﹣m＝1，解得m＝8，y＝（x+1）2向下平移m個單位（m＞0）與正方形ABCD的邊（包括四個頂點）有交點，則m的取值范圍是2≤m≤8，觀察選項，只有選項A符合題意．故選：A．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，利用了正方形性質(zhì)和二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，平移的性質(zhì)的應用，把B，D的坐標代入是解題關鍵．二、填空題（每小題3分，共24分）7．點P（5，﹣6）關于原點的對稱點的坐標為（﹣5，6）．【分析】根據(jù)關于原點對稱的點的坐標特征：橫縱坐標都互為相反數(shù)，即可解答．解：點P（5，﹣6）關于原點的對稱點的坐標為（﹣5，6），故答案為：（﹣5，6）．【點評】本題考查了關于原點對稱的點的坐標，熟練掌握關于原點對稱的點的坐標特征是解題的關鍵．8．如圖是中國共產(chǎn)主義青年團團旗上的圖案（圖案本身沒有字母），則至少旋轉(zhuǎn)72度后能與原來圖形重合．【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)角及旋轉(zhuǎn)對稱圖形的定義結(jié)合圖形特點作答．解：∵360°÷5＝72°，∴該圖形繞中心至少旋轉(zhuǎn)72度后能和原來的圖案互相重合．故答案為：72．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)角的定義及求法．對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角叫做旋轉(zhuǎn)角．9．已知：如圖，AB為半⊙O的直徑，C、D、E為半圓弧上的點，＝＝，∠BOE＝55°，則∠AOC的度數(shù)為15度．【分析】利用在同圓中等弧所對的圓心角相等可得∠COD、∠DOE、∠BOE都為55°，則∠AOC可解．解：∵，∠BOE＝55°，∴∠COD＝∠DOE＝∠BOE＝55°，∴∠AOC＝180°﹣∠COD﹣∠DOE﹣∠BOE＝15°．【點評】本題利用了在同圓中等弧所對的圓心角相等和平角的概念求解．10．如圖，MN為⊙O的弦，若∠OMN＝35°，則∠MON＝110°．【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)及等腰三角形的內(nèi)角和為180°可得答案．解：∵MN為圓O的弦，∴OM＝ON，∴∠OMN＝∠ONM＝35°，∴∠MON＝180°﹣2∠OMN＝180°﹣2×35°＝110°．故答案為：110．【點評】此題考查的是圓的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，掌握圓的性質(zhì)是解決此題關鍵．11．若關于x的一元二次方程5x2﹣9x+m＝0有兩個相等的實數(shù)根，則m的值是．【分析】根據(jù)一元二次方程5x2﹣9x+m＝0有兩個相等的實數(shù)根列關于m的方程，即可解得答案．解：∵關于x的一元二次方程5x2﹣9x+m＝0有兩個相等的實數(shù)根，∴Δ＝0，即92﹣4×5×m＝0，解得m＝，故答案為：．【點評】本題考查一元二次方程根的判別式，解題的關鍵是掌握一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則Δ＝0．12．如圖，已知拋物線y＝﹣（x﹣h）2+k的對稱軸為直線x＝1，且與x軸的一個交點的坐標為（3，0），那么它對應的函數(shù)解析式是y＝﹣（x﹣1）2+4．【分析】拋物線的對稱軸為直線x＝1，一個交點為（3，0），則另外一個交點為（﹣1，0），再用待定系數(shù)法即可求解．解：拋物線的對稱軸為直線x＝1，一個交點為（3，0），則另外一個交點為（﹣1，0），設拋物線的表達式為y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），則y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣（x﹣1）2+4，故答案為：y＝﹣（x﹣1）2+4．【點評】本題考查的是拋物線與x軸的交點，主要考查函數(shù)圖象上點的坐標特征，要求學生非常熟悉函數(shù)與坐標軸的交點、頂點等點坐標的求法，及這些點代表的意義及函數(shù)特征．13．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝．將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△MNC，則AM的長是2．【分析】由勾股定理求出CA，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出CA＝CM，∠ACM＝60°，證出△ACM為等邊三角形，得出AM＝CA即可．解：∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝，∴CA＝＝2，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：CA＝CM，∠ACM＝60°，∴△ACM為等邊三角形，∴AM＝CA＝2；故答案為：2．【點評】本題考查了圖形的變換﹣旋轉(zhuǎn)，等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性，勾股定理；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明三角形是等邊三角形是解決問題的關鍵．14．如圖，正方形的邊長為4，以正方形中心為原點建立平面直角坐標系，作出函數(shù)y＝2x2與y＝﹣2x2的圖象，則陰影部分的面積是8．【分析】根據(jù)題意，觀察圖形可得圖中的陰影部分的面積是圖中正方形面積的一半，而正方形面積為16，由此可以求出陰影部分的面積．解：∵函數(shù)y＝2x2與y＝﹣2x2的圖象關于x軸對稱，∴圖中的陰影部分的面積是圖中正方形面積的一半，而邊長為4的正方形面積為16，所以圖中的陰影部分的面積是8．故答案為8．【點評】本題考查的是關于x軸對稱的二次函數(shù)解析式的特點，解答此題的關鍵是根據(jù)函數(shù)解析式判斷出兩函數(shù)圖象的特點，再根據(jù)正方形的面積即可解答．三、解答題（每小題5分，共20分）15．用適當?shù)姆椒ń夥匠蹋簒2﹣2x﹣3＝0．【分析】先分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可．解：x2﹣2x﹣3＝0，（x+1）（x﹣3）＝0，x+1＝0，x﹣3＝0，x1＝﹣1，x2＝3．【點評】本題考查了解一元二次方程，能把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程是解此題的關鍵．16．在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx﹣5的圖象恰好經(jīng)過A（2，﹣9），B（4，﹣5）兩點，求該拋物線的解析式．【分析】把A（2，﹣9），B（4，﹣5）代入y＝ax2+bx﹣5，解方程組可得a，b的值，從而求得答案．解：把A（2，﹣9），B（4，﹣5）代入y＝ax2+bx﹣5得：，解得，∴拋物線解析式為y＝x2﹣4x﹣5．【點評】本題考查求二次函數(shù)解析式，解題的關鍵是掌握待定系數(shù)法．17．如圖所示的正方形網(wǎng)格中（每個小正方形的邊長均是1，小正方形的頂點叫作格點），△ABC的頂點均在格點上，請在所給平面直角坐標系中以點C為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得△CA1B1，畫出△CA1B1，并寫出點B的對應點B1的坐標．【分析】利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)分別作出A，B的對應點A1，B1即可．解：如圖，△CA1B1即為所求，B1（3，1）．【點評】本題考查作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換，解題的關鍵是掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．18．如圖，在⊙O中，弦AB、CD相交于點E，∠BAC＝50°，∠AED＝110°，求∠ABD的度數(shù)．【分析】首先根據(jù)圓周角定理得∠D＝∠BAC，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求得∠ABD的度數(shù)．解：∵∠BAC＝50°，∴∠D＝∠BAC＝50°．∵∠AED＝110°，∴∠ABD＝∠AED﹣∠D＝110°﹣50°＝60°．【點評】本題考查了圓周角定理，三角形的外角的性質(zhì)，熟記圓周角定理是解題的關鍵．四、解答題（每小題7分，共28分）19．有一圓柱形木材，埋在墻壁中，其橫截面如圖所示，測得木材的半徑為15cm，露在墻體外側(cè)的弦長AB＝18cm，其中半徑OC垂直平分AB，則埋在墻體內(nèi)的弓形高CD等于多少cm？【分析】由垂徑定理，勾股定理，即可求解．解：∵OC⊥AB，∴AD＝BD＝9cm，∵OD2＝AO2﹣AD2，∴OD2＝152﹣92，∴OD＝12cm，∵CD＝OC﹣OD，∴CD＝15﹣12＝3（cm），∴埋在墻體內(nèi)的弓形高CD等于3cm．【點評】本題考查垂徑定理，勾股定理，關鍵是應用勾股定理求出OD長．20．圖①、圖②均是4×5的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，每個小正方形的邊長均為1．點A、B均在格點上．在圖①、圖②中，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格內(nèi)按要求畫圖，所畫圖形的頂點均在格點上，不要求寫出畫法．（1）在圖①中，以線段AB為邊畫一個中心對稱四邊形ABCD，使其面積為6；（2）在圖②中，以線段AB為邊畫一個四邊形ABEF，使其即是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．【分析】（1）利用數(shù)形結(jié)合的思想畫出圖形即可；（2）作一個正方形ABEF即可．解：（1）如圖①中，四邊形ABCD即為所求；（2）如圖②中，正方形ABEF即為所求．【點評】本題考查作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換，軸對稱變換等知識，解題的關鍵是掌握旋轉(zhuǎn)變換，軸對稱變換的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．21．如圖，在△ABC中，AC＝BC，E是AB上一點，且CE＝BE，將△CBE繞點C旋轉(zhuǎn)得到△CAD．（1）求證：AB∥DC；（2）連接DE，判斷四邊形BEDC的形狀，并說明理由．【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠BCE＝∠ACD，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠B＝∠BAC，∠B＝∠BCE，由平行線的判定可得出結(jié)論；（2）由平行四邊形的判定可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠BCE＝∠ACD，∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC，∵CE＝BE，∴∠B＝∠BCE，∴∠ACD＝∠BAC，∴AB∥CD；（2）解：四邊形BEDC是平行四邊形，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CD＝CE，∵CE＝BE，∴CD＝BE，∵AB∥DC，∴四邊形BEDC是平行四邊形．【點評】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解本題的關鍵．22．如圖，在平面直角坐標系中，O是原點．拋物線的頂點P到x軸的距離是9，拋物線與x軸交于O、M兩點，OM＝6．（1）點P的坐標為（3，9），點M的坐標為（6，0）；（2）求拋物線的解析式．【分析】（1）OM＝6，則點P的橫坐標為3，點M的坐標為（6，0），頂點P到x軸的距離是9，則點P的縱坐標為9，即可求解；（2）用待定系數(shù)法即可求解．解：（1）∵OM＝6，則點P的橫坐標為3，點M的坐標為（6，0），∵頂點P到x軸的距離是9，則點P的縱坐標為9，故點P的坐標為（3，9）；故答案為（3，9），（6，0）；（2）設拋物線的表達式為y＝a（x﹣h）2+k，則y＝a（x﹣3）2+9，將點M的坐標代入上式得：0＝a（6﹣3）2+9，解得a＝﹣1，故拋物線的表達式為y＝﹣（x﹣3）2+9．【點評】本題考查的是拋物線與x軸的交點，主要考查函數(shù)圖象上點的坐標特征，要求學生非常熟悉函數(shù)與坐標軸的交點、頂點等點坐標的求法，及這些點代表的意義及函數(shù)特征．五、解答題（每小題8分，共16分）23．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，頂點為D，其中點A、C的坐標分別是（﹣1，0）、（0，3）．（1）求拋物線的表達式與頂點D的坐標；（2）設對稱軸與x軸交于點F，連結(jié)BD，過點O作OE⊥BD于點E，求OE的長．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求拋物線解析式，然后把一般式配成頂點式得到D點坐標；（2）連接OD，如圖，先解方程﹣x2+2x+3＝0得B（3，0），利用兩點間的距離公式計算出BD，然后利用面積法求OE的長．解：（1）把A（﹣1，0）、C（0，3）分別代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，∴拋物線解析式為y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴拋物線的頂點D的坐標為（1，4）；（2）連接OD，如圖，當y＝0時，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴B（3，0），∴BD＝＝2，∵OE?BD＝DF?OB，∴OE＝＝．【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標問題轉(zhuǎn)化為解關于x的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．24．如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝BC＝5，將△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△ADE，點B的對應點為點D，點C的對應點為點E，連接BD、BE，延長BE交AD于點F．（1）求證：△ABD是等邊三角形；（2）求證：BF⊥AD，AF＝DF；（3）請直接寫出BE的長．【分析】（1）根據(jù)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形證明；（2）根據(jù)線段垂直平分線的判定定理得到點B、E在AD的垂直平分線上，證明距離；（3）根據(jù)勾股定理求出BF、EF的長，計算即可．【解答】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知，∠BAD＝60°，AB＝AD，∴△ABD是等邊三角形；（2）證明：∵△ABD是等邊三角形，∴BA＝BD，∴點B在AD的垂直平分線上，∵EA＝CA，ED＝CB，CA＝CB，∴EA＝ED，∴E在AD的垂直平分線上，∴BE垂直平分AD，即BF⊥AD，AF＝DF；（3）解：∵AF＝AD＝3，AB＝6，∴BF＝＝3，∵AF＝3，AE＝AC＝5，∴EF＝＝4，∴BE＝BF﹣EF＝3﹣4．【點評】本題考查的是旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)以及勾股定理的應用，掌握線段垂直平分線的判定定理、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)是解題的關鍵．六、解答題（每小題10分，共20分）25．已知，如圖1，四邊形ABCD是正方形，E，F(xiàn)分別在邊BC、CD上，且∠EAF＝45°，我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法．（1）在圖1中，連接EF，為了證明結(jié)論“EF＝BE+DF”，小亮將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后解答了這個問題，請按小亮的思路寫出證明過程；（2）如圖2，當∠EAF繞點A旋轉(zhuǎn)到圖2位置時，試探究EF與DF、BE之間有怎樣的數(shù)量關系？【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明△AGE≌△AFE即可；（2）把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，使AB與AD重合，點E與點G對應到AD，證明△AEF≌△AGF即可求得EF＝DF﹣BE．【