第1節(jié)兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理考試要求認(rèn)識分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及其意義.知識梳理1.分類加法計(jì)數(shù)原理達(dá)成一件事有兩類不一樣方案，在第1類方案中有m種不一樣的方法，在第2類方案中有n種不同的方法.那么達(dá)成這件事共有N＝m＋n種不一樣的方法.2.分步乘法計(jì)數(shù)原理達(dá)成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有種不一樣的方法，做第2步有n種不一樣的方法，那么m達(dá)成這件事共有N＝m×n種不一樣的方法.分類加法和分步乘法計(jì)數(shù)原理，差別在于：分類加法計(jì)數(shù)原理針對“分類”問題，此中各樣方法相互獨(dú)立，用此中任何一種方法都能夠做完這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理針對“分步”問題，各個(gè)步驟相互依存，只有各個(gè)步驟都達(dá)成了才算達(dá)成這件事

.[微點(diǎn)提示

]分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理是解決擺列組合問題的基礎(chǔ)，并貫串其一直

.1.分類加法計(jì)數(shù)原理中，達(dá)成一件事的方法屬于此中一類，而且只屬于此中一類

.分步乘法計(jì)數(shù)原理中，各個(gè)步驟相互依存，步與步之間“相互獨(dú)立，分步達(dá)成”.基礎(chǔ)自測判斷以下結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，兩類不一樣方案中的方法能夠同樣.()(2)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接達(dá)成這件事.( )(3)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，每個(gè)步驟中達(dá)成這個(gè)步驟的方法是各不同樣的.( )在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事情是分兩步達(dá)成的，此中任何一個(gè)獨(dú)自的步驟都能達(dá)成這件事.( )分析分類加法計(jì)數(shù)原理，每類方案中的方法都是不一樣的，每一種方法都能達(dá)成這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理，每步的方法都是不一樣的，每步的方法只好達(dá)成這一步，不可以達(dá)成這件事，所以(1)，(4)均不正確.答案(1)×(2)√(3)√(4)×2.(選修2－3P28B2改編)現(xiàn)有4種不一樣顏色要對如下圖的四個(gè)部分進(jìn)行著色，要求有公共界限的兩塊不可以用同一種顏色，則不一樣的著色方法共有( )A.24種B.30種C.36種D.48種分析需要先給C塊著色，有4種結(jié)果；再給A塊著色，有3種結(jié)果；再給B塊著色，有2種結(jié)果；最后給D塊著色，有2種結(jié)果，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有4×3×2×2＝48(種).答案D3.(選修2－3P5例3改編)書架的第1層放有4本不一樣的計(jì)算機(jī)書，第2層放有3本不一樣的文藝書，第3層放有2本不一樣的體育書.從書架中任取1本書，則不一樣取法的種數(shù)為________.分析從書架上任取1本書，有三類方法：第1類方法是從第1層取1本計(jì)算機(jī)書，有4種方法；第2類方法是從第2層取1本文藝書，有3種方法；第3類方法是從第3層取1本體育書，有2種方法.依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，不一樣取法的種數(shù)是N＝m＋m＋m＝4＋3＋2123＝9.答案94.(2016·全國Ⅱ卷)如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會集，再一同到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓能夠選擇的最短路徑條數(shù)為( )A.24

B.18

C.12

D.9分析分兩步，第一步，從E→F，有6條能夠選擇的最短路徑；第二步，從F→G，有3條能夠選擇的最短路徑.由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知有6×3＝18條能夠選擇的最短路徑.應(yīng)選B.答案

B5.(2019·杭州模擬)教課大樓共有五層，每層均有兩個(gè)樓梯，由一層到五層的走法有( )A.10種B.25種C.52種D.24種分析每相鄰的兩層之間各有2種走法，共分4步.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有24種不一樣的走法.答案Dx2y26.(2019·菏澤六校聯(lián)考)橢圓m＋n＝1的焦點(diǎn)在x軸上，且m∈{1，2，3，4，5}，n∈{1，2，3，4，5，6，7}，則這樣的橢圓的個(gè)數(shù)為________.分析由于焦點(diǎn)在x軸上，>，以的值為標(biāo)準(zhǔn)分類，分為四類：第一類：＝5時(shí)，使>，mnmmmnn有4種選擇；第二類：m＝4時(shí)，使m>n，n有3種選擇；第三類：m＝3時(shí)，使m>n，n有2種選擇；第四類：m＝2時(shí)，使m>n，n有1種選擇.由分類加法計(jì)數(shù)原理，切合條件的橢圓共有10個(gè).答案10考點(diǎn)一分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用【例1】(1)從甲地到乙地有三種方式能夠抵達(dá).每日有天一人從甲地去乙地，共有________種不一樣的方法.

8班汽車、

2班火車和

2班飛機(jī).一(2)知足

a，b∈{－1，0，1，2}，且對于

x的方程

ax2＋2x＋b＝0有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對

(a，b)的個(gè)數(shù)為

________.分析(1)分三類：一類是乘汽車有8種方法；一類是乘火車有2種方法；一類是乘飛機(jī)有2種方法，由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有8＋2＋2＝12(種)方法.當(dāng)a＝0時(shí)，b的值能夠是－1，0，1，2，故(a，b)的個(gè)數(shù)為4；當(dāng)a≠0時(shí)，要使方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)數(shù)解，需使＝4－4ab≥0，即ab≤1.若a＝－1，則b的值能夠是－1，0，1，2，(a，b)的個(gè)數(shù)為4；若a＝1，則b的值能夠是－1，0，1，(a，b)的個(gè)數(shù)為3；若a＝2，則b的值能夠是－1，0，(a，b)的個(gè)數(shù)為2.由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，(a，b)的個(gè)數(shù)為4＋4＋3＋2＝13.答案(1)12(2)13規(guī)律方法分類標(biāo)準(zhǔn)是運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理的難點(diǎn)所在，應(yīng)抓住題目中的重點(diǎn)詞、重點(diǎn)元素和重點(diǎn)地點(diǎn).(1)依據(jù)題目特色恰入選擇一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn).分類時(shí)應(yīng)注意達(dá)成這件事情的任何一種方法一定屬于某一類，而且分別屬于不一樣種類的兩種方法才是不一樣的方法，不可以重復(fù).(3)分類時(shí)除了不可以交錯(cuò)重復(fù)外，還不可以有遺漏，如本例

(2)中易漏

a＝0這一類

.【訓(xùn)練1】(1)從3名女同學(xué)和2名男同學(xué)中選1人主持主題班會，則不一樣的選法種數(shù)為( )D.2從會集{1，2，3，，10}中隨意選出三個(gè)不一樣的數(shù)，使這三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，這樣的等比數(shù)列的個(gè)數(shù)為( )A.3B.4C.6D.8分析(1)5個(gè)人中每一個(gè)都可主持，所以共有5種選法.(2)以1為首項(xiàng)的等比數(shù)列為1，2，4；1，3，9；以2為首項(xiàng)的等比數(shù)列為2，4，8；以4為首項(xiàng)的等比數(shù)列為4，6，9；把這4個(gè)數(shù)列的次序顛倒，又獲取此外的4個(gè)數(shù)列，∴所求的數(shù)列共有2(2＋1＋1)＝8(個(gè)).答案(1)B(2)D考點(diǎn)二分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用【例2】(1)用0，1，2，3，4，5可構(gòu)成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為________.五名學(xué)生報(bào)名參加四項(xiàng)體育競賽，每人限報(bào)一項(xiàng)，則不一樣的報(bào)名方法的種數(shù)為________.五名學(xué)生搶奪四項(xiàng)競賽的冠軍(冠軍不并列)，則獲取冠軍的可能性有______種.分析(1)可分三步給百、十、個(gè)位放數(shù)字，第一步：百位數(shù)字有5種放法；第二步：十位數(shù)字有5種放法；第三步：個(gè)位數(shù)字有4種放法，依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，三位數(shù)的個(gè)數(shù)為5×5×4＝100.(2)五名學(xué)生參加四項(xiàng)體育競賽，每人限報(bào)一項(xiàng)，可逐個(gè)學(xué)生落實(shí)，每個(gè)學(xué)生有4種報(bào)名方法，共有45種不一樣的報(bào)名方法.五名學(xué)生搶奪四項(xiàng)競賽的冠軍，可對4個(gè)冠軍逐個(gè)落實(shí)，每個(gè)冠軍有5種獲取的可能性，共有54種獲取冠軍的可能性.答案(1)100(2)4554規(guī)律方法1.利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問題要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后次序的，而且分步一定知足：達(dá)成一件事的各個(gè)步驟是相互依存的，只有各個(gè)步驟都達(dá)成了，才算達(dá)成這件事.分步一定知足兩個(gè)條件：一是步驟相互獨(dú)立，互不擾亂；二是步與步保證連續(xù)，逐漸達(dá)成.【訓(xùn)練2】已知a∈{1，2，3}，∈{4，5，6，7}，則方程(x－)2＋(y－)2＝4可表示不bab同的圓的個(gè)數(shù)為()A.7B.9C.12D.16分析獲取圓的方程分兩步：第一步：確立a有3種選法；第二步：確立b有4種選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有3×4＝12(個(gè)).答案C考點(diǎn)三兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用【例3】(1)(2017·天津卷)用數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9構(gòu)成沒有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有________個(gè)(用數(shù)字作答).假如一條直線與一個(gè)平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對”.在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)極點(diǎn)確立的直線與含有四個(gè)極點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個(gè)數(shù)是( )A.48B.18C.24D.36分析(1)當(dāng)不含偶數(shù)時(shí)，有A54＝120(個(gè))，當(dāng)含有一個(gè)偶數(shù)時(shí)，有134＝960(個(gè))，454所以這樣的四位數(shù)共有1080個(gè).(2)在正方體中，每一個(gè)表面有四條棱與之垂直，六個(gè)表面，共構(gòu)成24個(gè)“正交線面對”；而正方體的六個(gè)對角面中，每個(gè)對角面有兩條面對角線與之垂直，共構(gòu)成12個(gè)“正交線面對”，所以共有36個(gè)“正交線面對”.答案(1)1080(2)D規(guī)律方法1.在綜合應(yīng)用兩個(gè)原理解決問題時(shí)應(yīng)注意：(1)一般是先分類再分步.在分步時(shí)可能又用到分類加法計(jì)數(shù)原理.(2)對于較復(fù)雜的兩個(gè)原理綜合應(yīng)用的問題，可適合地列出表示圖或列出表格，使問題形象化、直觀化.2.解決涂色問題，可按顏色的種數(shù)分類，也可按不一樣的地區(qū)分步達(dá)成.【訓(xùn)練3】(1)(2019·衡水調(diào)研)用0，1，，9十個(gè)數(shù)字，能夠構(gòu)成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為

(

)A.243

B.252

C.261

D.279(2)(

一題多解)(2019·青島質(zhì)檢

)如下圖，用

4種不一樣的顏色涂入圖中的矩形

A，B，C，D中，要求相鄰的矩形涂色不一樣，則不一樣的涂法有

(

)A.72種B.48種C.24種D.12種如下圖，在連接正八邊形的三個(gè)極點(diǎn)而成的三角形中，與正八邊形有公共邊的三角形有________個(gè)(用數(shù)字作答).分析(1)0，1，2，，9共能構(gòu)成9×10×10＝900(個(gè))三位數(shù)，此中無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有9×9×8＝648(個(gè))，∴有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有900－648＝252(個(gè)).(2)法一第一涂A有4種涂法，則涂B有3種涂法，C與，B相鄰，則C有2種涂法，DA只與C相鄰，則D有3種涂法，所以共有4×3×2×3＝72種涂法.法二按要求涂色起碼需要3種顏色，故分兩類：一是4種顏色都用，這時(shí)A有4種涂法，B有3種涂法，C有2種涂法，D有1種涂法，共有4×3×2×1＝24(種)涂法；二是用3種顏色，這時(shí)A，B，C的涂法有4×3×2＝24(種)，D只需不與C同色即可，故D有2種涂法，所以不一樣的涂法共有24＋24×2＝72(種).把與正八邊形有公共邊的三角形分為兩類：第一類，有一條公共邊的三角形共有8×4＝32(個(gè)).第二類，有兩條公共邊的三角形共有8個(gè).由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有32＋8＝40(個(gè)).答案(1)B(2)A(3)40[思想升華]1.應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的難點(diǎn)在于明確分類仍是分步.在辦理詳細(xì)的應(yīng)用問題時(shí)，第一一定弄清楚“分類”與“分步”的詳細(xì)標(biāo)準(zhǔn)是什么.選擇合理的標(biāo)準(zhǔn)辦理事情，能夠防止計(jì)數(shù)的重復(fù)或遺漏.2.(1)分類要做到“不重不漏”，分類后再分別對每一類進(jìn)行計(jì)數(shù)，最后用分類加法計(jì)數(shù)原理乞降，獲取總數(shù).分步要做到“步驟完好”，達(dá)成了全部步驟，恰巧達(dá)成任務(wù)，自然步與步之間要相互獨(dú)立，分步后再計(jì)算每一步的方法數(shù)，最后依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，把達(dá)成每一步的方法數(shù)相乘，獲取總數(shù).3.混淆問題一般是先分類再分步.4.要適合畫出表示圖或樹狀圖，使問題的剖析更直觀、清楚，便于探究規(guī)律.[易錯(cuò)防備]1.確實(shí)理解“達(dá)成一件事”的含義，以確立需要分類仍是需要分步進(jìn)行.2.分類的重點(diǎn)在于要做到“不重不漏”，分步的重點(diǎn)在于要正確設(shè)計(jì)分步的程序，即合理分類，正確分步.3.確立題目中能否有特別條件限制.基礎(chǔ)穩(wěn)固題組(建議用時(shí)：35分鐘)一、選擇題1.從會集{0，1，2，3，4，5，6}中任取兩個(gè)互不相等的數(shù)a，b構(gòu)成復(fù)數(shù)a＋bi，此中虛數(shù)的個(gè)數(shù)是( )A.30

B.42

C.36

D.35分析

由于

a＋bi

為虛數(shù)，所以

b≠0，即

b有

6種取法，

a有

6種取法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知能夠構(gòu)成6×6＝36個(gè)虛數(shù).答案C已知兩條異面直線a，b上分別有5個(gè)點(diǎn)和8個(gè)點(diǎn)，則這13個(gè)點(diǎn)能夠確立不一樣的平面?zhèn)€數(shù)為( )A.40

B.16

C.13

D.10分析

分兩類狀況議論：第

1類，直線

a分別與直線

b上的

8個(gè)點(diǎn)能夠確立

8個(gè)不一樣的平面；第2類，直線b分別與直線a上的5個(gè)點(diǎn)能夠確立5個(gè)不一樣的平面.依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知，共能夠確立8＋5＝13個(gè)不一樣的平面.答案C3.(2019·濟(jì)南調(diào)研)有4位教師在同一年級的4個(gè)班中各教一個(gè)班的數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)檢測時(shí)要求每位教師不可以在本班監(jiān)考，則不一樣的監(jiān)考方法有( )A.8種B.9種C.10種D.11種分析設(shè)四位監(jiān)考教師分別為，，，，所教班分別為，，，，假定A監(jiān)考，則ABCDabcdb余下三人監(jiān)考剩下的三個(gè)班，共有3種不一樣方法，同理A監(jiān)考c，d時(shí)，也分別有3種不一樣方法，由分類加法計(jì)數(shù)原理，共有3＋3＋3＝9(種)不一樣的監(jiān)考方法.答案B4.(2019·寧波質(zhì)檢)將一個(gè)四周體ABCD的六條棱上涂上紅、黃、白三種顏色，要求共端點(diǎn)的棱不可以涂同樣顏色，則不一樣的涂色方案有( )A.1

種

B.3

種

C.6

種

D.9

種分析

由于只有三種顏色，

又要涂六條棱，所以應(yīng)當(dāng)將四周體的對棱涂成同樣的顏色，

故有3×2×1＝6(種)涂色方案.答案C5.某電話局的電話號碼為139××××××××，若前六位固定，最后五位數(shù)字是由6或8構(gòu)成的，則這樣的電話號碼的個(gè)數(shù)為( )A.20B.25C.32D.60分析依照題意知，后五位數(shù)字由6或8構(gòu)成，可分5步達(dá)成，每一步有2種方法，依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，切合題意的電話號碼的個(gè)數(shù)為25＝32.答案C會集P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，此中x，y∈{1，2，3，，9}，且P?Q.把知足上述條件的一對有序整數(shù)對(x，y)作為一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，則這樣的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是( )A.9B.14C.15D.21分析當(dāng)x＝2時(shí)，x≠y，點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1×7＝7.當(dāng)x≠2時(shí)，由P?Q，∴x＝y(tǒng).∴x可從3，4，5，6，7，8，9中取，有7種方法.所以知足條件的點(diǎn)共有7＋7＝14(個(gè)).答案B將2名教師，4名學(xué)生疏成2個(gè)小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)小組由

1名教師和

2名學(xué)生構(gòu)成，則不一樣的安排方案共有

(

)A.12

種

B.10

種

C.9

種

D.8

種分析第一步，選派一名教師到甲地，另一名到乙地，共有1C2＝2(種)選派方法；第二步，選派兩名學(xué)生到甲地，此外兩名到乙地，有2種)選派方法；C＝6(4由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不一樣的選派方案共有2×6＝12(種).答案A8.從會集{1，2，3，4，，10}中，選出5個(gè)數(shù)構(gòu)成子集，使得這5個(gè)數(shù)中隨意兩個(gè)數(shù)的和都不等于11，則這樣的子集有()A.32個(gè)B.34個(gè)C.36個(gè)D.38個(gè)分析將和等于11的放在一組：1和10，2和9，3和8，4和7，5和6.從每一小組中取一個(gè)，有1C2＝2種，共有2×2×2×2×2＝32(個(gè)).答案A二、填空題9.某人從甲地到乙地，能夠乘火車，也能夠坐輪船，在這天的不一樣時(shí)間里，火車有4趟，輪船有3次，問這人的走法可有________種.分析由于某人從甲地到乙地，乘火車的走法有4種，坐輪船的走法有3種，每一種方法都能從甲地到乙地，依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，可得這人的走法可有4＋3＝7(種).答案7乘積(a1＋a2＋a3)(b1＋b2＋b3＋b4)(c1＋c2＋c3＋c4＋c5)睜開后的項(xiàng)數(shù)為________.分析從第一個(gè)括號中選一個(gè)字母有

3種方法，從第二個(gè)括號中選一個(gè)字母有4種方法，第三個(gè)括號中選一個(gè)字母有

5種方法，故依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知共有

N＝3×4×5＝60(項(xiàng)).答案

60在編號為1，2，3，4，5，6的六個(gè)盒子中放入兩個(gè)不一樣的小球，每個(gè)盒子中最多放入一個(gè)小球，且不可以在兩個(gè)編號連續(xù)的盒子中同時(shí)放入小球，則不一樣的放小球的方法有________種.分析設(shè)兩個(gè)不一樣的小球?yàn)锳，B，當(dāng)A放入1號盒或許6號盒時(shí)，B有4種不一樣的放法；當(dāng)A放入2，3，4，5號盒時(shí)，B有3種不一樣的放法，一共有4×2＋3×4＝20種不一樣的放法.答案2012.三邊長均為正整數(shù)，且最大邊長為11的三角形的個(gè)數(shù)是________.分析*另兩邊長用x，y(x，y∈N)表示，且不如設(shè)1≤x≤y≤11，要構(gòu)成三角形，一定x＋y≥12.當(dāng)y取11時(shí)，x可取1，2，3，，11，有11個(gè)三角形；當(dāng)y取10時(shí)，x可取2，3，，10，有9個(gè)三角形；；當(dāng)y取6時(shí)，x只好取6，只有1個(gè)三角形.所以所求三角形的個(gè)數(shù)為11＋9＋7＋5＋3＋1＝36.答案36能力提高題組(建議用時(shí)：15分鐘)如圖，圖案共分9個(gè)地區(qū)，有6種不一樣顏色的涂料可供涂色，每個(gè)地區(qū)只好涂一種顏色的涂料，此中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且相鄰地區(qū)的顏色不相同，則涂色方法有( )A.360種B.720種C.780種D.840種分析由題意知2，3，4，5的顏色都不同樣，先涂1，有6種方法，再涂2，3，4，5，有44種.A5種方法，故一共有6·A5＝720答案B我們把各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)稱為“六合數(shù)”(如2013是“六合數(shù)”)，則首位為2的“六合數(shù)”共有

(

)A.18

個(gè)

B.15

個(gè)

C.12

個(gè)

D.9

個(gè)分析

依題意，這個(gè)四位數(shù)的百位數(shù)、十位數(shù)、個(gè)位數(shù)之和為

4.由

4，0，0構(gòu)成

3個(gè)數(shù)分別為

400，040，004；由

3，1，0構(gòu)成

6個(gè)數(shù)分別為

310，301，130，103，013，031；由

2，2，0

構(gòu)成

3個(gè)數(shù)分別為

220，202，022；由

2，1，1構(gòu)成

3個(gè)數(shù)分別為

211，121，112.

共計(jì)3＋6＋3＋3＝15(個(gè)).答案B從1，2，3，4，7，9六個(gè)數(shù)中，任取兩個(gè)數(shù)作為對數(shù)的底數(shù)和真