§1二階線性偏微分方程的分類第四章二階線性偏微分方程的分類與總結(jié)§3三類方程的比較§2二階線性方程的特征理論§4先驗(yàn)估計

在前面的章節(jié)中，我們分別討論了弦振動方程、熱傳導(dǎo)方程與拉普拉斯方程。這三類方程的形狀很特殊，它們是二階線性偏微分方程的三個典型代表。一般形式的二階線性偏微分方程之間的共性和差異，往往可以從對這三類方程的研究中得到。本章中，我們將以這三類方程的知識為基礎(chǔ)，研究一般形式的二階線性偏微分方程，并對這三類方程的性質(zhì)進(jìn)行比較深入的分類和總結(jié)。本章要點(diǎn)1、達(dá)朗貝爾公式及其物理意義。2、齊次化原理（方程自由項(xiàng)、邊界條件齊次化的方法）。3、分離變量法求解弦振動方程和一維熱傳導(dǎo)方程的初邊值問題。（涉及常微分方程的內(nèi)容，注意復(fù)習(xí)高等數(shù)學(xué)相關(guān)內(nèi)容）4、從物理模型如何得出具體的定解問題。5、定解條件和定解問題的類型、定解問題適定性。6、二階線性偏微分方程的分類與標(biāo)準(zhǔn)形式化簡。

§1.1兩個自變量的方程§1二階線性偏微分方程的分類§1.2兩個自變量的二階線性偏微分方程的化簡§1.3方程的分類及化標(biāo)準(zhǔn)型的例子§1二階線性偏微分方程的分類

遵循由簡單到復(fù)雜的認(rèn)知規(guī)律，我們先研究兩個自變量的二階線性偏微分方程的分類問題。前面遇到的一維熱傳導(dǎo)方程、弦振動方程和二維拉普拉斯方程都是兩個自變量的二階線性偏微分方程。不過它們的形式特殊，若用(x,y)記自變量，一般的二階線性方程總可以寫成如下的形狀§1-1兩個自變量的方程

在前面弦振動方程的達(dá)朗貝爾解法(行波法)的學(xué)習(xí)中，我們已看到變量變換的意義。變換是研究微分方程的一個有效手段，通過適當(dāng)?shù)淖儞Q往往可以把復(fù)雜的方程轉(zhuǎn)化為簡單的，把不易求解的方程轉(zhuǎn)化為容易求解的。方程(4.1)的二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)稱為它的主部?，F(xiàn)在研究在什么樣的自變量變換下，方程的主部可以得到簡化?！?-1兩個自變量的方程§1-2兩個自變量的二階線性偏微分方程的化簡設(shè)(x0,y0)是區(qū)域Ω內(nèi)一點(diǎn)，在該點(diǎn)的鄰域內(nèi)對方程(1)進(jìn)行簡化。為此我們作下面的自變量變換在高等數(shù)學(xué)中，我們已經(jīng)知道：如果上述變換是二次連續(xù)可微的，且雅可比行列式在(x0,y0)點(diǎn)不為零，那么在點(diǎn)(x0,y0)的鄰域內(nèi)，變換(4.3)是可逆的，也就是存在逆變換也就是說，方程(4.1)可以采用新的自變量ξ,η表示為運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則§1-2兩個自變量的二階線性偏微分方程的化簡注意到(4.7)的第一個和第三個等式形式完全相同，因此，如果我們能選擇到方程的兩個函數(shù)無關(guān)的解φ1(x,y)和φ2(x,y)，那么，將變換取為ξ=φ1(x,y)和η=φ2(x,y)，方程(4.6)的系數(shù)。

這樣就達(dá)到了簡化方程(4.1)的主部的目的。下面考察這種選取的可能性。§1-2兩個自變量的二階線性偏微分方程的化簡

我們知道，方程(4.8)的求解可以轉(zhuǎn)化為下述常微分方程在(x,y)平面上的積分曲線問題：設(shè)φ1(x,y)=c是方程(4.9)的一族積分曲線，則z=φ1(x,y)是方程(4.8)的一個解。稱方程(4.9)的積分曲線為方程(4.8)的特征線，方程(4.9)有時也稱為方程(4.8)的特征方程。顯然方程(4.9)可以分解為兩個方程§1-2兩個自變量的二階線性偏微分方程的化簡這樣根據(jù)的符號不同，我們可以選取相應(yīng)的變換代入方程(4.6)，從而得到不同的化簡形式這三個方程分別稱為二階線性偏微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式?！?-2兩個自變量的二階線性偏微分方程的化簡

由前面的討論可知，方程(4.1)通過自變量的可逆變換(4.3)化為那一種標(biāo)準(zhǔn)形式，主要決定于它的主部系數(shù)。也就是說由l,m平面上的二次曲線的性質(zhì)而定。由于這個曲線可以是橢圓、雙曲線或拋物線，因此我們相應(yīng)地定義方程在一點(diǎn)的類型如下：若方程(4.1)的主部系數(shù)在區(qū)域Ω中某一點(diǎn)(x0，y0)滿足則稱方程在點(diǎn)(x0，y0)是雙曲型的；則稱方程在點(diǎn)(x0，y0)是橢圓型的。則稱方程在點(diǎn)(x0，y0)是拋物型的;相應(yīng)地，(4.12)、(4.13)和(4.14)這三個方程分別稱為雙曲型、拋物型和橢圓型(二階線性)偏微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式?！?-3方程的分類及化標(biāo)準(zhǔn)型的例子如果方程在區(qū)域Ω中每一點(diǎn)上均為雙曲型，那么我們稱方程在區(qū)域Ω中是雙曲型的。類似的，對橢圓型和拋物型也有同樣的定義。如果一個方程在區(qū)域Ω中的一部分區(qū)域表現(xiàn)為雙曲型，在另一部分表現(xiàn)為橢圓型，而在分界面上表現(xiàn)為拋物型，那么，這樣的方程在在區(qū)域Ω中稱為混合型的。舉例：容易看出，如果點(diǎn)(x0，y0)上方程(4.1)表現(xiàn)為雙曲型或橢圓型，那么一定存在該點(diǎn)的一個領(lǐng)域，使方程在這個領(lǐng)域內(nèi)是雙曲型或橢圓型的。但如果這個點(diǎn)上方程(4.1)表現(xiàn)為拋物型，則不一定存在一個領(lǐng)域，使方程在這個領(lǐng)域內(nèi)表現(xiàn)為拋物型。按照剛才的分類方法，很容易看出一維弦振動方程是雙曲型的，一維熱傳導(dǎo)方程是拋物型的，二維拉普拉斯方程是橢圓型的。前面我們已經(jīng)知道，以上三種方程描述的自然現(xiàn)象的本質(zhì)不同，其解的性質(zhì)也各異。這也從側(cè)面說明了我們對二階線性偏微分方程所進(jìn)行的分類是有其深刻的原因的。例如，空氣動力學(xué)中，對于定常Euler方程而言，它在亞音速流動中表現(xiàn)為橢圓型方程，在超音速流動中表現(xiàn)為雙曲型，在跨音速流動中表現(xiàn)為混合型。而對于非定常Euler方程而言，它始終表現(xiàn)為雙曲型。§1-3方程的分類及化標(biāo)準(zhǔn)型的例子雙曲型方程橢圓型方程拋物型方程特征方程§1-3方程的分類及化標(biāo)準(zhǔn)型的例子

例2

解定解問題解例3

求解解：特征方程為令：例4：把