./正弦定理和余弦定理的應(yīng)用舉例.考點(diǎn)梳理1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型測(cè)量距離問題、高度問題、角度問題、計(jì)算面積問題、航海問題、物理問題等．2．實(shí)際問題中的常用角<1>仰角和俯角與目標(biāo)線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角,目標(biāo)視線在水平視線上方的角叫仰角,目標(biāo)視線在水平視線下方的角叫俯角<如圖①>．<2>方向角：相對(duì)于某正方向的水平角,如南偏東30°,北偏西45°,西偏北60°等；<3>方位角指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角,如B點(diǎn)的方位角為α<如圖②>．<4>坡度：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)．[助學(xué)·微博]解三角形應(yīng)用題的一般步驟<1>閱讀理解題意,弄清問題的實(shí)際背景,明確已知與未知,理清量與量之間的關(guān)系．側(cè)重考查從實(shí)際問題中提煉數(shù)學(xué)問題的能力．<2>根據(jù)題意畫出示意圖,將實(shí)際問題抽象成解三角形問題的模型．<3>根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解．<4>將三角形問題還原為實(shí)際問題,注意實(shí)際問題中的有關(guān)單位問題、近似計(jì)算的要求等．解三角形應(yīng)用題常有以下兩種情形<1>實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后,已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解．<2>實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后,已知量與未知量涉及到兩個(gè)或兩個(gè)以上的三角形,這時(shí)需作出這些三角形,先解夠條件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有時(shí)需設(shè)出未知量,從幾個(gè)三角形中列出方程<組>,解方程<組>得出所要求的解．考點(diǎn)自測(cè)1．<2012·XX金陵中學(xué)>已知△ABC的一個(gè)內(nèi)角為120°,并且三邊長(zhǎng)構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列,則三角形的面積等于________．解析記三角形三邊長(zhǎng)為a－4,a,a＋4,則<a＋4>2＝<a－4>2＋a2－2a<a－4>cos120°,解得a＝10,故S＝eq\f<1,2>×10×6×sin120°＝15eq\r<3>.答案15eq\r<3>2．若海上有A,B,C三個(gè)小島,測(cè)得A,B兩島相距10海里,∠BAC＝60°,∠ABC＝75°,則B,C間的距離是________海里．解析由正弦定理,知eq\f<BC,sin60°>＝eq\f<AB,sin180°－60°－75°>.解得BC＝5eq\r<6><海里>．答案5eq\r<6>3．<2013·日照調(diào)研>如圖,一船自西向東勻速航行,上午10時(shí)到達(dá)一座燈塔P的南偏西75°距塔68海里的M處,下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處,則這只船的航行速度為________海里/時(shí)．解析由正弦定理,得MN＝eq\f<68sin120°,sin45°>＝34eq\r<6><海里>,船的航行速度為eq\f<34\r<6>,4>＝eq\f<17\r<6>,2><海里/時(shí)>．答案eq\f<17\r<6>,2>4．在△ABC中,若2eq\r<3>absinC＝a2＋b2＋c2,則△ABC的形狀是________．解析由2eq\r<3>absinC＝a2＋b2＋c2,a2＋b2－c2＝2abcosC相加,得a2＋b2＝2absineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<C＋\f<π,6>>>.又a2＋b2≥2ab,所以sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<C＋\f<π,6>>>≥1,從而sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<C＋\f<π,6>>>＝1,且a＝b,C＝eq\f<π,3>時(shí)等號(hào)成立,所以△ABC是等邊三角形．答案等邊三角形5．<2010·XX卷>在銳角△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若eq\f<b,a>＋eq\f<a,b>＝6cosC,則eq\f<tanC,tanA>＋eq\f<tanC,tanB>的值是________．解析利用正、余弦定理將角化為邊來運(yùn)算,因?yàn)閑q\f<b,a>＋eq\f<a,b>＝6cosC,由余弦定理得eq\f<a2＋b2,ab>＝6·eq\f<a2＋b2－c2,2ab>,即a2＋b2＝eq\f<3,2>c2.而eq\f<tanC,tanA>＋eq\f<tanC,tanB>＝eq\f<sinC,cosC>eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<cosA,sinA>＋\f<cosB,sinB>>>＝eq\f<sinC,cosC>·eq\f<sinC,sinAsinB>＝eq\f<c2,ab·\f<a2＋b2－c2,2ab>>＝eq\f<2c2,a2＋b2－c2>＝eq\f<2c2,\f<3,2>c2－c2>＝4.答案4..考向一測(cè)量距離問題[例1]如圖所示,A、B、C、D都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi),B、D為兩島上的兩座燈塔的塔頂．測(cè)量船于水面A處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為75°,30°,于水面C處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為60°,AC＝0.1km.<1>求證：AB＝BD；<2>求BD.<1>證明在△ACD中,∠DAC＝30°,∠ADC＝60°－∠DAC＝30°,所以CD＝AC＝0.1.又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°,故CB是△CAD底邊AD的中垂線,所以BD＝BA.<2>解在△ABC中,eq\f<AB,sin∠BCA>＝eq\f<AC,sin∠ABC>,即AB＝eq\f<ACsin60°,sin15°>＝eq\f<3\r<2>＋\r<6>,20><km>,因此,BD＝eq\f<3\r<2>＋\r<6>,20><km>故B、D的距離約為eq\f<3\r<2>＋\r<6>,20>km.[方法總結(jié)]<1>利用示意圖把已知量和待求量盡量集中在有關(guān)的三角形中,建立一個(gè)解三角形的模型．<2>利用正、余弦定理解出所需要的邊和角,求得該數(shù)學(xué)模型的解．<3>應(yīng)用題要注意作答．[訓(xùn)練1]隔河看兩目標(biāo)A與B,但不能到達(dá),在岸邊先選取相距eq\r<3>千米的C,D兩點(diǎn),同時(shí)測(cè)得∠ACB＝75°,∠BCD＝45°,∠ADC＝30°,∠ADB＝45°<A,B,C,D在同一平面內(nèi)>,求兩目標(biāo)A,B之間的距離．解如題圖所示,在△ACD中,∵∠ADC＝30°,∠ACD＝120°,∴∠CAD＝30°,AC＝CD＝eq\r<3><千米>．在△BDC中,∠CBD＝180°－45°－75°＝60°.由正弦定理,可得BC＝eq\f<\r<3>sin75°,sin60°>＝eq\f<\r<6>＋\r<2>,2><千米>．在△ABC中,由余弦定理,可得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠BCA,即AB2＝<eq\r<3>>2＋eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<\r<6>＋\r<2>,2>>>2－2eq\r<3>·eq\f<\r<6>＋\r<2>,2>cos75°＝5,∴AB＝eq\r<5><千米>．所以兩目標(biāo)A,B間的距離為eq\r<5>千米．.考向二測(cè)量高度問題[例2]<2010·XX>某興趣小組要測(cè)量電視塔AE的高度H<單位：m>如圖所示,垂直放置的標(biāo)桿BC的高度h＝4m,仰角∠ABE＝α,∠ADE＝β.<1>該小組已測(cè)得一組α、β的值,算出了tanα＝1.24,tanβ＝1.20,請(qǐng)據(jù)此算出H的值；<2>該小組分析若干測(cè)得的數(shù)據(jù)后,認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離d<單位：m>,使α與β之差較大,可以提高測(cè)量精度．若電視塔的實(shí)際高度為125m,試問d為多少時(shí),α－β最大？解<1>由AB＝eq\f<H,tanα>,BD＝eq\f<h,tanβ>,AD＝eq\f<H,tanβ>及AB＋BD＝AD得eq\f<H,tanα>＋eq\f<h,tanβ>＝eq\f<H,tanβ>解得H＝eq\f<htanα,tanα－tanβ>＝eq\f<4×1.24,1.24－1.20>＝124.因此,算出的電視塔的高度H是124m.<2>由題設(shè)知d＝AB,得tanα＝eq\f<H,d>.由AB＝AD－BD＝eq\f<H,tanβ>－eq\f<h,tanβ>,得tanβ＝eq\f<H－h(huán),d>,所以tan<α－β>＝eq\f<tanα－tanβ,1＋tanαtanβ>＝eq\f<h,d＋\f<HH－h(huán),d>>≤eq\f<h,2\r<HH－h(huán)>>,當(dāng)且僅當(dāng)d＝eq\f<HH－h(huán),d>,即d＝eq\r<HH－h(huán)>＝eq\r<125×125－4>＝55eq\r<5>時(shí),上式取等號(hào)．所以當(dāng)d＝55eq\r<5>時(shí),tan<α－β>最大．因?yàn)?<β<α<eq\f<π,2>,則0<α－β<eq\f<π,2>,所以當(dāng)d＝55eq\r<5>時(shí),α－β最大．故所求的d是55eq\r<5>m.[方法總結(jié)]<1>測(cè)量高度時(shí),要準(zhǔn)確理解仰、俯角的概念．<2>分清已知和待求,分析<畫出>示意圖,明確在哪個(gè)三角形應(yīng)用正、余弦定理．<3>注意豎直線垂直于地面構(gòu)成的直角三角形．[訓(xùn)練2]如圖所示,測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí),可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D,現(xiàn)測(cè)得∠BCD＝α,∠BDC＝β,CD＝s,并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為θ,求塔高AB.解在△BCD中,∠CBD＝π－α－β,由正弦定理得eq\f<BC,sin∠BDC>＝eq\f<CD,sin∠CBD>,所以BC＝eq\f<CDsin∠BDC,sin∠CBD>＝eq\f<s·sinβ,sinα＋β>在Rt△ABC中,AB＝BCtan∠ACB＝eq\f<stanθsinβ,sinα＋β>..考向三運(yùn)用正、余弦定理解決航海應(yīng)用問題[例3]我國(guó)海軍在東海舉行大規(guī)模演習(xí)．在海岸A處,發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向,距離A<eq\r<3>－1>km的B處有一艘"敵艦"．在A處北偏西75°的方向,距離A2km的C處的"XX號(hào)"驅(qū)逐艦奉命以10eq\r<3>km/h的速度追截"敵艦"．此時(shí),"敵艦"正以10km/h的速度從B處向北偏東30°方向逃竄,問"XX號(hào)"沿什么方向能最快追上"敵艦"？解設(shè)"XX號(hào)"用th在D處追上"敵艦",則有CD＝10eq\r<3>t,BD＝10t,如圖在△ABC中,∵AB＝eq\r<3>－1,AC＝2,∠BAC＝120°,∴由余弦定理,得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝<eq\r<3>－1>2＋22－2·<eq\r<3>－1>·2·cos120°＝6∴BC＝eq\r<6>,且sin∠ABC＝eq\f<AC,BC>·sin∠BAC＝eq\f<2,\r<6>>·eq\f<\r<3>,2>＝eq\f<\r<2>,2>.∴∠ABC＝45°,∴BC與正北方向垂直．∴∠CBD＝90°＋30°＝120°,在△BCD中,由正弦定理,得sin∠BCD＝eq\f<BD·sin∠CBD,CD>＝eq\f<10tsin120°,10\r<3>t>＝eq\f<1,2>,∴∠BCD＝30°.即"XX號(hào)"沿東偏北30°方向能最快追上"敵艦"．[方法總結(jié)]用解三角形知識(shí)解決實(shí)際問題的步驟：第一步：將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題；第二步：將有關(guān)條件和求解的結(jié)論歸結(jié)到某一個(gè)或兩個(gè)三角形中．第三步：用正弦定理和余弦定理解這個(gè)三角形．第四步：將所得結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的結(jié)果．[訓(xùn)練3]<2013·XX二測(cè)>如圖,漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處,且與島嶼A相距12海里,漁船乙以10海里/時(shí)的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行,若漁船甲同時(shí)從B處出發(fā)沿北偏東α的方向追趕漁船乙,剛好用2小時(shí)追上,此時(shí)到達(dá)C處．<1>求漁船甲的速度；<2>求sinα的值．解<1>依題意知,∠BAC＝120°,AB＝12<海里>,AC＝10×2＝20<海里>,∠BCA＝α,在△ABC中,由余弦定理,得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784.解得BC＝28<海里>．所以漁船甲的速度為eq\f<BC,2>＝14海里/時(shí)．<2>在△ABC中,因?yàn)锳B＝12<海里>,∠BAC＝120°,BC＝28<海里>,∠BCA＝α,由正弦定理,得eq\f<AB,sinα>＝eq\f<BC,sin120°>.即sinα＝eq\f<ABsin120°,BC>＝eq\f<12×\f<\r<3>,2>,28>＝eq\f<3\r<3>,14>...高考經(jīng)典題組訓(xùn)練1．<XX卷改編>如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,延長(zhǎng)BA至E,使AE＝1,連結(jié)EC、ED,則sin∠CED＝________.解析在Rt△EAD和Rt△EBC中,易知ED＝eq\r<2>,EC＝eq\r<5>,在△DEC中,由余弦定理得cos∠CED＝eq\f<ED2＋EC2－CD2,2ED·EC>＝eq\f<2＋5－1,2×\r<2>×\r<5>>＝eq\f<3\r<10>,10>.∴sin∠CED＝eq\f<\r<10>,10>.答案eq\f<\r<10>,10>2．<2011·新課標(biāo)卷>在△ABC中,B＝60°,AC＝eq\r<3>,則AB＋2BC的最大值為________．解析由正弦定理知eq\f<AB,sinC>＝eq\f<\r<3>,sin60°>＝eq\f<BC,sinA>,∴AB＝2sinC,BC＝2sinA.又A＋C＝120°,∴AB＋2BC＝2sinC＋4sin<120°－C>＝2<sinC＋2sin120°cosC－2cos120°sinC>＝2<sinC＋eq\r<3>cosC＋sinC>＝2<2sinC＋eq\r<3>cosC>＝2eq\r<7>sin<C＋α>,其中tanα＝eq\f<\r<3>,2>,α是第一象限角．由于0°＜C＜120°,且α是第一象限角,因此AB＋2BC有最大值2eq\r<7>.答案2eq\r<7>3．<XX卷改編>若△ABC的三邊長(zhǎng)為連續(xù)三個(gè)正整數(shù),且A>B>C,3b＝20acosA,則sinA∶sinB∶sinC＝________.解析由A>B>C,得a>b>c.設(shè)a＝c＋2,b＝c＋1,則由3b＝20acosA,得3<c＋1>＝20<c＋2>·eq\f<c＋12＋c2－c＋22,2c＋1c>,即3<c＋1>2c＝10<c＋1><c＋2><c－3>,解得c＝4,所以a＝6,b＝5.答案6∶5∶44.<2·XX卷>如圖,A,B是海面上位于東西方向相距5<3＋eq\r<3>>海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn),現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45°,B點(diǎn)北偏西60°的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào),位于B點(diǎn)南偏西60°且與B點(diǎn)相距20eq\r<3>海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營(yíng)救,其航行速度為30海里/時(shí),該救援船達(dá)到D點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間？解由題意知AB＝5<3＋eq\r<3>>海里,∠DBA＝90°－60°＝30°,∠DAB＝90°－45°＝45°,所以∠ADB＝180°－<45°＋30°>＝105°,在△ADB中,由正弦定理得eq\f<DB,sin∠DAB>＝eq\f<AB,sin∠ADB>,所以DB＝eq\f<AB·sin∠DAB,sin∠ADB>＝eq\f<53＋\r<3>·sin45°,sin105°>＝eq\f<53＋\r<3>·sin45°,sin45°cos60°＋cos45°sin60°>＝10eq\r<3><海里>,又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋<90°－60°>＝60°,BC＝20eq\r<3><海里>,在△DBC中,由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1200－2×10eq\r<3>×20eq\r<3>×eq\f<1,2>＝900,所以CD＝30<海里>,則需要的時(shí)間t＝eq\f<30,30>＝1<小時(shí)>．所以救援船到達(dá)D點(diǎn)需要1小時(shí)．〔XX省2013屆高三高考?jí)狠S數(shù)學(xué)試題在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知a=5,b=4,cos<A-B>=.<Ⅰ>求sinB的值;<Ⅱ>求cosC的值...分層訓(xùn)練A級(jí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)演練<時(shí)間：30分鐘滿分：60分>一、填空題<每小題5分,共30分>1．若渡輪以15km/h的速度沿與水流方向成120°角的方向行駛,水流速度為4km/h,則渡輪實(shí)際航行的速度為<精確到0.1km/h>________．答案13.5km/h2．江岸邊有一炮臺(tái)高30m,江中有兩條船,船與炮臺(tái)底部在同一水面上,由炮臺(tái)頂部測(cè)得俯角分別為45°和60°,而且兩條船與炮臺(tái)底部連線成30°角,則兩條船相距________m.解析如圖,OM＝AOtan45°＝30<m>,ON＝AOtan30°＝eq\f<\r<3>,3>×30＝10eq\r<3><m>,由余弦定理得,MN＝eq\r<900＋300－2×30×10\r<3>×\f<\r<3>,2>>＝eq\r<300>＝10eq\r<3><m>．答案10eq\r<3>3．某人向正東方向走xkm后,他向右轉(zhuǎn)150°,然后朝新方向走3km,結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好eq\r<3>km,那么x的值為________．解析如圖,在△ABC中,AB＝x,BC＝3,AC＝eq\r<3>,∠ABC＝30°,由余弦定理得<eq\r<3>>2＝32＋x2－2×3x×cos30°,即x2－3eq\r<3>x＋6＝0,解得x1＝eq\r<3>,x2＝2eq\r<3>,經(jīng)檢測(cè)均合題意．答案eq\r<3>或2eq\r<3>4.如圖所示,為了測(cè)量河對(duì)岸A,B兩點(diǎn)間的距離,在這一岸定一基線CD,現(xiàn)已測(cè)出CD＝a和∠ACD＝60°,∠BCD＝30°,∠BDC＝105°,∠ADC＝60°,則AB的長(zhǎng)為________．解析在△ACD中,已知CD＝a,∠ACD＝60°,∠ADC＝60°,所以AC＝a.①在△BCD中,由正弦定理可得BC＝eq\f<asin105°,sin45°>＝eq\f<\r<3>＋1,2>a.②在△ABC中,已經(jīng)求得AC和BC,又因?yàn)椤螦CB＝30°,所以利用余弦定理可以求得A,B兩點(diǎn)之間的距離為AB＝eq\r<AC2＋BC2－2AC·BC·cos30°>＝eq\f<\r<2>,2>a.答案eq\f<\r<2>,2>a5．<2010·新課標(biāo)全國(guó)卷>在△ABC中,D為邊BC上一點(diǎn),BD＝eq\f<1,2>CD,∠ADB＝120°,AD＝2,若△ADC的面積為3－eq\r<3>,則∠BAC＝________.解析由A作垂線AH⊥BC于H.因?yàn)镾△ADC＝eq\f<1,2>DA·DC·sin60°＝eq\f<1,2>×2×DC·eq\f<\r<3>,2>＝3－eq\r<3>,所以DC＝2<eq\r<3>－1>,又因?yàn)锳H⊥BC,∠ADH＝60°,所以DH＝ADcos60°＝1,∴HC＝2<eq\r<3>－1>－DH＝2eq\r<3>－3.又BD＝eq\f<1,2>CD,∴BD＝eq\r<3>－1,∴BH＝BD＋DH＝eq\r<3>.又AH＝AD·sin60°＝eq\r<3>,所以在Rt△ABH中AH＝BH,∴∠BAH＝45°.又在Rt△AHC中tan∠HAC＝eq\f<HC,AH>＝eq\f<2\r<3>－3,\r<3>>＝2－eq\r<3>,所以∠HAC＝15°.又∠BAC＝∠BAH＋∠CAH＝60°,故所求角為60°.答案60°6.如圖,為測(cè)得河對(duì)岸塔AB的高,先在河岸上選一點(diǎn)C,使C在塔底B的正東方向上,測(cè)得點(diǎn)A的仰角為60°,再由點(diǎn)C沿北偏東15°方向走10米到位置D,測(cè)得∠BDC＝45°,則塔AB的高是________米．解析在△BCD中,CD＝10<米>,∠BDC＝45°,∠BCD＝15°＋90°＝105°,∠DBC＝30°,eq\f<BC,sin45°>＝eq\f<CD,sin30°>,BC＝eq\f<CDsin45°,sin30°>＝10eq\r<2><米>．在Rt△ABC中,tan60°＝eq\f<AB,BC>,AB＝BCtan60°＝10eq\r<6><米>．答案10eq\r<6>二、解答題<每小題15分,共30分>7．<2011·XX七校聯(lián)考>如圖,在半徑為eq\r<3>、圓心角為60°的扇形的弧上任取一點(diǎn)P,作扇形的內(nèi)接矩形PNMQ,使點(diǎn)Q在OA上,點(diǎn)N、M在OB上,設(shè)矩形PNMQ的面積為y,<1>按下列要求寫出函數(shù)的關(guān)系式：①設(shè)PN＝x,將y表示成x的函數(shù)關(guān)系式；②設(shè)∠POB＝θ,將y表示成θ的函數(shù)關(guān)系式；<2>請(qǐng)你選用<1>中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式,求出y的最大值．解<1>①∵ON＝eq\r<OP2－PN2>＝eq\r<3－x2>,OM＝eq\f<\r<3>,3>x,∴MN＝eq\r<3－x2>－eq\f<\r<3>,3>x,∴y＝xeq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\r<3－x2>－\f<\r<3>,3>x>>,x∈eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<0,\f<3,2>>>.②∵PN＝eq\r<3>sinθ,ON＝eq\r<3>cosθ,OM＝eq\f<\r<3>,3>×eq\r<3>sinθ＝sinθ,∴MN＝ON－OM＝eq\r<3>cosθ－sinθ,∴y＝eq\r<3>sinθ<eq\r<3>cosθ－sinθ>,即y＝3sinθcosθ－eq\r<3>sin2θ,θ∈eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<0,\f<π,3>>>.<2>選擇y＝3sinθc