第五章概率與概率分布第一頁，共六十五頁，2022年，8月28日本章內(nèi)容第一節(jié)

隨機(jī)事件與概率第二節(jié)

隨機(jī)變量及其分布第二頁，共六十五頁，2022年，8月28日第一節(jié)

隨機(jī)事件與概率一、隨機(jī)事件及其運(yùn)算（一）基本概念隨機(jī)現(xiàn)象（偶然現(xiàn)象、不確定現(xiàn)象）——在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的現(xiàn)象。從一次觀察來看，隨機(jī)現(xiàn)象似乎沒有什么規(guī)律，但大量觀察的結(jié)果會(huì)呈現(xiàn)出某種明顯的規(guī)律性。第三頁，共六十五頁，2022年，8月28日隨機(jī)試驗(yàn)－－－嚴(yán)格意義上的隨機(jī)試驗(yàn)滿足三個(gè)條件：試驗(yàn)可以在系統(tǒng)條件下重復(fù)進(jìn)行；試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的；每次試驗(yàn)前不能肯定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)。廣義的隨機(jī)試驗(yàn)是指對隨機(jī)現(xiàn)象的觀察（或?qū)嶒?yàn)）。由于多數(shù)試驗(yàn)不能同時(shí)滿足這些條件，因此實(shí)際應(yīng)用中常常從廣義角度來理解。第四頁，共六十五頁，2022年，8月28日隨機(jī)事件－簡稱事件，隨機(jī)試驗(yàn)（或隨機(jī)現(xiàn)象）的每一個(gè)可能結(jié)果基本事件－不可能再分成為兩個(gè)或更多事件的事件，也稱為樣本點(diǎn)?；臼录娜w（全集）稱為樣本空間或基本空間復(fù)合事件－由某些基本事件組合而成的事件，也稱為樣本空間中的子集。第五頁，共六十五頁，2022年，8月28日必然事件－－在一定條件下，每次試驗(yàn)都必然發(fā)生的事件。

不可能事件－－在一定條件下，每次試驗(yàn)都必然不會(huì)發(fā)生的事件。

第六頁，共六十五頁，2022年，8月28日B（二）隨機(jī)事件的關(guān)系和運(yùn)算1、事件的包含-----事件B包含事件A，是指事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生。A第七頁，共六十五頁，2022年，8月28日2、事件的并（和）------指事件A與事件B至少一個(gè)發(fā)生。AB第八頁，共六十五頁，2022年，8月28日3、事件的交（積）指事件A與事件B同時(shí)發(fā)生。AB第九頁，共六十五頁，2022年，8月28日4、事件的差（A－B）指事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生。AB第十頁，共六十五頁，2022年，8月28日5、互不相容（互斥）事件指事件A與事件B不可能同時(shí)發(fā)生。AB第十一頁，共六十五頁，2022年，8月28日6、A的對立（逆）事件指樣本空間中所有不屬于事件A的樣本點(diǎn)A第十二頁，共六十五頁，2022年，8月28日概率和機(jī)會(huì)你可能經(jīng)常聽到概率（probability）這個(gè)名詞。例如在天氣預(yù)報(bào)中會(huì)提到降水概率。因此，從某種意義說來，概率描述了某件事情發(fā)生的機(jī)會(huì)。

顯然，這種概率不可能超過百分之百，也不可能少于百分之零。換言之，概率是在0和1之間的一個(gè)數(shù)，說明某事件發(fā)生的機(jī)會(huì)有多大。第十三頁，共六十五頁，2022年，8月28日（三）事件的概率1、概率的古典定義古典概型（等可能概型）——具有以下兩特點(diǎn)每次試驗(yàn)的可能結(jié)果有限（即樣本空間中基本事件總數(shù)有限）；每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同。

概率的古典定義在古典概型中，事件A發(fā)生的概率等于該事件所包含的基本事件數(shù)m占基本事件總數(shù)n的比重，即：P(A)=m/n。第十四頁，共六十五頁，2022年，8月28日2、概率的統(tǒng)計(jì)定義在相同條件下重復(fù)進(jìn)行n次試驗(yàn)，隨著n的增大，事件A出現(xiàn)的頻率趨于穩(wěn)定，這個(gè)穩(wěn)定值就是事件A發(fā)生的概率。根據(jù)概率的古典定義，通過大量重復(fù)試驗(yàn)，可以用事件發(fā)生的頻率來近似代替其概率。第十五頁，共六十五頁，2022年，8月28日3、概率的主觀定義有些概率是無法精確計(jì)算的。既不能由等可能性來計(jì)算，也不可能從試驗(yàn)得出。但根據(jù)經(jīng)驗(yàn)、常識(shí)或其他相關(guān)因素對事件發(fā)生的可能性大小給以主觀估計(jì)，這樣確定的概率稱為主觀概率。

比如,你對別人說你下一個(gè)周末去公園的概率是百分之八十。第十六頁，共六十五頁，2022年，8月28日二、概率的性質(zhì)與運(yùn)算法則（一）概率的性質(zhì)

概率具有三條公理（基本性質(zhì)）：

1、對任一事件A，有0≤P(A)≤1；

2、必然事件的概率為1，P(?)＝1；

3、對于兩兩互斥事件Ai，有：P(A1+A2+…)＝P(A1)+P(A2)+…第十七頁，共六十五頁，2022年，8月28日（二）概率的運(yùn)算法則

1．概率的加法公式對于兩個(gè)互斥事件，P(A+B)＝P(A)+P(B)。即如果兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，那么至少其中之一發(fā)生的概率為這兩個(gè)概率的和。對于兩個(gè)任意事件，P(A+B)＝P(A)+P(B)－P(AB)。

即如果兩個(gè)事件有可能同時(shí)發(fā)生，則“P(A)+P(B)”中事件A和B同時(shí)發(fā)生的概率P(AB)被重復(fù)計(jì)算了一次，因此，應(yīng)該減去。對于逆事件

，P()=1－P(A)第十八頁，共六十五頁，2022年，8月28日

2．概率的乘法公式

(1)條件概率——在事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率，稱為“事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下B發(fā)生的條件概率”，記為P(B|A)，并且有：

P(B|A)＝P(AB)/P(A)(2)概率的乘法公式的一般形式：

P(AB)＝

P(A)P(B|A)或：P(AB)＝

P(B)P(A|B)(3)如果事件A、B相互獨(dú)立，則

P(AB)＝

P(A)P(B)第十九頁，共六十五頁，2022年，8月28日第二節(jié)隨機(jī)變量及其分布第二十頁，共六十五頁，2022年，8月28日一、隨機(jī)變量的概念隨機(jī)變量表示隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的變量。對于隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間中的每一個(gè)樣本點(diǎn)（事件ω

）總有一個(gè)實(shí)數(shù)X(ω)與之對應(yīng)，則稱實(shí)數(shù)函數(shù)X(ω)為隨機(jī)變量，簡記為X。離散型隨機(jī)變量——取值可以一一列舉;連續(xù)隨機(jī)變量——取值不能一一列舉。第二十一頁，共六十五頁，2022年，8月28日二、隨機(jī)變量的概率分布（一）離散型隨機(jī)變量的概率分布將離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值xi及其對應(yīng)的概率P(xi)用函數(shù)式、表格或圖形表示出來，就稱為離散型隨機(jī)變量的概率分布。離散型隨機(jī)變量的概率分布具有下列性質(zhì)：P(xi)≥0；

X10P0.50.5第二十二頁，共六十五頁，2022年，8月28日（二）連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度連續(xù)變量的概率分布是用概率分布密度函數(shù)

f(x)表示的，簡稱概率密度。

連續(xù)變量落入某個(gè)區(qū)間的概率就是該概率密度曲線在這個(gè)區(qū)間上所覆蓋的面積，即密度函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上的積分。第二十三頁，共六十五頁，2022年，8月28日對于連續(xù)變量，取某個(gè)特定值的概率都是零，而只有變量取值于某個(gè)（或若干個(gè)）區(qū)間的概率才有意義：P(x1<X≤x2)＝P(x1≤X<x2)＝第二十四頁，共六十五頁，2022年，8月28日連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度具有下列性質(zhì)：

1、f(x)≥0

2、第二十五頁，共六十五頁，2022年，8月28日（三）隨機(jī)變量的分布函數(shù)設(shè)X為隨機(jī)變量，x為任意實(shí)數(shù)，稱函數(shù)

F（x）＝

P(X≤x)為X的累計(jì)分布函數(shù)，簡稱分布函數(shù)。已知X的分布函數(shù)，就可以求出X在任一區(qū)間上的概率：P(x1<X≤x2)＝F(x2)－F(x1)第二十六頁，共六十五頁，2022年，8月28日離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)：

F（x）＝

P(X≤x)＝連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)：

F（x）＝

P(X≤x)＝第二十七頁，共六十五頁，2022年，8月28日三、隨機(jī)變量的數(shù)字特征（一）隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（均值）

記為E(X)或μ它是隨機(jī)變量所有可能取值的平均水平是隨機(jī)變量集中趨勢的度量。第二十八頁，共六十五頁，2022年，8月28日（一）隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望：

E(X)＝連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望：

E(X)＝注意數(shù)學(xué)期望與加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的相似與區(qū)別。第二十九頁，共六十五頁，2022年，8月28日（二）隨機(jī)變量的方差記為D(X)或σ2它們是隨機(jī)變量所有可能取值偏離其均值的離差的平均水平是隨機(jī)變量離中趨勢的度量第三十頁，共六十五頁，2022年，8月28日離散型隨機(jī)變量的方差：

D(X)＝E[xi－E(X)]2

＝∑[xi－E(X)]2P(xi

)連續(xù)型隨機(jī)變量的方差：

D(X)＝

均方差（或標(biāo)準(zhǔn)差σ）＝方差的平方根第三十一頁，共六十五頁，2022年，8月28日四、常用的隨機(jī)變量分布（一）常用的離散型隨機(jī)變量分布1.二項(xiàng)分布貝努里試驗(yàn)的特點(diǎn)：（1）每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果——“成功”(事件A發(fā)生)和“失敗”(事件A不發(fā)生)；（2）每次試驗(yàn)得到一種結(jié)果的概率不變（“成功”的概率總是p）；（3）每次試驗(yàn)互相獨(dú)立。第三十二頁，共六十五頁，2022年，8月28日如果進(jìn)行n次貝努里試驗(yàn)，每次成功的概率為p，那么成功次數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，其概率分布就是一個(gè)二項(xiàng)分布，記為X~B(n，p)，此時(shí)，有：

,

二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望和方差：

E(X)＝np

D(X)＝np(1－p)二項(xiàng)分布的特例——二點(diǎn)分布（0－1分布）即n＝1時(shí)的二項(xiàng)分布。第三十三頁，共六十五頁，2022年，8月28日2.泊松分布它衡量某種事件在一定期間出現(xiàn)的數(shù)目的概率。比如說在一定時(shí)間內(nèi)顧客的人數(shù)、打入電話總機(jī)電話的個(gè)數(shù)、放射性物質(zhì)放射出來并到達(dá)某區(qū)域的粒子數(shù)等等。在一定時(shí)間（或長度）、區(qū)域、容積內(nèi)，小概率事件（稀有事件）發(fā)生的次數(shù)的概率分布常常用泊松分布來描述。第三十四頁，共六十五頁，2022年，8月28日參數(shù)為λ的泊松分布記為P(λ)。若X~P(λ)，則X取各個(gè)值的概率為：,

泊松分布的數(shù)學(xué)期望和方差：

E(X)＝λ

；D(X)＝λ二項(xiàng)分布與泊松分布的關(guān)系：以n、p為參數(shù)的二項(xiàng)分布，當(dāng)n趨于無窮大時(shí)，二項(xiàng)分布趨近于以λ為參數(shù)的泊松分布，且λ＝np。第三十五頁，共六十五頁，2022年，8月28日（二）常用的連續(xù)型隨機(jī)變量分布第三十六頁，共六十五頁，2022年，8月28日1、正態(tài)分布正態(tài)分布是最重要、最常用的連續(xù)型隨機(jī)變量分布。主要原因在于：許多隨機(jī)變量服從或近似服從正態(tài)分布；由于它特有的數(shù)學(xué)性質(zhì)，許多分布（如二項(xiàng)分布）可以用正態(tài)分布近似計(jì)算；根據(jù)中心極限定理，樣本平均數(shù)的分布服從或近似服從正態(tài)分布；由正態(tài)分布可以導(dǎo)出其他許多有用的分布（如卡方分布、t分布、F分布）等等。第三十七頁，共六十五頁，2022年，8月28日正態(tài)分布曲線圖均值不同，方差相同均值相同，方差不同σ=0.5σ=2第三十八頁，共六十五頁，2022年，8月28日正態(tài)分布的概率密度正態(tài)分布也是一族分布，各種正態(tài)分布根據(jù)它們的均值和標(biāo)準(zhǔn)差不同而有區(qū)別.若X服從正態(tài)分布，其均值為μ

，方差為σ2，則記為X~N(μ,σ2)，其概率密度為：

第三十九頁，共六十五頁，2022年，8月28日f(x)與F(x)1、f(x)：概率密度函數(shù)；

F(x):分布函數(shù)。2、函數(shù)表達(dá)式的區(qū)別：第四十頁，共六十五頁，2022年，8月28日3、圖示的區(qū)別中：第四十一頁，共六十五頁，2022年，8月28日正態(tài)曲線正態(tài)分布的概率密度所對應(yīng)的圖形簡稱正態(tài)曲線正態(tài)曲線的主要特征：

鐘型；對稱（以X=μ為對稱軸）；以X軸為漸近線；曲線在x=μ

-σ及x=μ+σ

處有拐點(diǎn)；曲線的陡緩程度取決于參數(shù)(方差)

σ2。第四十二頁，共六十五頁，2022年，8月28日標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布特別地，均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。常用φ（x）、Ф（x）分別表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度和分布函數(shù)。任何正態(tài)分布變量都可以用簡單的線性變換（減去其均值、再除以標(biāo)準(zhǔn)差）而成為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。X~N(μ,σ2)，則Z=(X－

μ)/σ~N(0,1)第四十三頁，共六十五頁，2022年，8月28日一般正態(tài)分布化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布第四十四頁，共六十五頁，2022年，8月28日例：已知：x~N(3,16),求:1、x≤8的概率;2、F（6）;

3、f(6);4、5≤x≤8的概率第四十五頁，共六十五頁，2022年，8月28日落在總體均值附近某一區(qū)間內(nèi)的概率幾乎所有的統(tǒng)計(jì)學(xué)書后都附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的函數(shù)值。查表或利用統(tǒng)計(jì)軟件即可查得正態(tài)分布在一定區(qū)間的概率。但最常用的是求在中心（均值μ）附近、標(biāo)準(zhǔn)差σ的1、2、3倍區(qū)間內(nèi)的概率：第四十六頁，共六十五頁，2022年，8月28日標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（圖）及其概率第四十七頁，共六十五頁，2022年，8月28日2、χ2分布(卡方分布)第四十八頁，共六十五頁，2022年，8月28日卡方

(c2)分布的定義第四十九頁，共六十五頁，2022年，8月28日卡方

(c2)分布的圖示不同自由度的卡方分布曲線n=1n=4n=10n=20第五十頁，共六十五頁，2022年，8月28日卡方

(c2)分布的特點(diǎn)1、n個(gè)獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量的平方和仍然為一隨機(jī)變量，其概率分布是有n個(gè)自由度的χ2分布，記為χ2(n);

第五十一頁，共六十五頁，2022年，8月28日2、χ2

分布是一個(gè)以自由度為參數(shù)的分布族，其分布形狀取決于自由度，是一非對稱分布；3、隨著自由度n的增大，χ2分布逐漸趨于正態(tài)分布;4、χ2分布適用于對總體方差的統(tǒng)計(jì)推斷、擬合優(yōu)度檢驗(yàn)、獨(dú)立性檢驗(yàn)等等。第五十二頁，共六十五頁，2022年，8月28日例1：已知x~χ2(6),求：1、x≥2.2的概率；2、若x≥a的概率為0.75，a值為多少？第五十三頁，共六十五頁，2022年，8月28日例2、第五十四頁，共六十五頁，2022年，8月28日3.t分布第五十五頁，共六十五頁，2022年，8月28日第五十六頁，共六十五頁，2022年，8月28日t分布（圖）N(0,1)t(n)第五十七頁，共六十五頁，2022年，8月28日t分布的特點(diǎn)t分布也是一個(gè)以自由度為參數(shù)的分布族。其分布形狀取決于自由度。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線與t分布曲線異同：

相同點(diǎn)：都是關(guān)于X=0對稱的、取值范圍都是-∞<x<+∞。不同點(diǎn)：t分布兩邊