第四章插值與擬合第一頁，共八十六頁，2022年，8月28日插值問題的提出在許多工程實際問題中，常有如下情況：函數關系沒有明顯的解析表達式，只有實驗觀測來確定與自變量的某些相對應的函數值；函數雖然有解析表達式，但是使用很不方便。對上述問題中的函數建立一個簡單的便于計算和處理的近似表達式，即用一個簡單的函數來近似代替這些不便處理的函數——插值函數。§4插值與曲線擬合第二頁，共八十六頁，2022年，8月28日擬合問題的提出

實際問題中通過測量得到的數據比較多，而且這些數據本身含有一定誤差，根據這些數據求取近似函數的方法是曲線擬合。插值要求找到的近似函數的曲線通過所有的數據點。曲線擬合不要求近似函數的曲線通過所有數據，只要求該曲線能反映數據變化的基本趨勢。擬合的主要目的是：去掉測量數據所含的測量誤差。插值與擬合的區(qū)別第三頁，共八十六頁，2022年，8月28日插值與擬合

插值

擬合插值:過點;(適合精確數據)擬合:不過點,整體近似;(適合經驗公式或有誤差的數據)第四頁，共八十六頁，2022年，8月28日§

4.1插值問題的數學提法當精確函數y=f(x)非常復雜或未知時，在一系列節(jié)點x0…xn處測得函數值y0

=f(x0),…yn

=f(xn)，由此構造一個簡單易算的近似函數P(x)

f(x)，滿足條件：P(xi)=f(xi)(i=0,…n)。這里的P(x)稱為f(x)的插值函數，稱為插值節(jié)點。所以所謂插值就是根據已知點的函數值求其余點的函數值。第五頁，共八十六頁，2022年，8月28日§

4.1插值問題的數學提法已知[a,b]上的函數y=f(x)在n+1個互異點處的函數值:fnf2f1f0f(x)xnx2x1x0x求簡單函數Pn(x)，使得計算f(x)可通過計算P(x)來近似代替。如下圖所示。x0x1x2x3x4xP(x)

f(x)第六頁，共八十六頁，2022年，8月28日這就是插值問題,(*)式為插值條件,,稱為插值節(jié)點由于插值函數的選擇不同，就產生不同類型的插值。若為代數多項式，就是代數插值，若為三角多項式就稱為三角多項式插值，若為有理函數就稱為有理函數插值。由于代數多項式結構簡單，本章主要介紹代數多項式插值問題。第七頁，共八十六頁，2022年，8月28日2.滿足插值條件的多項式P(x)是否存在且唯一？3.用P(x)代替f(x)的誤差估計，即截斷誤差的估計；對于多項式插值，我們主要討論以下幾個問題：4.當插值節(jié)點無限加密時，插值函數是否收斂于f(x)。1.如何構造出插值多項式P(x);即插值多項式的常用構造方法有哪些？第八頁，共八十六頁，2022年，8月28日§

4.2拉格朗日插值可見P(x)是過(x0,y0

)和(x1,y1

)兩點的直線。這種插值稱為線性插值，顯然在節(jié)點上插值誤差為0。)()(001010xxxxyyyxP--+=101xxxx--010xxxx--=y0

+y1l0(x)l1(x)拉格朗日線性插值（兩點插值）已知函數在節(jié)點有函值，求作一次多項式使得1100)(,)(yxPyxP==第九頁，共八十六頁，2022年，8月28日于是線性插值函可以表示為函數值與基函數的線性組合

與稱為線性插值基函數。它有如下性質：即：第十頁，共八十六頁，2022年，8月28日所以例1

已知用線性插值求近似值?；瘮捣謩e為:解插值多項式為第十一頁，共八十六頁，2022年，8月28日拋物線插值（三點二次插值）已知在節(jié)點上的函數值，求二次多項式，使之滿足

根據要滿足的三個條件，確定三個未知數，因此可采用待定系數法。即第十二頁，共八十六頁，2022年，8月28日

為避免解線性方程組，下面仿線性插值，用基函數的方法求解方程組。設方程組滿足條件的方程為

其中基函數應滿足:xx0x1x2l0(x)100l1(x)010l2(x)001第十三頁，共八十六頁，2022年，8月28日

以為例說明基函數的求取方法，當取，時，為0，取時，，因此其中可用求出，同理所以第十四頁，共八十六頁，2022年，8月28日拋物線插值是三個二次式的線性組合，是x的（不高于）二次式，在節(jié)點上插值多項式的值和已知函數值相等。第十五頁，共八十六頁，2022年，8月28日

設函數在區(qū)間上有節(jié)點上的函數值，構造一個次數不超過次的代數多項式，使。即次代數插值滿足在個節(jié)點上插值多項式和被插值函數相等，而且插值多項式的次數不超過次。n次代數插值這樣的插值多項式能構造出來嗎？唯一嗎？第十六頁，共八十六頁，2022年，8月28日插值多項式的存在性和唯一性定理

證：設所求的插值多項式為P(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn則由插值條件式Pn(xi)=yi(i=0,1,...,n)可得關于系數a0,a1,…,an的線性代數方程組設節(jié)點xi(i=0,1,…,n)互異,則滿足插值條件P(xi)=yi

的n次多項式P(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn存在且唯一.定理第十七頁，共八十六頁，2022年，8月28日此方程組有n+1個方程,n+1個未知數,其系數行列式是范德蒙行列式，即：第十八頁，共八十六頁，2022年，8月28日由于插值節(jié)點

xi互不相同,所有因子

xj-xi0,所以上述行列式不等于零,故由克萊姆法則知方程組的解存在且唯一.即滿足條件式

的n次多項式存在且唯一。證畢。第十九頁，共八十六頁，2022年，8月28日反證：若不唯一，則除了P(x)外還有另一n階多項式Q(x)滿足Q(xi)=yi?？疾靹tS的階數n而S(x)有個不同的根n+1x0…xn唯一性定理矛盾只有S(x)≡0,所以P(x)＝Q(x)

唯一性說明不論用哪種方法構造的插值多項式，只要滿足同樣的插值條件，其結果都是互相恒等的。

第二十頁，共八十六頁，2022年，8月28日

拉格朗日插值多項式

要求n階插值多項式，可以通過求方程組的解得到。但由于解線性代數方程組的計算量比較大，構造插值多項式時，仍用基函數構造。希望能找到滿足以下條件的n次多項式li(x)然后令，則顯然有P

(xi)=

yi。基函數的構造第二十一頁，共八十六頁，2022年，8月28日其中A為常數,由li(xi)=1可得稱之為拉格朗日基函數。li(x)除xi點外,其余xj都是li(x)的根，可設與有關，而與無關節(jié)點f第二十二頁，共八十六頁，2022年，8月28日拉格朗日插值多項式

特別地,當n=1時又叫線性插值,其幾何意義為過兩點的直線.當n=2時又叫拋物插值,其幾何意義為過三點的拋物線.利用拉格朗日基函數式li(x),構造多項式可知其滿足,稱為拉格朗日插值多項式。Pn(xi)=yi(i=0,1,...,n)應注意,對于插值節(jié)點,只要求它們互異,與大小次序無關。第二十三頁，共八十六頁，2022年，8月28日5

插值余項

截斷誤差R

(x)=f(x)-P(x)也稱為插值多項式的余項。以下為拉格朗日余項定理。定理

設f(x)在區(qū)間[a,b]上存在n+1階導數,

xi[a,b](i=0,1,…,n)為n+1個互異節(jié)點,則對任何x

[a,b],有且與x有關)其中第二十四頁，共八十六頁，2022年，8月28日注意這里是對t求導證明：考察截斷誤差Rolle’sTheorem:若充分光滑，，則存在使得。推廣：若使得使得存在使得R(x)至少有個根n+1=-=niixxxKxR0)()()(任意固定x

xi(i=0,…,n),構造=-=niixtxKtRt0)()()()(j(t)有n+2個不同的根x0…

xn

x!)1()()()1(+-+nxKRxnx=+--++!)1)(()()()1()1(nxKPfxnxnxx!)1()()()1(+=+nfxKxnx0=證畢常用余項定理研究插值的誤差估計。第二十五頁，共八十六頁，2022年，8月28日其中Lagrange插值公式的標準型公式:插值余項：第二十六頁，共八十六頁，2022年，8月28日

線性插值，余項，其中：對求極值：得為極小值。即取，則。取絕對值：，則：所以其中：用余項定理求線性插值余項及其估計式。n次插值余項及其估計式。

其中第二十七頁，共八十六頁，2022年，8月28日的拋物插值多項式,且計算f(3)的近似值并估計誤差。例

設解

插值為多項式第二十八頁，共八十六頁，2022年，8月28日于是因為可得誤差估計第二十九頁，共八十六頁，2022年，8月28日例：已知分別利用sinx的1次、2次Lagrange插值計算sin50并估計誤差。解：n=1分別利用x0,x1以及x1,x2計算利用這里而sin50=0.7660444…)185(50sin10pL0.77614外推的實際誤差0.01001利用sin500.76008,內插的實際誤差0.00596內插通常優(yōu)于外推。選擇要計算的x所在的區(qū)間的端點，插值效果較好。第三十頁，共八十六頁，2022年，8月28日§1LagrangePolynomialn=2)185(50sin20pL0.76543sin50=0.7660444…2次插值的實際誤差0.00061高次插值通常優(yōu)于低次插值第三十一頁，共八十六頁，2022年，8月28日如果是次數不超過次的多項式，取個節(jié)點插值時，插值多項式就是其自身。插值多項式只與數據，有關，與節(jié)點排列順序無關。

個節(jié)點的插值多項式不超過次

。拉格朗日插值小結：內插比外插精度高。當求某點的函數值時，插值節(jié)點應盡可能靠近該點，此時余項小。當節(jié)點數變化時，需重新計算全部基函數

。第三十二頁，共八十六頁，2022年，8月28日插值精度提高的條件插值點與節(jié)點靠近內插精度一般比外推高插值點適當多第三十三頁，共八十六頁，2022年，8月28日§4.4牛頓插值拉格朗日插值的優(yōu)點是插值多項式特別容易建立，缺點是增加節(jié)點時原有多項式不能利用，必須重新建立，即所有基函數都要重新計算，這就造成計算量的浪費；

能否將P(x)改寫成的形式，希望每加一個節(jié)點時，只附加一項上去即可。????牛頓插值本節(jié)介紹這種插值公式的建立、特點和應用。這要用到差商的概念。

第三十四頁，共八十六頁，2022年，8月28日一、差商及其基本性質定義1稱為

f(x)在xi、xj點的一階差商.記為函數在區(qū)間上的平均變化率為函數f(x)在點xi、xj

、xk的二階差商.記為同樣地，稱一階差商的平均變化率第三十五頁，共八十六頁，2022年，8月28日差商的計算步驟與結果可列成差商表，如下一般地，n-1階差商的差商

稱為f(x)在x0,x1,…,xn點的

n階差商。

由此可知高階差商是由比它低一階的兩個差商組成。第三十六頁，共八十六頁，2022年，8月28日xk函數值一階差商二階差商三階差商...x0f(x0)x1f(x1)f[x0,x1]x2

f(x2)f[x1,x2]f[x0,x1,x2]x3f(x3)f[x2,x3]f[x1,x2,x3]f[x0,x1,x2,x3]...............利用差商的遞推定義，可以用遞推來計算差商

第三十七頁，共八十六頁，2022年，8月28日121520f(x)7431x例1:已知：計算三階差商f［1,3,4,7］

-1.25-3.5-1127

413154

123

01三階差商二階差商一階差商f(x)

x解：作差商表

所以f［1,3,4,7］=-1.25第三十八頁，共八十六頁，2022年，8月28日

f[x0,x1,x2,...,xn]=f[x1,x2,...,xn,

x0

]性質1

差商可以表示為函數值的線性組合，即=f[x1,x0,x2

,...,xn]=…這一性質稱之為差商的對稱性。性質2(對稱性)差商與節(jié)點的順序無關，如

這一性質可以用數學歸納法證明。（P124）第三十九頁，共八十六頁，2022年，8月28日性質3

若是x的n次多項式，則：一階差商是x的n-1次多項式，二階差商是x的n-2次多項式；一般地，函數f(x)的k階差商是x的n-k次多項式(k≤n)。而k＞n時，k階差商為零。第四十頁，共八十六頁，2022年，8月28日二、牛頓插值多項式如此繼續(xù)下去，可得一系列等式設x是[a，b]上一點，由一階差商定義同理，由二階差商定義得得第四十一頁，共八十六頁，2022年，8月28日依次把后式代入前式，第四十二頁，共八十六頁，2022年，8月28日P(x)R

(x)令：最后得第四十三頁，共八十六頁，2022年，8月28日牛頓插值公式特點則：：是x的n次多項式，稱為牛頓插值多項式：是最后一項，稱為牛頓插值余項。增加一個節(jié)點時，只需再增加一項，其余各項都不變。在節(jié)點上，多項式等于被插函數的值，即所以此時的余項，滿足插值條件。第四十四頁，共八十六頁，2022年，8月28日牛頓插值公式特點(續(xù))取n＋1個節(jié)點時，牛頓插值多項式次數不超過n次，各項系數是各階差商。由插值多項式的唯一性知,拉格朗日插值多項式和牛頓插值多項式是相等的。只是算法不同。拉格朗日插值余項和牛頓插值余項是相等的，即：第四十五頁，共八十六頁，2022年，8月28日121520f(x)7431x例2:已知：求滿足以上插值條件的牛頓型插值多項式。解：在例1中，我們已計算出

則牛頓三次插值多項式為

第四十六頁，共八十六頁，2022年，8月28日§4.7分段低次插值分段低次插值問題的提出： 在拉格朗日插值法中，為了使插值多項式更好的逼近被插函數，往往要增加插值節(jié)點，提高插值多項式的次數。當插值區(qū)間較大時，對于高次插值在插值區(qū)間兩端會發(fā)生劇烈振蕩。高次代數插值所發(fā)生的這種現象稱為Runge現象.在上個世紀初由Runge發(fā)現.第四十七頁，共八十六頁，2022年，8月28日一、

高階插值的龍格現象例：在[5,5]上考察的Pn(x)。取

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

n越大，端點附近抖動越大，稱為Runge現象Pn(x)f(x)分段低次插值P2（x）P5（x）P10（x）既要增加插值節(jié)點，減小插值區(qū)間，又不增加插值多項式的次數以減少誤差，我們可以采用分段插值的辦法。

第四十八頁，共八十六頁，2022年，8月28日二、分段線性插值原理：將插值區(qū)間分成若干個小的子段，在每個子段上進行低次插值，然后相互連接，用連接相鄰節(jié)點的折線逼近被插函數。定義已知函數，給定節(jié)點的函數值求一個分段函數S(x)，使其滿足：S(x)在[a,b]上連續(xù)；S(xi)=yi，i＝0,1,…,nS(x)在每個子段是線性函數。稱函數S(x)為分段線性插值函數。第四十九頁，共八十六頁，2022年，8月28日S(x)在子段上有（線性插值）：在區(qū)間上有：其中顯然第五十頁，共八十六頁，2022年，8月28日失去了原函數的光滑性。分段線性插值特點算法簡單，能保證收斂。能獲得任意精度的插值。局部性質。第五十一頁，共八十六頁，2022年，8月28日1例3

已知函數

在區(qū)間

上取等距插值節(jié)點（如下表）,求區(qū)間

上分段線性插值函數，并利用它求出的近似值

0.038460.058820.10.20.51

54320

解

在每個小區(qū)間

上，

第五十二頁，共八十六頁，2022年，8月28日于是第五十三頁，共八十六頁，2022年，8月28日4.3逐次線性插值（本節(jié)為了解內容）

逐次線性插值解決拉格朗日插值為提高精度增加插值節(jié)點時，要重新計算全部基函數，整個插值多項式的結構都會改變的問題。為使計算有“承襲性”，可用逐次線性插值或稱迭代插值的辦法解決。逐次線性插值是重復地進行線性插值產生從低次到高次的拉格朗日插值多項式序列，直到獲得合適的計算結果，避免增加節(jié)點從頭開始計算，常用的埃特金(Aitken)算法和內維爾(Neville)算法。第五十四頁，共八十六頁，2022年，8月28日4.3.1三個節(jié)點的情形已知f(x)在三個互異節(jié)點x0,x1,x2的函數值y0,y1,y2

用（x0,y0),(x1,y1)做插值xx0x1x2yy0y1y2用（x0,y0),(x2,y2)做插值用（x1,P01),(x2,P02)做插值第五十五頁，共八十六頁，2022年，8月28日

上式即是拉格朗日二次插值多項式。兩個線性插值的結果再進行線性插值，得到拋物線性插值。第五十六頁，共八十六頁，2022年，8月28日三個節(jié)點的情形寫成表格的形式

函數值一階插值二階插值第五十七頁，共八十六頁，2022年，8月28日4.3.2

埃特金算法兩個線性插值的結果，再進行線性插值可得拋物線插值，這個過程可以繼續(xù)下去，一般地，利用兩個次插值和進行線性插值，可得次插值，用基函數的形式表示

當，時，得到，當，時，得到，當，時，得到。反復執(zhí)行這一算式，可以逐步構造出如下的插值順序。按這個順序可求出某點的插值。第五十八頁，共八十六頁，2022年，8月28日函數值一階插值二階插值三階插值埃特金插值表第五十九頁，共八十六頁，2022年，8月28日埃特金插值特點埃特金插值是將一個高次插值過程歸結為線性插值的多次重復。埃特金插值的每個數據均為插值結果，從這些數據的一致程度即可判斷插值結果的精度。這樣可以逐步生成插值結果，每做一步檢查一下計算結果的精度，如不滿足要求，則增加一個節(jié)點再算，直到滿足要求為止。在節(jié)點較多時，用這種方法可降低插值次數第六十頁，共八十六頁，2022年，8月28日∴的近似值為1.5。第六十一頁，共八十六頁，2022年，8月28日已知f(x)在三個互異點0,1,2的函數值1,3,9用（0,1

),(1,3

)作插值用（0,1

),(2,9

)作插值用（1,P01),(2

,P02

)作插值第六十二頁，共八十六頁，2022年，8月28日一般得到的觀測數據本身不一定完全可靠，個別數據的誤差甚至可能很大，且數據很多。曲線擬合是從已知的一大堆數據中找出規(guī)律，即設法構造一條曲線（擬合曲線）反映數據點總的趨勢。

§4.8曲線擬合的最小二乘法曲線擬合問題曲線擬合同插值法的區(qū)別:曲線擬合考慮實驗數據帶有測量誤差，同時測量數據又多，若用插值法時得到的插值多項式次數將很高，不實用。曲線擬合得到的多項式不必通過每一點。第六十三頁，共八十六頁，2022年，8月28日設已知某物理過程（函數關系）的一組觀測（實驗）數據，要求在某特定函數類（例如多項式）中找出一個函數，作為的近似函數，使得在上的誤差（或稱殘差）按某種度量標準為最小，這就是擬合問題，也稱曲線擬合。曲線擬合的定義第六十四頁，共八十六頁，2022年，8月28日記向量，要求殘差按某種度量標準為最小，即要求向量的某種范數最小。例如，可要求的1-范數或-范數即：或最小。但由于不便于微分運算

，因此，通常用2-范數。1為最小，這種要求誤差平方和最小的擬合稱為曲線擬合的最小二乘法。一、最小二乘擬合原理第六十五頁，共八十六頁，2022年，8月28日最小二乘法的幾何意義

求在給定點

x0,x1,…,xm處與點(x0,y0),(x1,y1),…,(xm,ym)的距離平方和最小的曲線：y=F(x),第六十六頁，共八十六頁，2022年，8月28日二、多項式擬合這樣的曲線擬合叫多項式擬合。滿足上式的y叫最小二乘擬合多項式.特別地,當m=1時,一次多項式擬合又叫直線擬合。當N=m+1時，所得的擬合多項式就是拉格朗日或牛頓插值多項式。

對給定的一組數據(xi,yi)(i=1,…,N),尋求m次多項式（N>>m

）使總誤差滿足目標函數第六十七頁，共八十六頁，2022年，8月28日由于目標函數J可看作是關于的多元函數，故擬合多項式的問題變?yōu)榍髽O值問題。由求極值的必要條件

得即對a0偏導對a1偏導例第六十八頁，共八十六頁，2022年，8月28日上述方程組是關于aj的線性方程組，通常稱為正則方程組。它有唯一解。由方程組可求出系數aj。多項式擬合的一般方法可歸納為以下幾步：寫出正規(guī)方程組，求出系數，得到擬合多項式注：當m較大時，方程組一般病態(tài)。由已知數據畫出函數粗略的圖形——散點圖，確定擬合多項式的次數m；列表計算第六十九頁，共八十六頁，2022年，8月28日例1

測得銅導線在溫度

時的電阻

如下表求電阻R與溫度T的近似函數關系。85.1083.9082.3580.8079.2577.8076.30

50.045.140.036.030.125.019.1

6543210i解：把表中數據畫在坐標紙上，會看到數據點的分布可用一條直線來近似描述。因此用線性函數擬合。第七十頁，共八十六頁，2022年，8月28日列表如下0

20029.4459325.83565.5245.34255.0002500.0085.1050.063783.8902034.0183.9045.153294.0001600.0082.3540.042908.8001296.0080.8036.032385.425906.0179.2530.121945.000625.0077.8025.011457.330364.8176.3019.1

Ri

i第七十一頁，共八十六頁，2022年，8月28日故得R與T的擬合直線為R=70.572+0.291T正規(guī)方程組為解方程組得第七十二頁，共八十六頁，2022年，8月28日列表如下解

設擬合曲線方程為

例2

已知實驗數據如下表試用最小二乘法求它的二次擬合多項式i4321124510yi1098765431xi876543210第七十三頁，共八十六頁，2022年，8月28日

10251472531730173813253

40040100001000100410824327656172981397128164096512642864972401343491753661296216361645010625125252536416256641644245158127953110101111010

i第七十四頁，共八十六頁，2022年，8月28日得正規(guī)方程組解得故擬合多項式為第七十五頁，共八十六頁，2022年，8月28日三、超定方程組的最小二乘解