第3課時平面向量的數(shù)量積2011·考綱下載1．理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義．2．體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系．3．掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表示，會進行平面向量數(shù)量積的運算．4．能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角．5．會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系.請注意！這部分知識是向量的核心內(nèi)容，向量的平行、垂直關(guān)系是向量間最基本最重要的位置關(guān)系，而向量的夾角、長度是向量的數(shù)量特征，是必考的重要內(nèi)容之一.課前自助餐課本導(dǎo)讀2．?dāng)?shù)量積滿足的運算律：已知向量a、b、c和實數(shù)λ，則向量的數(shù)量積滿足下列運算律：①a·b＝b·a；②(λa)·b＝λ(a·b)＝a(λb)；③(a＋b)·c＝a·c＋b·c；3．注意①兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)．∴0·a＝0(實數(shù))而0·a＝0②數(shù)量積不滿足給合律(a·b)·c≠a·(b·c)③a·b中的“·”不能省略．教材回歸1．(08·陜西卷)關(guān)于平面向量a，b，c，有下列三個命題：①若a·b＝a·c，則b＝c.②|a·b|＝|a|·|b|?a∥b.③a⊥b?|a＋b|＝|a－b|；④|a|＝|b|?|a·c|＝|b·c|.⑤非零向量a和b滿足|a|＝|b|＝|a－b|，則a與a＋b的夾角為60°.其中真命題的序號為______．(寫出所有真命題的序號)．答案②解析

①由數(shù)量積定義a·b＝|a|·|b|·cosθ，若a·b＝a·c則|a|·|b|cosθ＝|a|·|c|cosφ，∴|b|·cosθ＝|c|cosφ即只要b和c在a上的投影相等，則a·b＝a·c②中∵a·b＝|a|·|b|·cosθ，∴由|a·b|＝|a|·|b|及a、b為非零向量可得|cosθ|＝1，∴θ＝0或π，∴a∥b且以上各步均可逆，故命題②是真命題．③中當(dāng)a⊥b時，將向量a、b的起點確定在同一點，則以向量a、b為鄰邊作平行四邊形，則該平行四邊形必為矩形，于是它的兩對角線長相等．即有|a＋b|＝|a－b|.反過來，若|a＋b|＝|a－b|，則以a、b為鄰邊的四邊形為矩形，所以有a⊥b，因此命題③是真命題．答案B答案1答案C題型一平面向量數(shù)量積的運算授人以漁探究1

(1)求平面向量數(shù)量積的步驟是：①求a與b的夾角θ，θ∈[0°，180°]；②分別求|a|和|b|；③求數(shù)量積，即a·b＝|a||b|cosθ，若知道向量的坐標(biāo)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則求數(shù)量積時用公式a·b＝x1x2＋y1y2計算．(2)注意共線時θ＝0°或180°，垂直時θ＝90°，三種特殊情況．【答案】

3思考題1

(1)(2010·廣東卷，文)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，滿足條件(8a－b)·c＝30，則x＝(

)A．6

B．5C．4D．3【解析】由題意可得8a－b＝(6,3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，∴18＋3x＝30?x＝4.【答案】

C題型二向量的夾角【答案】

C題型三向量的?！敬鸢浮?/p>

B【答案】

C題型四垂直問題例4

(1)設(shè)向量a，b，c滿足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b.若|a|＝1，則|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________．【分析】由垂直的充要條件，尋找|a|，|b|，|c|之間的關(guān)系．【解析】

∵a⊥b，b＝－a－c，∴a·b＝a·(－a－c)＝－|a|2－a·c＝0，∴a·c＝－|a|2＝－1.又∵(a－b)⊥c，∴(a－b)·c＝0，∴a·c＝b·c＝－1.∵a＝－b－c，∴|a|2＝|b|2＋|c|2＋2b·c，∴|b|2＋|c|2＝|a|2－2b·c＝3，∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.探究4垂直問題是一個重要的知識點，在高考題中常常出現(xiàn)，常與向量的模、向量的坐標(biāo)表示等聯(lián)系在一起，要特別注意垂直與平行的區(qū)別．若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，則a⊥b?a1a2＋b1b2＝0，a∥b?a1b2－a2b1＝0.思考題4

(2010·北京卷，理)a，b為非零向量，“a⊥b”是“函數(shù)f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)為一次函數(shù)”的(

)A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【解析】函數(shù)f(x)＝x2a·b－(a2－b2)x－a·b，當(dāng)函數(shù)f(x)是一次函數(shù)時必然要求a·b＝0，即a⊥b，但當(dāng)a⊥b，|a|＝|b|時，函數(shù)f(x)不