概率論與數(shù)理統(tǒng)計期末考試試卷答案

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文檔簡介

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》試卷A

(考試時間：90分鐘；考試形式：閉卷)

(注意：請將答案填寫在答題專用紙上，并注明題號。答案填寫在試卷利草稿紙上無效)

一、單項選擇題(本大題共20小題,每小題2分，共40分)

1、A,B為二事件，則AUB=()

AsABB、ABC、ABD、A\JB

2、設(shè)A,B,C表示三個事件，則]片己表示()

A、A,B,C中有一個發(fā)生

B、A,B,C中恰有兩個發(fā)生

C、A,B,C中不多于一個發(fā)生D、A,B,C都不發(fā)生

3、A、B為兩事件，若尸(AU8)=0.8,P(4)=0.2,尸(8)=0.4,

則()成立

A、P(A8)=0.32B、P(五)=0.2

C、P(B—4)=04D、P(BA)=0.48

4、設(shè)A,B為任二事件,則(

A、P(A-B)=P(A)-P(B)B、P(AU3)=P(A)+P(B)

C、P(AB)=P(A)P(B)D、P(A)=P(AB)+P(AB)

5、設(shè)事件A與B相互獨立，則下列說法錯誤的是(

A、A與否獨立B、A與8獨立

C、尸(A8)=P(A)P(B)D、A與B一定互斥

6,設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為

X012

p0.30.50.2其分布函數(shù)為F(x),則尸(3)=(

A、0B,0.3C、0.8D、1

ex4,XG[0,1]

7、設(shè)離散型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為/(%)=<一、，則常數(shù)c=

0,其它

B>4-C、4D、5

8、設(shè)X?N(O,1),密度函數(shù)以外=了=62,則夕(x)的最大值是()

A、0B、

9、設(shè)隨機(jī)變量X可取無窮多個值0,1,2,其概率分布為p(k;3)=—e-3,k=0,1,2,…，則下式成立的是

A、EX=DX=3B、EX=DX

C、EX=3,DX=-D、EX=-,DX=9

10、設(shè)X服從二項分布B(n,p),則有()

A、E(2X—l)=2npB、O(2X+1)=4〃p(l-p)+1

C、￡(2X+l)=4np+lD、O(2X-1)=4叩(1一p)

11、獨立隨機(jī)變量X,y,若X?N(l,4),丫?N(3,16),下式中不成立的是()

A、E(X+y)=4B、E(xy)=3C、D(X-Y)=\2D、E(Y+2)=16

X123

p1/2c1/4

A、0B、1C、一D、一一

13、設(shè)X?N(0,l),又常數(shù)c滿足尸{X2c}=P{X<c},則c等于(

14、已知EX=-1,DX=3，則E13(X2-2)]=()

As9B、6C、30D、36

15、當(dāng)X服從()分布時，EX=DX。

A、指數(shù)B、泊松C、正態(tài)D、均勻

16、下列結(jié)論中，()不是隨機(jī)變量X與丫不相關(guān)的充要條件。

A、￡(%/)=￡(%)￡(7)B、D(X+Y)^DX+DY

c、cov(x,y)=oD、x與y相互獨立

17、設(shè)X?伏〃,p)且EX=6,￡>X=3.6,則有(

A、n=10,p=0.6B、n=20,p—0,3

C、n=15,p—0.4D、n=12,p—0.5

18、設(shè)p(x,y),p式x),p〃(y)分別是二維隨機(jī)變量(乙〃)的聯(lián)合密度函數(shù)及邊緣密度函數(shù),則()是看與

〃獨立的充要條件。

A、￡《+〃)=段+助B、0代+")="+077

C、4與〃不相關(guān)D、對Vx,y,有p(x,y)=Pg(x)p,7(y)

19、設(shè)是二維離散型隨機(jī)變量，則x與y獨立的充要條件是()

A、E(XY)=EXEyB、D(X+Y)=DX+DYC、X與丫不相關(guān)

D、對(x,y)的任何可能取值(%,.,力)號=4Pj

20、設(shè)(X,y)的聯(lián)合密度為p(x,y)=.J其它，

若F(x,y)為分布函數(shù)，則/(0.5,2)=()

A、0B、一C、一D、1

二、計算題(本大題共6小題，每小題7分，共42分)

1,若事件A與B相互獨立，P(A)=0.8P(B)=0.6。求：P(A+B)P{A\(A+B)}

2、設(shè)隨機(jī)變量XN(2,4),且①(1.65)=0.95。求P(XN5.3)

0,x<0

3、已知連續(xù)型隨機(jī)變量自的分布函數(shù)為尸(x)=<士，0<x44,求E4和DQ

4、設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)=A+Barcfgx-oo<x<+oo

求：(1)常數(shù)A和B；

(2)X落入(-1,1)的概率；

(3)X的密度函數(shù)/(x)

5、某射手有3發(fā)子彈，射一次命中的概率為*,如果命中了就停止射擊,

否則一直獨立射到子彈用盡。

求(1)耗用子彈數(shù)X的分布列；(2)EX(3)DX

4xy,Qjxl<

6、設(shè)（孑，〃）的聯(lián)合密度為p（x,y）=?

0,其它

求（1）邊際密度函數(shù)pKx）,p〃（y）；（2）E,Eq；（3）J與〃是否獨立

三、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）

1、設(shè)X1,X2是來自正態(tài)總體N（〃，l）的樣本，下列

三個估計量是不是參數(shù)〃的無偏估計量，若是無偏

估計量，試判斷哪一個較優(yōu)？

211311

^-X,+-X.,/J,^-X.+-X,〃|=_X1+_X,。

2、設(shè)J?/（陽。）=<—。C‘°r>0（?！?）為J的一組觀察值，求，的極大似然估計。

0其它

概率論與數(shù)理統(tǒng)計試卷答案及評分標(biāo)準(zhǔn)

一、單項選擇題（本大題共20小題，每小題2分，共40分）

題號12345678910

答案BDCDDDDCAD

題號11121314151617181920

答案CCBBBDCDDB

二、計算題（本大題共6小題，每小題7分，共42分）

1、解：:A與B相互獨立

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).....(1分)

=P(A)+P(B)-P(A)P(B).....(1分)

=0.8+0.6—0)85

=0.92.....(1分)

又產(chǎn)(司A+8)=生如型.....(1分)

1P(A+B)

P(AB)P(A)P(B)?、、

=---------=...........(2分)

P(A+B)尸(A+8)

=0.13.....(1分)

2、解：P(X25.3)=1—①.....(5分)

=1-0(1.65)=1-0.95=0.05.....(2分)

3、解：由已知有JU（0,4）.....（3分）

貝ji：E&=^^=2............（2分）

4、解：（1）由尸（一8）=0,尸（+8）=1

A——7t8=0

有：＜2

A+-B=\

解之有：A=-,B=-（3分）

271

(2)P(-l<X<1)=F(l)-F(-l)=-....(2分)

(3)/(x)=F(x)=式.....(2分)

》(J1+廣)

322113

(2)EX=Vxp=lx—+2x—+3x—=—（2分）

tT3999

(3)EX2=Xx2p.=l2x-+22x-+32xl=—

3999

.QYrv2/Z7V\23J3238.....

..DA—EX—(EX)----(—)=.....(2分)

9981

6、解：⑴:p4(x)=「p(x,y)dy=^^xydy=2x

2x,D<x<

；")=0,其它

2y,D<y<

同理：p?（x）=（3分）

0,其它

(2)E4=「xpUx)dx=￡lx1dx=:

同理：Er/=—（2分）

⑶：p(x,y)=p：(x)p，7(y)

§與〃獨立（2分）

三、應(yīng)用題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）

1、解：：E〃產(chǎn)%乂|+產(chǎn)）=〃

同理：E〃2=E〃3=〃

為參數(shù)〃的無偏估計量.....（3分）

2141

OX=，2

3-3-9-9-2

1O2

A22

同

以

2---以=1b

S-164

且￡)〃3<

，〃3較優(yōu)（6分）

2、解：X1,X2，...,x,的似然函數(shù)為:

班.....（3分）

〃]-土

L(Xl,x2,...,xn,0)=Y[-e=-

Ln{L)=-n\n0——，王

0i=\

喏H+號=。

ZS1?——

解之有：（6分）

o=-yXi=x

n/=i

一、（共30分，每題5分）

1、設(shè)事件A與3相互獨立，P(A)=0.5,P(AUB)=0.8,

求尸（4豆）.

解：因為事件A與3相互獨立，所以

P(AB)=P(A)P(B)

P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)........2分

由尸(A)=0.5,尸(AU6)=0.8,得P(5)=0.6........2分

P(AB)=P(A)P(B)=0.2........1分

2、三人獨立地去破譯一份密碼，他們譯出的概率分別為

534

求能將此密碼譯出的概率.

1113

解：P==-……5分

3、設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為

X-1012

P0.1250.250.250.375

求y=x2+i的分布律，并計算p（i〈x<3）.

Y125

P0.250.3750.375

.....…3分

P(1<X<3)=0.625............2分

4、設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為；I的泊松分布，且已知E[(X-1)(X-2)]=1求;I.

解：E(X)=O(X)=4,2分

E[(X-1)(X-2)]=E(X2-3X+2)2分

=D(X)+[E(X)]2-3E(X)+2=1.........

所以；12-24+1=0,得；1=1..........1分

5、為檢查某食用動物含某種重金屬的水平，假設(shè)重金屬的水平服從正態(tài)分布

X?■均未知，現(xiàn)抽取容量為25的一個樣本，測得樣本均值為186,樣

本標(biāo)準(zhǔn)差為10,求〃的置信度為0.95的置信區(qū)間.

解：總體均值〃的置信度為0.95的置信區(qū)間為

(X土*0.025(〃-1)).............2分

即(186±—x2.0639).........2分

所求置信區(qū)間為(181.8722,190.1278).........1分

6、某車間用一臺包裝機(jī)包裝葡萄糖.包得的袋裝糖重量X~N(〃,b2),當(dāng)機(jī)器正常

時，其均值〃=0.5公斤，標(biāo)準(zhǔn)差b=0.015公斤.某日開工后為檢驗包裝機(jī)是否正常，

隨機(jī)地抽取它所包裝的糖9袋，稱得平均重量為0.511公斤，問這天包裝機(jī)工作是否

正常？(取顯著水平a=0.05)

解：由題意設(shè)Ho：〃=O.5;Hi：〃/O.5.............1分

拒絕域為I"一封INNo025.....................1分

byIn

上工3-0.5-0.511-0.5?…,人

由于高而0.015/西'Z"025=L96,............2%

即2.2>1.96,拒絕原假設(shè)，認(rèn)為這天包裝機(jī)工作不正常.........1分

二、供18分，每題6分)

1、設(shè)隨機(jī)變量X和丫相互獨立，概率密度分別為

2e~2xx>0,y>o,

.u，x<0.j<o.

求:(1)E(2X-3Y);(2)D(2X-3Y);(3)pXY.

解：(1)E(2X-3y)=2E(X)-3E(V)=2xL3xLo；....2分

(2)D(2X-3F)=4D(X)+9D(K)=4x-+9x-=2;....2分

必(3)因為量X和y相互獨立，所以夕XY=0?…2分

喉

2、已知隨機(jī)變量X?N(1,25),V?N(2,36),pXY=0.4,

求：U=3X+2Y與V=X-3V的協(xié)方差.

曲解:Cov(U,V)=Cov(3X+2Y,X-3F)

=30(X)-9Cov(X,Y)+2Cov(X,Y)~60(7)....3分

=30(X)-7PxyJD(X)加面-6D(Y)

=3x25-7x0.4x5x6-6x36=-225....3分

型3、設(shè)占,萬2,…,Xn是來自正態(tài)總體N(O,1)的一個樣本，且已知隨

機(jī)變量Y=“(E匕f+。X］尸服從自由度為2的/分布，

1=11=5

求G,辦的值.

解：因為Xj?N(O,1)且相互獨立，i=l,2,…,13.

413

所以，EX,?N(0,4),fXj?N(0,9)，….2分

<=11=5

-fX,.-N(O,1)?翼.?N(O,1)?且相互獨立...2分

2i=i3i=5

由/分布的定義，得(聶占尸+(aXJ??/⑵，

21=131=5

三、共18分，每題6分)

1、設(shè)總體X?N(52,6?),現(xiàn)隨機(jī)抽取容量為36的一個樣本，求樣本均值修薄<(50.8,

53.8)之間的概率.

解：京?N(52,l),……..2分

產(chǎn){50.8<X<53.8}=①(53.8-52)-0(50.8-52)

=0(1.8)-O(-1.2)=0.9641-1+0.8849....3分

=0.849.............1分

Aex,x<0,

2、設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)=^B,0<x<1,

x>l.

求：(1)A,5的值；(2)P{*>g}.

解：(1)由連續(xù)型隨機(jī)變量分布函數(shù)的連續(xù)性，得

limF(x)=F(0),limF(x)=F(l),

x->o_x->r

A=B

即1解得A=3=0.5.............3分

B=l-A

(2)P{X>i}=l-F(i)=l-0.5=0.5............3分

黃

2個

紅球，

裝1個

號袋中

個.一

號袋2

個，二

號袋1

有一

子中

3、箱

，從中

取一袋

子中任

今從箱

黃球，

，1個

個紅球

裝2

袋中

二號

球，

率.

的概

取得

袋中

一號

是從

紅球

這個

球，求

果為紅

球，結(jié)

任取一

1,2

｝，，=

號袋

取到i

子中

｛從箱

設(shè)4=

解：

球｝

的是紅

｛抽出

網(wǎng)3=

)

(B\A

(A)P

)+P

(BI4

(4)P

P(B)

.2分

......

嫩2

.1分

......

⑻A)

陽)尸

2尸

")=

脂P(A

3分

......

觸......

IA,.

)P(B

(A,.

￡

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