第4章線性代數(shù)初步第6講大學文科數(shù)學（）主講教師|矩陣(2)2本節(jié)內(nèi)容01可逆矩陣02逆矩陣地求解方法04矩陣地簡單應用03逆矩陣地性質(zhì)301可逆矩陣??定義4.19對于矩陣是否也存在類似地運算？設是一個不為零地數(shù),有,為地倒數(shù)。對于階方陣,如果有一個階方陣,使,則稱矩陣為可逆矩陣,矩陣為地逆矩陣。401可逆矩陣如果方陣可逆,則地逆矩陣是唯一地。方陣地逆矩陣記作,即501可逆矩陣??例1解已知根據(jù)定義驗證因為且故601可逆矩陣??定義4.20伴隨矩陣設階方陣,即由地各個元素地代數(shù)余子式排列成地階方陣701可逆矩陣設801可逆矩陣901可逆矩陣??定理4.9必要性:可逆充分性:且

階方陣可逆地充要條件是,且10本節(jié)內(nèi)容01可逆矩陣02逆矩陣地求解方法04矩陣地簡單應用03逆矩陣地性質(zhì)1102逆矩陣地求解方法??例2解求解逆矩陣,可以通過計算行列式與伴隨矩陣來得到已知,求地逆矩陣。在矩陣地右邊添上一個同階單位矩陣,然后進行初等行變換。當把左邊地矩陣變成單位矩陣時,右邊地單位矩陣就變成1202逆矩陣地求解方法??例3解求矩陣地逆矩陣。1302逆矩陣地求解方法14本節(jié)內(nèi)容01可逆矩陣02逆矩陣地求解方法04矩陣地簡單應用03逆矩陣地性質(zhì)1503逆矩陣地性質(zhì)??性質(zhì)4.9設在階方陣。(1)若可逆,則也可逆,且(2)若可逆,則也可逆,且1603逆矩陣地性質(zhì)可逆(3)若可逆,則也可逆,且可逆(4)若與均為同階可逆方陣,則也可逆,且

1703逆矩陣地性質(zhì)??性質(zhì)4.10若,則有可逆18本節(jié)內(nèi)容01可逆矩陣02逆矩陣地求解方法04矩陣地簡單應用03逆矩陣地性質(zhì)1904矩陣地簡單應用應用1:解矩陣方程設是一方陣,是矩陣。若矩陣乘法有意義,則稱為矩陣方程。若可逆,則2004矩陣地簡單應用??例4解求解矩陣方程。可逆,故2104矩陣地簡單應用??例5解解矩陣方程2204矩陣地簡單應用??例6（信息編碼）一個簡單地傳遞信息地方法是,將每一個字母與一個整數(shù)相對應,然后傳輸一串整數(shù).假設26個英文字母與空格與整數(shù)地對照情況如表4.1所示.表4-1字母及空格ABCDEFGHIJKLMN整數(shù)1234567891011121314字母及空格OPQRSTUVWXYZ空格

整數(shù)151617181920212223242526

-1

2304矩陣地簡單應用我們可以用矩陣乘法對信息進行加密.設矩陣地所有元素均為整數(shù),且其行列式則這樣地元素也均為整數(shù).我們可以用這個矩陣對信息進行變換,變換后地信息將很難被破譯.為說明這個加密技術,令信息"SENDMONEY"可以編碼為19,5,14,4,-1,13,15,14,5,25.但是,這種編碼很容易被破譯.2404矩陣地簡單應用乘積將需要編碼地信息19,5,14,4,-1,13,15,14,5,25放置在3行矩陣地各列上(最后一列為湊夠3個數(shù),補兩個0),得2504矩陣地簡單應用給出了用于傳輸?shù)鼐幋a信息:62,100,119,19,35,39,63,97,112,50,75,100.接收到信息地（其與發(fā)信息地已事先約定,因此知道加密矩陣）,首先將收到地信息也放置在3行矩陣地各列上,得到矩陣2604矩陣地簡單應用然后通過解矩陣方程進行譯碼,得最后對照表4.1就能明白所發(fā)信息地意思是"SENDMONEY".2704矩陣地簡單應用應用2:實際問題建模（婚姻狀況模型）??例7某城市每年有25%地已婚女性離婚,15%地單身女性結婚,城市有80萬已婚女性與20萬單身女性。假設所有女性地總數(shù)為一常數(shù),1年后,有多少已婚女性與單身女性？2年后呢？2804矩陣地簡單應用解可構造一個2階方陣,矩陣地第一行元素分別為1年后仍處于婚姻狀態(tài)地已婚女性與離婚地單身女性地百分比,第二行元素分別為1年后離婚地已婚女性與未婚地單身女性地百分比,即用表示城市女性口向量,則1年后城市女性口向量為2904矩陣地簡單應用年后有城