計算方法函數(shù)逼近與計算2023/3/311第一頁，共二十六頁，2022年，8月28日§7曲線擬合的最小二乘法什么是插值？什么是擬合？Chapter3函數(shù)逼近2023/3/312第二頁，共二十六頁，2022年，8月28日什么是插值？什么是擬合？§7曲線擬合的最小二乘法Chapter3函數(shù)逼近2023/3/313第三頁，共二十六頁，2022年，8月28日實例：考察某種纖維的強(qiáng)度與其拉伸倍數(shù)的關(guān)系,下表是實際測定的24個纖維樣品的強(qiáng)度與相應(yīng)的拉伸倍數(shù)是記錄:§7曲線擬合的最小二乘法Chapter3函數(shù)逼近2023/3/314第四頁，共二十六頁，2022年，8月28日纖維強(qiáng)度隨拉伸倍數(shù)增加而增加，并且24個點(diǎn)大致分布在一條直線附近，因此可以認(rèn)為強(qiáng)度y與拉伸倍數(shù)x的主要關(guān)系是線性關(guān)系：§7曲線擬合的最小二乘法Chapter3函數(shù)逼近2023/3/315第五頁，共二十六頁，2022年，8月28日§7曲線擬合的最小二乘法Chapter3函數(shù)逼近2023/3/316第六頁，共二十六頁，2022年，8月28日§7曲線擬合的最小二乘法Chapter3函數(shù)逼近仍然定義平方誤差2023/3/317第七頁，共二十六頁，2022年，8月28日§7曲線擬合的最小二乘法Chapter3函數(shù)逼近我們選取的度量標(biāo)準(zhǔn)是（7.1）2023/3/318第八頁，共二十六頁，2022年，8月28日§7曲線擬合的最小二乘法Chapter3函數(shù)逼近2023/3/319第九頁，共二十六頁，2022年，8月28日法方程組§7曲線擬合的最小二乘法Chapter3函數(shù)逼近由可知因此可假設(shè)二次函數(shù)因此求最小二乘解轉(zhuǎn)化為2023/3/3110第十頁，共二十六頁，2022年，8月28日§7曲線擬合的最小二乘法Chapter3函數(shù)逼近由多元函數(shù)取極值的必要條件得即2023/3/3111第十一頁，共二十六頁，2022年，8月28日§7曲線擬合的最小二乘法Chapter3函數(shù)逼近即2023/3/3112第十二頁，共二十六頁，2022年，8月28日§7曲線擬合的最小二乘法Chapter3函數(shù)逼近引入記號則由內(nèi)積的概念可知顯然內(nèi)積滿足交換律2023/3/3113第十三頁，共二十六頁，2022年，8月28日§7曲線擬合的最小二乘法Chapter3函數(shù)逼近將其表示成矩陣形式（7.7）2023/3/3114第十四頁，共二十六頁，2022年，8月28日§7曲線擬合的最小二乘法Chapter3函數(shù)逼近并且其系數(shù)矩陣為對稱陣。所以法方程組的系數(shù)矩陣非奇異,即根據(jù)Cramer法則,法方程組有唯一解：2023/3/3115第十五頁，共二十六頁，2022年，8月28日§7曲線擬合的最小二乘法Chapter3函數(shù)逼近即是的最小值。所以因此誤差平方和2023/3/3116第十六頁，共二十六頁，2022年，8月28日§7曲線擬合的最小二乘法Chapter3函數(shù)逼近

例已知觀測數(shù)據(jù)(1,–5),(2,0),(4,5),(5,6)，試用最小二乘法求形如的經(jīng)驗公式。法一解：

求a、b使F最小，整理得：2023/3/3117第十七頁，共二十六頁，2022年，8月28日§7曲線擬合的最小二乘法Chapter3函數(shù)逼近求得a=1.537650114

b=－6.432976311所求經(jīng)驗公式為代入數(shù)據(jù)：

例已知觀測數(shù)據(jù)(1,–5),(2,0),(4,5),(5,6)，試用最小二乘法求形如的經(jīng)驗公式。2023/3/3118第十八頁，共二十六頁，2022年，8月28日

例已知觀測數(shù)據(jù)(1,–5),(2,0),(4,5),(5,6)，試用最小二乘法求形如的經(jīng)驗公式。法方程組為法二解：

§7曲線擬合的最小二乘法Chapter3函數(shù)逼近2023/3/3119第十九頁，共二十六頁，2022年，8月28日

例已知觀測數(shù)據(jù)(1,–5),(2,0),(4,5),(5,6)，試用最小二乘法求形如的經(jīng)驗公式?！?曲線擬合的最小二乘法Chapter3函數(shù)逼近2023/3/3120第二十頁，共二十六頁，2022年，8月28日§7曲線擬合的最小二乘法Chapter3函數(shù)逼近多項式擬合2023/3/3121第二十一頁，共二十六頁，2022年，8月28日§7曲線擬合的最小二乘法Chapter3函數(shù)逼近2023/3/3122第二十二頁，共二十六頁，2022年，8月28日§7曲線擬合的最小二乘法Chapter3函數(shù)逼近例已知一組觀測數(shù)據(jù)表，試用最小二乘法求一個多項式擬合這組數(shù)據(jù)。x012345y521123解作散點(diǎn)圖，可以看出這些點(diǎn)接近一條拋物線，因此設(shè)所求的多項式為其法方程組為2023/3/3123第二十三頁，共二十六頁，2022年，8月28日§7曲線擬合的最小二乘法Chapter3函數(shù)逼近得a0=4.7143,a1=-2.7857,a2=0.50002023/3/3124第二十四頁，共二十六頁，2022年，8月28日例求一個經(jīng)驗函數(shù),使它與觀測數(shù)據(jù)擬合。x12345678y14.320.527.436.649.164.687.8117.6§7曲線擬合的最小二乘法指數(shù)函數(shù)形式兩邊取對數(shù),得解：x12345678y’2.663.023.313.603.894.174.484.77求解直線擬合得a’,b,2023/3/3125第二十五頁，共二十六頁，2022