2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．在正方體中，E，F(xiàn)，G，H分別是，，，的中點(diǎn)，K是底面ABCD上的動(dòng)點(diǎn)，且平面EFG，則HK與平面ABCD所成角的正弦值的最小值是（）A． B． C． D．2．如圖，為正方體，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．平面B．C．平面D．異面直線與所成的角為3．已知點(diǎn)，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，則面積的最大值是（）A． B． C． D．4．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a﹣b＝ccosB﹣ccosA，則△ABC的形狀為（）A．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形5．化簡（）A． B． C． D．6．已知，，且，則（）A．1 B．2 C．3 D．47．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)叫做格點(diǎn)，若函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過個(gè)格點(diǎn)，則稱函數(shù)為階格點(diǎn)函數(shù).下列函數(shù)中為一階格點(diǎn)函數(shù)的是（）A． B． C． D．8．在中，,則=（）A． B． C． D．9．已知,,從射出的光線經(jīng)過直線反射后再射到直線上,最后經(jīng)直線反射后又回到點(diǎn),則光線所經(jīng)過的路程可以用對(duì)稱性轉(zhuǎn)化為一條線段,這條線段的長為()A． B．3 C． D．10．干支紀(jì)年法是中國歷法上自古以來就一直使用的紀(jì)年方法，主要方式是由十天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、廢、辛、壬、朵）和十二地支（子、丑、卯、辰、已、午、未、中、百、戊、）按順序配對(duì)，周而復(fù)始，循環(huán)記錄．如：1984年是甲子年，1985年是乙丑年，1994年是甲戌年，則數(shù)學(xué)王子高斯出生的1777年是干支紀(jì)年法中的（）A．丁申年 B．丙寅年 C．丁酉年 D．戊辰年二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知變量和線性相關(guān)，其一組觀測數(shù)據(jù)為，由最小二乘法求得回歸直線方程為.若已知，則______.12．已知、的取值如表所示：01342.24.34.86.7從散點(diǎn)圖分析，與線性相關(guān)，且，則______．13．函數(shù)的反函數(shù)為____________.14．計(jì)算：__________.15．若滿足約束條件，則的最小值為_________.16．函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)開_____.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知直線，.（1）證明:直線過定點(diǎn)；（2）已知直線//，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，若的面積為，求.18．已知直線與平行.（1）求實(shí)數(shù)的值：（2）設(shè)直線過點(diǎn)，它被直線，所截的線段的中點(diǎn)在直線上，求的方程.19．?dāng)?shù)列中，，（為常數(shù)，1，2，3，…），且.（1）求c的值；（2）求證：①；②；（3）比較++…+與的大小，并加以證明.20．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，且，，成等比數(shù)列，求k的值．21．（Ⅰ）已知向量，求與的夾角的余弦值；（Ⅱ）已知角終邊上一點(diǎn)，求的值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

根據(jù)題意取的中點(diǎn)，可得平面平面，從而可得K在上移動(dòng)，平面，即可HK與平面ABCD所成角中最小的為【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，由E，F(xiàn)，G，H分別是，，，的中點(diǎn)，所以，，且，則平面平面，若K是底面ABCD上的動(dòng)點(diǎn)，且平面EFG，則K在上移動(dòng)，由正方體的性質(zhì)可知平面，所以HK與平面ABCD所成角中最小的為，不妨設(shè)正方體的邊長為，在中，.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了求線面角，同時(shí)考查了面面平行的判定定理，解題的關(guān)鍵是找出線面角，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

在正方體中與

平行，因此有與平面

平行，A正確；在平面

內(nèi)的射影垂直于，因此有，B正確；與B同理有與

垂直，從而

平面

，C正確；由知與所成角為45°，D錯(cuò)．故選D．3、B【解析】

求出直線的方程，計(jì)算出圓心到直線的距離，可知的最大高度為，并計(jì)算出，最后利用三角形的面積公式可得出結(jié)果.【詳解】直線的方程，且，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑長為，圓心到直線的距離為，所以，點(diǎn)到直線的距離的最大值為，因此，面積的最大值為，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積的最值問題，考查圓的幾何性質(zhì)，當(dāng)直線與圓相離時(shí)，若圓的半徑為，圓心到直線的距離為，則圓上一點(diǎn)到直線距離的最大值為，距離的最小值為，要熟悉相關(guān)結(jié)論的應(yīng)用.4、D【解析】

用正弦定理化邊為角，再由誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式化簡變形可得．【詳解】∵a﹣b＝ccosB﹣ccosA，∴，∴,∴，∴或，∴或，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理，考查三角形形狀的判斷．解題關(guān)鍵是誘導(dǎo)公式的應(yīng)用．5、A【解析】

減法先變?yōu)榧臃ǎ孟蛄康娜切畏▌t得到答案.【詳解】故答案選A【點(diǎn)睛】本題考查了向量的加減法，屬于簡單題.6、D【解析】

根據(jù)向量的平行可得4m＝3m+4，解得即可．【詳解】，，且，則，解得，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了向量平行的充要條件，考查了運(yùn)算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．7、A【解析】

根據(jù)題意得，我們逐個(gè)分析四個(gè)選項(xiàng)中函數(shù)的格點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可得到答案．【詳解】根據(jù)題意得：函數(shù)y＝sinx圖象上只有（0，0）點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，故A為一階格點(diǎn)函數(shù)；函數(shù)沒有橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，故B為零階格點(diǎn)函數(shù)；函數(shù)y＝lgx的圖象有（1，0），（10，1），（100，2），…無數(shù)個(gè)點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，故C為無窮階格點(diǎn)函數(shù)；函數(shù)y＝x2的圖象有…（﹣1，0），（0，0），（1，1），…無數(shù)個(gè)點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，故D為無窮階格點(diǎn)函數(shù).故選A．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的圖象與圖象變化，其中分析出函數(shù)的格點(diǎn)個(gè)數(shù)是解答本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．8、C【解析】

解：因?yàn)橛烧叶ɡ?，所以又ｃ＜ａ所以，所?、A【解析】

根據(jù)題意，畫出示意圖，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而利用兩點(diǎn)之間距離公式求解.【詳解】根據(jù)題意，作圖如下：已知直線AB的方程為：，則：點(diǎn)P關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為，則：，解得點(diǎn)，同理可得點(diǎn)P關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)為：故光線的路程為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的求解、斜率的求解、以及兩點(diǎn)之間的距離，屬基礎(chǔ)題.10、C【解析】

天干是以10為公差的等差數(shù)列，地支是以12為公差的等差數(shù)列，按照這個(gè)規(guī)律進(jìn)行推理，即可得到結(jié)果．【詳解】由題意，天干是以10為公差的等差數(shù)列，地支是以12為公差的等差數(shù)列，1994年是甲戌年，則1777的天干為丁，地支為酉，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的定義及等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中認(rèn)真審題，合理利用等差數(shù)列的定義，以及等差數(shù)列的性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、355【解析】

根據(jù)回歸直線必過樣本點(diǎn)的中心，根據(jù)橫坐標(biāo)結(jié)合回歸方程求出縱坐標(biāo)即可得解.【詳解】由題：，回歸直線方程為，所以，.故答案為：355【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)回歸直線方程求樣本點(diǎn)的中心的縱坐標(biāo)，關(guān)鍵在于掌握回歸直線必過樣本點(diǎn)的中心，根據(jù)平均數(shù)求解.12、【解析】

根據(jù)數(shù)據(jù)表求解出，代入回歸直線，求得的值.【詳解】根據(jù)表中數(shù)據(jù)得：，又由回歸方程知回歸方程的斜率為截距本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查利用回歸直線求實(shí)際數(shù)據(jù)，關(guān)鍵在于明確回歸直線恒過，從而可構(gòu)造出關(guān)于的方程.13、【解析】

首先求出在區(qū)間的值域，再由表示的含義，得到所求函數(shù)的反函數(shù).【詳解】因?yàn)椋裕?所以的反函數(shù)是.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查反函數(shù)定義，同時(shí)考查了三角函數(shù)的值域問題，屬于簡單題.14、0【解析】

直接利用數(shù)列極限的運(yùn)算法則，分子分母同時(shí)除以，然后求解極限可得答案.【詳解】解：，故答案為：0.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列極限的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)知識(shí)的考查.15、3【解析】

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫出可行解域，平行移動(dòng)直線，在可行解域內(nèi)，找到直線在縱軸上截距最小時(shí)所經(jīng)過點(diǎn)的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)中，求出目標(biāo)函數(shù)的最小值.【詳解】在平面直角坐標(biāo)系中，約束條件所表示的平面區(qū)域如下圖所示：當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，直線縱軸上截距最小，解方程組，因此點(diǎn)坐標(biāo)為，所以的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查了線性目標(biāo)函數(shù)最小值問題，正確畫出可行解域是解題的關(guān)鍵.16、【解析】

由二倍角公式降冪，再由兩角和的正弦公式化函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)可求得值域．【詳解】，，則，.故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換（二倍角公式、兩角和的正弦公式），考查正弦函數(shù)的的單調(diào)性和最值．求解三角函數(shù)的性質(zhì)的性質(zhì)一般都需要用三角恒等變換化函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見詳解；（2）【解析】

（1）將直線變形，然后令前系數(shù)為0，可得結(jié)果.（2）根據(jù)直線//，可得，然后計(jì)算點(diǎn)到直線距離，根據(jù)面積公式，可得結(jié)果.【詳解】（1）由則直線，令且所以對(duì)任意的，直線必過定點(diǎn)（2）由直線//，所以可知直線，則直線，點(diǎn)到直線距離為又，所以【點(diǎn)睛】本題主要考查直線過定點(diǎn)問題以及平面中線線平行關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.18、(1).(2)【解析】

（1）利用兩直線平行的條件進(jìn)行計(jì)算，需注意重合的情況。（2）求出到平行線與距離相等的直線方程為，將其與直線聯(lián)立，得到直線被直線，所截的線段的中點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線的斜率，可得直線的方程。【詳解】（1）∵直線與平行，∴且，即且，解得.（2）∵，直線：，：故可設(shè)到平行線與距離相等的直線方程為，則，解得：，所以到平行線與距離相等的直線方程為，即直線被直線，所截的線段的中點(diǎn)在上，聯(lián)立，解得，∴過點(diǎn)∴，的方程為：，化簡得：.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與直線的位置關(guān)系以及直線斜率、直線的一般方程的求解等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握兩直線平行的條件，直線的斜率公式，平行線間的距離公式，屬于中檔題。19、(1)；(2)①見證明；②見證明；(3)++…+，證明見解析【解析】

（1）將代入，結(jié)合可求出的值；（2）可知，，即可證明結(jié)論；（3）由題意可得，從而可得到，求和可得，然后作差，通過討論可比較二者大小.【詳解】（1）由題意：，.而，得，即，解得或，因?yàn)?，所以滿足題意.（2）因?yàn)椋?則.，因?yàn)椋?，所以，所?（3）由，可得，從而，所以.因?yàn)?，所以，所?，，，,當(dāng)n=1時(shí)，,故；當(dāng)n=2時(shí)，，；當(dāng)n≥3時(shí)，，則，.【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的遞推關(guān)系式和數(shù)列的求和，考查了不等式的證明，考查了學(xué)生的邏輯推理能力與計(jì)算能力，屬于難題.20、（1）；（2）4.【解析】

（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，列出方程組，即可求解．（2）由（1），求得，再根據(jù)，，成等比數(shù)列，得到關(guān)于的方程，即可求解．【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題意可得：，解得．所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）由知，因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，即，解得．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及前n項(xiàng)和公