函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性是高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，考查內(nèi)容靈活多樣.本節(jié)主要幫助考生深刻理解奇偶性、單調(diào)性的定義，掌握判定方法，正確認(rèn)識單調(diào)函數(shù)與奇偶函數(shù)的圖象.●難點(diǎn)磁場(★★★★)設(shè)a>0,f(x)=是R上的偶函數(shù)，(1)求a的值；(2)證明：f(x)在(0，+∞)上是增函數(shù).●案例探究［例1］已知函數(shù)f(x)在(－1，1)上有定義，f()=－1,當(dāng)且僅當(dāng)0<x<1時f(x)<0,且對任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(),試證明：(1)f(x)為奇函數(shù)；(2)f(x)在(－1，1)上單調(diào)遞減.命題意圖：本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判定以及運(yùn)算能力和邏輯推理能力.屬★★★★題目.知識依托：奇偶性及單調(diào)性定義及判定、賦值法及轉(zhuǎn)化思想.錯解分析：本題對思維能力要求較高，如果“賦值”不夠準(zhǔn)確，運(yùn)算技能不過關(guān)，結(jié)果很難獲得.技巧與方法：對于(1)，獲得f(0)的值進(jìn)而取x=－y是解題關(guān)鍵；對于(2)，判定的范圍是焦點(diǎn).證明：(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0.∴f(x)=－f(－x).∴f(x)為奇函數(shù).(2)先證f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減.令0<x1<x2<1,則f(x2)－f(x1)=f(x2)－f(－x1)=f()∵0<x1<x2<1,∴x2－x1>0,1－x1x2>0，∴>0,又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0∴x2－x1<1－x2x1,∴0<<1,由題意知f()<0，即f(x2)<f(x1).∴f(x)在(0，1)上為減函數(shù)，又f(x)為奇函數(shù)且f(0)=0.∴f(x)在(－1，1)上為減函數(shù).［例2］設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，并在區(qū)間(－∞,0)內(nèi)單調(diào)遞增，f(2a2+a+1)<f(3a2－2a+1).求a的取值范圍，并在該范圍內(nèi)求函數(shù)y=()的單調(diào)遞減區(qū)間.命題意圖：本題主要考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的基本應(yīng)用以及對復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定方法.本題屬于★★★★★級題目.知識依托：逆向認(rèn)識奇偶性、單調(diào)性、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的值域問題.錯解分析：逆向思維受阻、條件認(rèn)識不清晰、復(fù)合函數(shù)判定程序紊亂.技巧與方法：本題屬于知識組合題類，關(guān)鍵在于讀題過程中對條件的思考與認(rèn)識，通過本題會解組合題類，掌握審題的一般技巧與方法.解：設(shè)0<x1<x2,則－x2<－x1<0，∵f(x)在區(qū)間(－∞,0)內(nèi)單調(diào)遞增，∴f(－x2)<f(－x1),∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(－x2)=f(x2),f(－x1)=f(x1),∴f(x2)<f(x1).∴f(x)在(0，+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.由f(2a2+a+1)<f(3a2－2a+1)得：2a2+a+1>3a2－2a+1.解之，得0<a<3.又a2－3a+1=(a－)2－.∴函數(shù)y=()的單調(diào)減區(qū)間是［，+∞］結(jié)合0<a<3,得函數(shù)y=()的單調(diào)遞減區(qū)間為［，3).●錦囊妙計(jì)本難點(diǎn)所涉及的問題及解決方法主要有：(1)判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性若為具體函數(shù)，嚴(yán)格按照定義判斷，注意變換中的等價(jià)性.若為抽象函數(shù)，在依托定義的基礎(chǔ)上，用好賦值法，注意賦值的科學(xué)性、合理性.同時，注意判斷與證明、討論三者的區(qū)別，針對所列的“磁場”及“訓(xùn)練”認(rèn)真體會，用好數(shù)與形的統(tǒng)一.復(fù)合函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性.問題的解決關(guān)鍵在于：既把握復(fù)合過程，又掌握基本函數(shù).(2)加強(qiáng)逆向思維、數(shù)形統(tǒng)一.正反結(jié)合解決基本應(yīng)用題目，下一節(jié)我們將展開研究奇偶性、單調(diào)性的應(yīng)用.●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、選擇題1.(★★★★)下列函數(shù)中的奇函數(shù)是()A.f(x)=(x－1) B.f(x)=C.f(x)= D.f(x)=2.(★★★★★)函數(shù)f(x)=的圖象()A.關(guān)于x軸對稱 B.關(guān)于y軸對稱C.關(guān)于原點(diǎn)對稱 D.關(guān)于直線x=1對稱二、填空題3.(★★★★)函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，則y=f(|x+1|)的一個單調(diào)遞減區(qū)間是_________.4.(★★★★★)若函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d滿足f(0)=f(x1)=f(x2)=0(0<x1<x2),且在［x2,+∞上單調(diào)遞增，則b的取值范圍是_________.三、解答題5.(★★★★)已知函數(shù)f(x)=ax+(a>1).(1)證明：函數(shù)f(x)在(－1，+∞)上為增函數(shù).(2)用反證法證明方程f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根.6.(★★★★★)求證函數(shù)f(x)=在區(qū)間(1，+∞)上是減函數(shù).7.(★★★★)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱且滿足：(i)f(x1－x2)=；(ii)存在正常數(shù)a使f(a)=1.求證：(1)f(x)是奇函數(shù).(2)f(x)是周期函數(shù)，且有一個周期是4a.8.(★★★★★)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且對m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)－1,且f(－)=0,當(dāng)x>－時，f(x)>0.(1)求證：f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)；(2)試舉出具有這種性質(zhì)的一個函數(shù)，并加以驗(yàn)證.參考答案難點(diǎn)磁場(1)解：依題意，對一切x∈R,有f(x)=f(－x),即+aex.整理，得(a－)(ex－)=0.因此，有a－=0,即a2=1,又a>0,∴a=1(2)證法一：設(shè)0＜x1＜x2,則f(x1)－f(x2)=由x1>0,x2>0,x2>x1,∴>0,1－e＜0,∴f(x1)－f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2)∴f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)證法二：由f(x)=ex+e－x，得f′(x)=ex－e－x=e－x·(e2x－1).當(dāng)x∈(0,+∞)時，e－x>0,e2x－1>0.此時f′(x)>0,所以f(x)在［0，+∞)上是增函數(shù).殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、1.解析：f(－x)==－f(x)，故f(x)為奇函數(shù).答案：C2.解析：f(－x)=－f(x),f(x)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.答案：C二、3.解析：令t=|x+1|,則t在(－∞,－1上遞減，又y=f(x)在R上單調(diào)遞增，∴y=f(|x+1|)在(－∞,－1上遞減.答案：(－∞,－14.解析：∵f(0)=f(x1)=f(x2)=0,∴f(0)=d=0.f(x)=ax(x－x1)(x－x2)=ax3－a(x1+x2)x2+ax1x2x，∴b=－a(x1+x2),又f(x)在［x2,+∞單調(diào)遞增，故a>0.又知0＜x1＜x,得x1+x2>0,∴b=－a(x1+x2)＜0.答案：(－∞,0）三、5.證明：(1）設(shè)－1＜x1＜x2＜+∞,則x2－x1>0,>1且>0,∴>0,又x1+1>0,x2+1>0∴>0,于是f(x2)－f(x1)=+>0∴f(x)在(－1，+∞）上為遞增函數(shù).(2）證法一：設(shè)存在x0＜0(x0≠－1)滿足f(x0)=0,則且由0＜＜1得0＜－＜1,即＜x0＜2與x0＜0矛盾，故f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根.證法二：設(shè)存在x0＜0(x0≠－1)使f(x0)=0,若－1＜x0＜0,則＜－2,＜1,∴f(x0)＜－1與f(x0)=0矛盾，若x0＜－1,則>0,>0，∴f(x0)>0與f(x0)=0矛盾，故方程f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根.6.證明：∵x≠0,∴f(x)=,設(shè)1＜x1＜x2＜+∞,則.∴f(x1)>f(x2),故函數(shù)f(x)在(1，+∞）上是減函數(shù).(本題也可用求導(dǎo)方法解決）7.證明：(1）不妨令x=x1－x2,則f(－x)=f(x2－x1)==－f(x1－x2)=－f(x).∴f(x)是奇函數(shù).(2）要證f(x+4a)=f(x),可先計(jì)算f(x+a),f(x+2a).∵f(x+a)=f［x－(－a)］=.∴f(x+4a)=f［(x+2a)+2a］==f(x),故f(x)是以4a為周期的周期函數(shù).8.(1）證明：設(shè)x1＜x2,則x2－x1－>－,由題意f(x2－x1－)>0,∵f(x2)－f(x1)=f［(x2－x1)+x1］－f(x1)=f(x2－x1)+f(x1)－1－f(x1)=f(x2－x1)－1=f(x2－x1)+f(－)－1=f［(x2－x1)－］>0,∴f(x)是單調(diào)遞增函數(shù).(2)解：f(x)=2x+1.驗(yàn)證過程略.2．3函數(shù)的單調(diào)性學(xué)法導(dǎo)引1．熟練掌握增減性的概念．要注意定義中對區(qū)間內(nèi)，的任意性，而不是某兩個特殊值，．2．掌握好證明函數(shù)單調(diào)性的方法(用定義)：取值——作差——定號——判斷．3．熟悉幾種基本函數(shù)的單調(diào)性．4．掌握好利用函數(shù)的單調(diào)性來比較數(shù)的大小的方法．知識要點(diǎn)精講1．增函數(shù)、減函數(shù)、單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間的概念(1)函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在定義域內(nèi)某一區(qū)間內(nèi)的局部性質(zhì)，而不是整體性質(zhì)．一是同屬于一個單調(diào)區(qū)間，二是任意性，切不可用兩個特殊值代替，三是規(guī)定了大小關(guān)系．要證明函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)遞增(遞減)的，而要證f(x)在區(qū)間[a，b]上不是遞增(遞減)的，則只需舉出反例即可．2．判斷函數(shù)單調(diào)性的方法最基本的方法是依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義來證明，其步驟如下：并通過因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判斷差的符號的方向變化；第三步：定號，即確定差的符號，當(dāng)符號不確定時，可進(jìn)行分區(qū)間討論；第四步：判斷，即根據(jù)定義確定是增函數(shù)還是減函數(shù)．也可根據(jù)函數(shù)簡單的運(yùn)算性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)來確定函數(shù)的單調(diào)性．3．函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)，它在研究函數(shù)時具有重要的作用．具體表現(xiàn)在：(1)利用函數(shù)的單調(diào)性，可以把比較函數(shù)值的大小問題，轉(zhuǎn)化為比較自變量的大小問題，也是我們解不等式的依據(jù)．(2)確定函數(shù)的值域或求函數(shù)的最值．對于函數(shù)f(x)，如果它在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，那么它的值域是[f(a)，f(b)]，如果它在區(qū)間[a，b]上是減函數(shù)，那么它的值域是[f(b)，f(a)]，如果它在區(qū)間[a，c]上是增(減)函數(shù)，在[c，b]上是減(增)函數(shù)，那么它的最大(小)值是f(c)．4．常用函數(shù)的單調(diào)性(1)一次函數(shù)y＝kx＋b，當(dāng)k＞0時，函數(shù)在R上為單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)k＜0時，函數(shù)在R上為單調(diào)遞減函數(shù)．思維整合【重點(diǎn)】本節(jié)重點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的概念以及函數(shù)單調(diào)性的判定、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用．【難點(diǎn)】利用函數(shù)單調(diào)性的概念來證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性．【易錯點(diǎn)】1．復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性只注意復(fù)合關(guān)系，不注意范圍；精典例題再現(xiàn)【解析重點(diǎn)】例求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．［解析］求函數(shù)單調(diào)區(qū)間有多種方法，可以利用定義法，可以利用基本的初等函數(shù)的單調(diào)性，也可以用圖象的直觀性．作出函數(shù)的圖象，如圖2－3－1所示：在(－∞，－1]和[0，1]上，函數(shù)f(x)是增函數(shù)