3-6簡(jiǎn)單的三角恒等變換課時(shí)規(guī)范練(講課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第71頁(yè))A組基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練13πα1．(2017·簡(jiǎn)陽(yáng)市期末)已知cosα＝3，α∈2，2π，則cos2等于(B)66A.3B．－33D．－3C.3313πα3πα1＋cosα1＋3分析：α∈2，2π，∴2∈4，π，則cos2＝－2＝－2＝－63.2．(2016·高考山東卷)函數(shù)f(x)＝(3sinx＋cosx)·(3cosx－sinx)的最小正周期是(B)πB．πA.23πC.2D．2π132tan13°1－cos50°3．(2017·開封模擬)設(shè)a＝2cos6°－2sin6°，b＝1－tan213°，c＝2，則(C)A．c<b<aB．a(chǎn)<b<cC．a(chǎn)<c<bD．b<c<a4．(2018·高考全國(guó)卷Ⅰ)已知角α的極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點(diǎn)(1，)，(2，b)，且cos2α＝2，則|－|＝(B)AaB3ab15A.5B．525C.5D．12225分析：∵cos2α＝2cosα－1＝3，解得cosα＝6，30306∴|cosα|＝6，∴|sinα|＝1－36＝6，6－a|sinα|65＝|tanα|＝＝|a－b|＝|cosα|＝.2－1305615．(2018·貴陽(yáng)二模)若f(x)是以5為周期的奇函數(shù)，f(－3)＝4，且cosα＝2，則f(4cos2α)＝(C)A．4B．2C．－4D．－2121分析：∵cosα＝2，∴cos2α＝2cosα－1＝－2，∴4cos2α＝－2.f(x)是以5為周期的奇函數(shù)，f(－3)＝4，則f(4cos2α)＝f(－2)＝f(－2＋5)＝f(3)＝－f(－3)＝－4，應(yīng)選C.ππ1＋sin2β6．(2018·淮南一模)設(shè)α∈0，2，β∈0，4，且tanα＝cos2β，則以下結(jié)論中正確的選項(xiàng)是(C)ππA．2α－β＝4B．2α＋β＝4C．α－β＝πD．α＋β＝π441＋sin2ββ＋cosβ2sinβ＋cosβ1＋tanβ分析：tanα＝cos2β＝cos2β－sin2β＝cosβ－sinβ＝1－tanβ＝πtanβ＋4.πππππ由于α∈0，2，β＋4∈4，2，因此α＝β＋4.應(yīng)選C.ππ7．(2016·河北保定模擬)已知cosα＋3＝sinα－3，則tanα的值為(B)A．－1B．1C.3D．－33θ8．(2017·廣西調(diào)研)若θ∈[0，π]，cosθ＝4，則tan2＝(D)A.71B．77C．7D．79．為了獲得函數(shù)y＝sin3x＋cos3x的圖象，能夠?qū)⒑瘮?shù)y＝2cos3x的圖象(A)ππA．向右平移12個(gè)單位B．向右平移4個(gè)單位ππC．向左平移12個(gè)單位D．向左平移4個(gè)單位10．若將函數(shù)f(x)＝sin2x＋cos2x的圖象向右平移φ個(gè)單位，所得圖象對(duì)于y軸對(duì)稱，則φ的最小正當(dāng)是(C)A.πB．π843πD．3πC.48π3α11．(2017·普陀區(qū)二模)若2＜α＜π，sinα＝5，則tan2＝3.π324α1－cosα分析：若＜α＜π，sinα＝，則cosα＝－1－sinα＝－，∴tan＝＝2552sinα3.12．設(shè)sin2α＝－sinπ，π，則tan2α的值是3.α，α∈2分析：由sin2α＝－sinα，得sin2α＋sinα＝0，∴2sinαcosα＋sinα＝0?sinα(2cosα＋1)＝0.π∵α∈2，π，∴sinα≠0，12cosα＋1＝0?cosα＝－2，3sinα＝2，tanα＝－3，2tanα－23∴tan2α＝1－tan2α＝1－3＝3，故應(yīng)填3.13．已知函數(shù)f()＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)為奇函數(shù)，且π＝0，此中∈R，θ∈(0，xf4aπ)．求a，θ的值；(2)若fα2ππ4＝－5，α∈2，π，求sinα＋3的值．分析：(1)由于f(x)＝(＋2cos2)cos(2x＋θ)是奇函數(shù)，而y1＝＋2cos2為偶函數(shù)，因此axaxy2＝cos(2x＋θ)為奇函數(shù)，由θ∈(0，π)，得θ＝π，因此f(x)＝－sin2x·(a＋2cos2x)，2π由f4＝0得－(a＋1)＝0，即a＝－1.1(2)由(1)得f(x)＝－sin4x，2α124由于f4＝－2sinα＝－5，即sinα＝5，π，π，進(jìn)而cos3又α∈2α＝－5，πππ4－33因此sinα＋3＝sinαcos3＋cosαsin3＝10.B組能力提高練1．已知函數(shù)f(x)＝3sinωx＋cosωx(ω>0)，x∈R.在曲線y＝f(x)與直線y＝1的交點(diǎn)π中，若相鄰交點(diǎn)距離的最小值為3，則f(x)的最小正周期為(C)π2πA.2B．3C．πD．2πcos2α22．(2018·烏魯木齊模擬)若π＝2，則sin2α的值為(A)cosα－433A.4B．833C．－8D．－4cos2αcos2α－sin2α分析：π＝ππcosα－4cosαcos4＋sinαsin4α＋sinαα－sinα＝2α＋sinα221＝2(cosα－sinα)＝2，∴cosα－sinα＝2，兩邊平方得1－2sinαcos133α＝，∴2sinαcosα＝，即sin2α＝.應(yīng)選A.4443．(2017·湖南模擬)在△中，若3(tan＋tan)＝tan·tan－1，則sin2＝ABCBCBCA(D)A．－1B．12233C．－2D．22214．(2018·松江區(qū)一模)已知角α的終邊與單位圓x＋y＝1交于點(diǎn)P2，y0，則cos2α1.等于－21211分析：由題意可得r＝1，cosα＝2，∴cos2α＝2cosα－1＝2×4－1＝－2.ππ15．(2018·江蘇模擬)函數(shù)f(x)＝2cosx＋4cosx－4和射線y＝2(x≥0)的交點(diǎn)從左至12n220右挨次為P，P，，P，則|PP|＝9π.ππ22分析：∵f(x)＝2cosx＋4cosx－4＝cosx－sinx＝cos2x，1∴函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，T＝π，∵曲線f(x)和直線y＝2在y軸右邊的每個(gè)周期的圖象都有兩個(gè)交點(diǎn)，∴P和P相隔9個(gè)周期，故|PP|＝9π.2202206．(2016·高考江蘇卷)在銳角三角形ABC中，若sinA＝2sinBsinC，則tanAtanBtanC的最小值是8.分析：由sinA＝sin(B＋C)＝2sinBsinC得sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBsinC，兩邊同時(shí)除以cosBcosC得tanB＋tanC＝2tanBtanC，令tanB＋tanC＝2tanBtanC＝m，由于△ABC是銳角三角形，因此2tanBtanC>2tanB·tanC，則tanBtanC>1，m>2.m12m又在三角形中有tanAtanBtanC＝－tan(B＋C)·tanBtanC＝－1·2m＝m－2＝m－21－2m444＋－2＋4≥2m－－2＋4＝8，當(dāng)且僅當(dāng)m－2＝－2，即m＝4時(shí)取等號(hào)，故mmmtantantanC的最小值為8.ABπ，π，且sinαα67．已知α∈22＋cos2＝2.(1)求cosα的值；π若sin(α－β)＝－5，β∈2，π，求cosβ的值．分析：(1)由sinα＋cosα＝6得1＋sinα＝3，因此sinα＝1，由于α∈π，π，2222223因此cosα＝－2.(2)由題意知α－β∈－ππ34，2，由于sin(α－β)＝－，因此cos(α－β)＝，因此255341cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝－2×5＋2343＋3×－5＝－10.π8．已知函數(shù)f(x)＝sin3x＋4.求f(x)的單一遞加區(qū)間；(2)若α是第二象限角，fα4π3＝5cosα＋4cos2α，求cosα－sinα的值．分析：(1)由于函數(shù)y＝sinx的單一遞加區(qū)間為－π＋2π，π＋2kπ，k∈Z.由－π＋2k22πππ2kππ2π2kπ≤3x＋4≤2＋2kπ，k∈Z，得－4＋3≤x≤12＋3，k∈Z.因此函數(shù)f(x)的單一遞加區(qū)間為－π＋2kπ，π＋43122πk，k∈Z.3π4π22π(2)由已知，有sinα＋4＝5cosα＋4(cosα－sinα)，因此sinαcos4＋cosαsinπ4cosαcosπ4＝54－sinπ·(cos2α－sin2α)，αsin4即sinα＋cos4α－sinα)2α＋cosα)．α＝(cos(sin53π當(dāng)sinα＋cosα＝0時(shí)，由α是第二象限角，知α＝4＋2kπ，k∈Z.此時(shí)，cosα－sinα＝－2.5當(dāng)sinα＋cosα≠0時(shí)，有(cosα－sinα)＝4.由α是第二象限角，知cosα－sinα<0，5此時(shí)cosα－sinα＝－2.綜上所述，cosα－sinα＝－52或－.29．某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)：①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；22°cos15°；②sin15°＋cos15°－sin15③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)；依據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推行為三角恒等式，并證明你的結(jié)論．分析：(1)選擇②式，計(jì)算以下：22113sin15°＋cos15°－sin15°cos15°＝1－2sin30°＝1－4＝4.(2)法一三角恒等式為223sinα＋cos(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.4證明以下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝sin2α＋(cos30°·cosα＋sin2232330°sinα)－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝sinα＋4cosα＋2sinαcosα＋1231232323sinα－sinα·cosα－sinα＝sinα＋cosα＝.422444法二三角恒等式為sin2α＋cos2(30°－α)－sinα·cos(30°－α)＝3.4證