2022-2023學年東北師大附中高一年級（數(shù)學）科試卷上學期階段驗收考試考試時間：90分鐘試卷滿分：120分一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.將－1485°化成的形式是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由或轉(zhuǎn)換．【詳解】因為，，，所以－1485°可化成．故選：D．2.下列結(jié)論不正確的是（）A.B.CD.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正弦、余弦、正切的正負性，結(jié)合角所在的象限逐一判斷即可.【詳解】，第二象限角，，因此A正確，為第三象限角，，，因此B、C正確，為第三象限角，，因此D錯誤．故選：D3.已知扇形的周長是6cm，面積是，則扇形的中心角的弧度數(shù)是（）A.1B.4C.1或4D.2或4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用扇形面積公式求出扇形所在圓半徑，再借助弧長公式求解作答.【詳解】設扇形所在圓半徑為r，則扇形弧長為，依題意，，解得或，所以扇形的中心角的弧度數(shù)是或.故選：C4.如果,那么的值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由誘導公式直接求解即可.【詳解】由得，，故選：B．5.已知，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】觀察題目中角的特征可知，將要求的角轉(zhuǎn)化成已知角即，再利用誘導公式求解即可.【詳解】由題意可知，將角進行整體代換并利用誘導公式得；；所以，即.故選：A.6.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性以及對數(shù)函數(shù)的定義域即可求解.【詳解】由對數(shù)函數(shù)在定義域為增函數(shù)，所以只需求出在定義域內(nèi)的增區(qū)間即可.的單調(diào)增區(qū)間即為的減區(qū)間，且，即，令,解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：C.7.已知函數(shù)，，若對，恒成立，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可知，函數(shù)在時取最大值，所以，根據(jù)即可求得的值.【詳解】由函數(shù)對，恒成立可知函數(shù)在時取最大值，即所以，，即又因為，所以時，故選：D8.若函數(shù)同時滿足：①定義域內(nèi)任意實數(shù)，都有；②對于定義域內(nèi)任意，，當時，恒有；則稱函數(shù)為“DM函數(shù)”.若“DM函數(shù)”滿足，則銳角的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由題設知是上的增函數(shù)且，進而將不等式轉(zhuǎn)化為，結(jié)合單調(diào)性及正切函數(shù)的性質(zhì)求銳角的范圍.【詳解】由，知：函數(shù)是上的增函數(shù)，由，即，由題設：，∴，即有，∴，即，∵為銳角﹐則，∴，則的取值范圍是.故選：A.【點睛】關鍵點點睛：根據(jù)已知條件確定的單調(diào)性，由已知函數(shù)的關系將不等式轉(zhuǎn)化，并結(jié)合函數(shù)單調(diào)性、正切函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)范圍.二、多選題：本題共4個小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知，則（）A.B.C.D.角可能是第二象限角【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)給定條件結(jié)合誘導公式、同角公式逐項分析、計算并判斷作答.【詳解】因，則是第一象限或者第四象限角，當是第四象限角時，，A不正確；，B正確；，C正確；因是第一象限或者第四象限角，則不可能是第二象限角.故選：BC10.下列函數(shù)中最小正周期為，且為偶函數(shù)的是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】直接利用奇偶性的定義和周期的公式逐個分析判斷即可【詳解】解：對于A，定義域為，因為，所以函數(shù)為偶函數(shù)，因為的圖像是由的圖像在軸下方的關于軸對稱后與軸上方的圖像共同組成，所以的最小正周期為，所以A正確，對于B，定義域為，因為，所以函數(shù)為奇函數(shù)，所以B錯誤，對于C，定義域為，，最小正周期為，因為，所以函數(shù)為偶函數(shù)，所以C正確，對于D，定義域為，最小正周期為，所以D錯誤，故選：AC11.已知是第一象限角，且，則下列關系正確的是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】由題意可知，利用特殊值可以排除AD選項，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關系判斷BC即可.【詳解】是第一象限角，且，當時，此時，所以A錯誤；易知，，所以，又因為，即，所以，即C正確；又因為，所以，因此，即，故B正確；取，則，所以D不成立.故選：BC.12.設函數(shù)，對關于的方程，下列說法正確的是（）A.當時，方程有3個實根B.當時，方程有5個不等實根C.若方程有2個不等實根，則D.若方程有6個不等實根，則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式可畫出函數(shù)圖象，再利用一元二次方程根的分布情況研究的根的個數(shù)，對選項逐一判斷即可.【詳解】由函數(shù)可知，圖象如下：對于A，當時，方程即為，即，所以而，由圖可知與有三個交點，即方程有3個不同的實根.故A正確；對于B，當時，方程為，即解得或；時，由圖可知與有三個交點，即此時方程有3個不同的實根，時，由圖可知與有兩個交點，即此時方程有2個不同的實根；綜合可知，當時，方程有5個不等實根；即B正確；對于C，令，則方程等價成；由圖可知，若方程有2個不等實根，包括以下三種情況，①方程只有一根，且則，即或由A可知，時不合題意，舍去；當時，此時，方程只有一根，不合題意；②方程只有一根，且，由①知，此時也不符合題意；③方程有兩個不相等的實數(shù)根，且或或令若，需滿足解得，不合題意；若，需滿足，解得,即若，需滿足，解得，不合題意；綜上可知，若方程有2個不等實根，則；故C錯誤；對于D，若方程有6個不等實根，則需滿足方程有兩個不相等的實數(shù)根，且；則需滿足解得即可得；故D正確.故選：ABD【點睛】關鍵點點睛：根據(jù)分段函數(shù)的函數(shù)性質(zhì)畫出分段函數(shù)的圖象，由方程根的個數(shù)并結(jié)合函數(shù)圖象從而確定根的分布情況，確定根的取值范圍，進而確定參數(shù)的取值范圍.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分．13.已知，則______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)之間的基本關系，以及“1”的妙用即可將轉(zhuǎn)化為的形式，代入即可求得結(jié)果.【詳解】由題意知，又因為，將上式分子分母同時除以得代入即可得，故答案為：14.函數(shù)，的最大值是______．【答案】##【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)的關系將函數(shù)變形為，再根據(jù)角的取值范圍和二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】因，又因為，所以，所以當時，函數(shù)取最大值，故答案為：.15.設函數(shù)的最大值為，最小值為，則=___________.【答案】2【解析】【詳解】，令，則為奇函數(shù)，所以的最大值和最小值和為0，又.有，即.答案為：2.16.對于函數(shù)，，設，，若存在，，使得，則稱，互為“零點相鄰函數(shù)”．若與互為“零點相鄰函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】首先確定函數(shù)的零點，然后結(jié)合新定義的知識得到關于的等式，分離參數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定實數(shù)的取值范圍即可.【詳解】解：函數(shù)是上的單調(diào)遞增函數(shù)，且，據(jù)此可知，結(jié)合“零點相鄰函數(shù)”的定義可得，則，據(jù)此可知函數(shù)在區(qū)間上存在零點，即方程在區(qū)間上存在實數(shù)根，整理可得，很明顯函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，，則函數(shù)的值域為，據(jù)此可知實數(shù)的取值范圍是.故答案為：四、解答題：本大題共4小題，每小題10分，共40分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知.（1）化簡；（2）若是第四象限角，且，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的誘導公式化簡，可得答案；（2）由誘導公式結(jié)合是第四象限角可求得以及，由（1）的結(jié)果可得答案.【小問1詳解】根據(jù)誘導公式可得：,所以.【小問2詳解】由誘導公式可知,則由可得,又是第四象限角,所以,所以.18.設函數(shù)的最小正周期為，且.（1）求的表達式；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)最小正周期公式算出，再根據(jù)，解方程得，進而得出的表達式（2）根據(jù)，得到，再根據(jù)余弦函數(shù)的基本性質(zhì)求出的取值范圍.小問1詳解】由最小正周期，得，∵，∴.∴.【小問2詳解】由（1）知，，∵，∵，∴，∴的取值范圍為.19.已知定義在上的奇函數(shù)，在時，且．（1）求在上的解析式；（2）若，常數(shù)，解關于的不等式．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)定義以及函數(shù)在上的解析式，結(jié)合即可寫出在上的解析式；（2）將不等式轉(zhuǎn)化成，再利用換元法以及，解出的取值范圍即可得不等式的解集.【小問1詳解】∵是上的奇函數(shù)且時，，∴當時，，又由于為奇函數(shù)，∴，∴，又，，∴，綜上所述，當時，【小問2詳解】時，，當時，，，即，所以，設，不等式變?yōu)?，∵，∴，∴．而當時，，且，又在上單調(diào)遞增，所以，所以，∴，即所以．綜上可知，不等式的解集是．20.已知函數(shù)．（1）若函數(shù)有唯一零點，求實數(shù)的取值范圍；（2）若對任意實數(shù)，對任意，恒有成立，求正實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將函數(shù)有唯一零點轉(zhuǎn)化成方程有唯一解的問題，對二次項系數(shù)進行分類討論即可；（2）由復合函數(shù)單調(diào)性可知，函數(shù)為上的減函數(shù)，將恒成立轉(zhuǎn)化成在上恒成立，討論對稱軸與區(qū)間的位置關系，求出其在區(qū)間上的最小值，使最小值大于等于0即可求得正實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】函數(shù)有唯一零點，即①有唯一零點，即有唯一零點，當時，，解得，符合題意；當時，方程為一元二次方程，其當時，，方程有兩個相等的實數(shù)根，符合題意；當時，，方程有兩個不等的實數(shù)根，；若為①解，則，解得；若為①的解，則，解得；要使①有唯一實數(shù)解，則．綜上，實數(shù)的取值范圍為．【小問2詳解】函數(shù)，其中內(nèi)部函數(shù)在上為減函數(shù)，外部函數(shù)為增函數(shù)，由復合函數(shù)性質(zhì)知為上的減函數(shù)，，，不等式轉(zhuǎn)化為，即轉(zhuǎn)化為，即令，，即．二次函數(shù)對稱軸