第六章

信號(hào)分析與處理

1電氣測(cè)量技術(shù)信號(hào)的頻域分析（2）傅里葉分析理論的基本思想：任一周期信號(hào)（函數(shù)）都可由基波及其諧波（頻率為基波整數(shù)倍）合成?；ê椭C波均為三角函數(shù)，統(tǒng)稱為傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)于非周期、但時(shí)限信號(hào)，可以持續(xù)時(shí)間為周期進(jìn)行周期性延拓，變成周期信號(hào)后再求傅里葉級(jí)數(shù)時(shí)限信號(hào)：信號(hào)持續(xù)時(shí)間有限傅里葉級(jí)數(shù)存在的條件（狄里赫利條件）在任一周期內(nèi)，信號(hào)絕對(duì)可積在任一周期內(nèi)，信號(hào)只有有限個(gè)極值（極大值或極小值）任一周期內(nèi)，信號(hào)只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)工程中的絕大多數(shù)周期信號(hào)都滿足狄里赫利條件小波分析是傅里葉分析理論的補(bǔ)充、發(fā)展2

6.1傅里葉級(jí)數(shù)

3第六章：信號(hào)分析與處理

傅里葉級(jí)數(shù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（1）設(shè)y(t)為周期信號(hào)，滿足狄里赫利條件傅里葉級(jí)數(shù)的實(shí)數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)稱為頻譜系數(shù)，分為幅頻譜和相頻譜4傅里葉級(jí)數(shù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（2）歐拉公式：傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式周期信號(hào)的譜線只在基頻和諧波的離散頻點(diǎn)有輸出各譜線間隔為：5傅里葉變換對(duì)于非周期的時(shí)限信號(hào)，或非時(shí)限但衰減速度很快的時(shí)域信號(hào)，可用傅里葉變換分析可看做周期趨于無(wú)窮大的周期信號(hào)滿足狄里赫利條件可以理解為周期趨于無(wú)窮大時(shí)傅里葉級(jí)數(shù)的極限傅里葉變換及其逆變換離散頻譜變?yōu)檫B續(xù)頻譜。譜線間隔趨于0傅里葉級(jí)數(shù)物理含義：頻域軸上的離散函數(shù)，代表諧波幅值傅里葉變化物理含義：頻域軸上的連續(xù)函數(shù)，表示頻譜密度6離散傅里葉變換（1）離散傅里葉變換（DFT）：傅里葉變換經(jīng)過(guò)有限化、離散化處理，導(dǎo)出的適用計(jì)算機(jī)系統(tǒng)的系統(tǒng)頻譜分析公式適應(yīng)數(shù)字設(shè)備傅里葉變換和逆變換：時(shí)域上進(jìn)行離散化：時(shí)域上的采樣長(zhǎng)度頻域上的離散化：頻域上的最高頻率：其他的變化：7離散傅里葉變換（2）離散傅里葉及其逆變換為：8

6.2頻譜混疊與采樣定理

9第六章：信號(hào)分析與處理

采樣定理（1）問題1：信號(hào)離散化后，頻域有何變化？問題2：由離散序列能否真實(shí)地恢復(fù)原信號(hào)？信號(hào)離散化的時(shí)域表示：連續(xù)信號(hào)x(t)與梳狀δ函數(shù)相乘δ函數(shù)的傅里葉變換仍為δ函數(shù)δ函數(shù)的時(shí)域間隔為Tsδ函數(shù)的頻域間隔為Fs=1/Tsδ函數(shù)的函數(shù)面積由1變?yōu)?/Ts信號(hào)離散化的頻域表示：連續(xù)信號(hào)傅里葉變換X(f)與梳狀δ函數(shù)傅里葉變換的卷積連續(xù)信號(hào)采樣（離散化）后，頻譜為原信號(hào)的周期延拓，周期為Fs=1/Ts10采樣定理（2）11圖6-1采樣定理（3）頻譜混疊：當(dāng)采樣頻率fs<2倍的信號(hào)最高頻率fmax時(shí)，頻域會(huì)產(chǎn)生重疊，高頻部分混入低頻由采樣信號(hào)無(wú)法恢復(fù)原連續(xù)信號(hào)香農(nóng)采樣定理：當(dāng)采樣頻率fs>=2倍的信號(hào)最高頻率fmax時(shí)，頻譜不會(huì)發(fā)生混疊，由采樣信號(hào)可以完全恢復(fù)原連續(xù)信號(hào)如何恢復(fù)？12圖6-2避免混疊的措施如果信號(hào)最高頻率fmax有限，則選擇采樣頻率fs>=2fmax如果信號(hào)頻帶無(wú)限，則必須采用低通濾波器，強(qiáng)制限定最高頻率fmax為有限，再選擇采樣頻率fs>=2fmax奈奎斯特頻率：采樣頻率的1/213

6.3頻譜泄露及其抑制措施

14第六章：信號(hào)分析與處理

時(shí)域有限化被分析信號(hào)往往是非時(shí)限的但對(duì)信號(hào)進(jìn)行DFT計(jì)算時(shí)，所有信號(hào)都是有限長(zhǎng)的截短：將非時(shí)限（無(wú)限長(zhǎng)）序列限定為有限的N點(diǎn)加“矩形窗”如：對(duì)一非時(shí)限的余弦信號(hào)，乘以矩形窗w(t)15圖6-3，上半部分頻譜泄露利用歐拉公式：則頻域：經(jīng)矩形窗截短后的余弦信號(hào)，頻譜為窗函數(shù)頻譜沿頻域軸搬移±ω0頻譜泄露：連續(xù)信號(hào)經(jīng)截短后，原在頻域集中的能量分散到全部頻率軸上的現(xiàn)象。16圖6-3，下半部分頻譜泄露的危害及抑制措施頻譜泄露帶來(lái)的問題使頻譜曲線產(chǎn)生很多“皺紋”，頻率分量增加如信號(hào)含幅值一大一小、頻率接近的兩余弦信號(hào)，當(dāng)小幅值余弦信號(hào)的主瓣落入大幅值余弦的負(fù)旁瓣，將被吞沒，產(chǎn)生誤差頻譜泄露的抑制誤差合理選擇窗函數(shù)：選擇旁瓣衰減較大的窗函數(shù)泄露的產(chǎn)生，主要由于矩形窗頻譜中除主瓣外，還有很多旁瓣合理選擇截取長(zhǎng)度：對(duì)于周期信號(hào)，采樣長(zhǎng)度T選為信號(hào)周期的整數(shù)倍，則DFT得到的頻譜無(wú)泄露矩形窗的頻譜為：對(duì)信號(hào)DFT的結(jié)果就是對(duì)X(f)在頻域上抽樣抽樣頻率fs=1/τ則除了主瓣外，其他頻域抽樣點(diǎn)的幅值均=017圖6-3，最后一個(gè)圖加點(diǎn)表示頻率抽樣過(guò)零點(diǎn)例題設(shè)信號(hào)x(t)=sin(2πft)，f=100Hz。若選定采樣點(diǎn)數(shù)N=256，采樣間隔Ts=78.125us則：矩形窗的時(shí)間長(zhǎng)度：τ=NTs=20ms矩形窗頻譜的半帶寬：B/2=1/τ=50Hz信號(hào)頻譜的譜線間隔（頻域分辨率）：△f=1/τ=50Hz可輸出譜線：0，50,100,150……，12750Hz，共256條過(guò)零譜線：0，50,150，200……，12750Hz，共254條實(shí)際輸出譜線：100Hz，？？18圖6-4

6.4柵欄效應(yīng)

19第六章：信號(hào)分析與處理

信號(hào)數(shù)字化處理的一般過(guò)程對(duì)于非周期連續(xù)信號(hào)，其頻域也是非周期連續(xù)信號(hào)時(shí)域采樣后（非周期離散信號(hào)），頻域周期性延拓（周期性的連續(xù)信號(hào)）DFT運(yùn)算時(shí)，取有限窗口，再假設(shè)時(shí)域周期性延拓（周期性離散信號(hào)），對(duì)應(yīng)頻域離散化（周期性離散信號(hào)）20圖示說(shuō)明柵欄效應(yīng)及抑制措施柵欄效應(yīng)：與時(shí)域抽樣相似，頻域也存在抽樣，好像通過(guò)柵欄觀察另一邊景象恢復(fù)原有信號(hào)的條件是什么？抑制柵欄效應(yīng)的措施：增大窗口長(zhǎng)度或序列末端補(bǔ)零，減小頻率間隔，增加譜線密度21

6.4DFT參數(shù)的選擇

22第六章：信號(hào)分析與處理

參數(shù)的選擇根據(jù)采樣定理選擇采樣周期Ts香農(nóng)定理：fs=1/Ts>=2fmax根據(jù)需要，確定頻域分辨率△f確定采樣點(diǎn)數(shù)（時(shí)間長(zhǎng)度）23例題信號(hào)由三個(gè)正弦組成，f1=2Hz，f2=2.02Hz，f3=2.08Hz用DFT分析相關(guān)信號(hào)，請(qǐng)確定相關(guān)參數(shù)24需要確定的參數(shù)：采樣頻率，采樣點(diǎn)數(shù)根據(jù)香農(nóng)定理確定采樣頻率：頻率分辨率須滿足：△f<=2.02-2=0.02Hz采樣時(shí)間長(zhǎng)度最小為：T>=1/△f=50s采樣點(diǎn)數(shù)：N=T*fs=500（點(diǎn)）為了應(yīng)用FFT，選N=512存在問題嗎？？有無(wú)頻率泄露？如何解決？快速傅里葉變換（FFT）直接計(jì)算DFT，計(jì)算量非常大計(jì)算量與數(shù)據(jù)長(zhǎng)度的平方成正比復(fù)數(shù)乘法次數(shù)：N*N復(fù)數(shù)加法次數(shù)：N*