第17講導數(shù)在函數(shù)中的應用——極值與最值1．(2016·四川卷·文)已知a為函數(shù)f(x)＝x3－12x的極小值點，則＝(D)aA．－4B．－2C．4D．2由題意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0得x＝±2，所以當x＜－2或x＞2時，f′(x)＞0；當－2＜x＜2時，f′(x)＜0，所以所以

f(x)在(－∞，－2)上為增函數(shù)，在(－2,2)f(x)在x＝2處獲得極小值，所以a＝2.

上為減函數(shù)，在(2，＋∞)上為增函數(shù)．x2．函數(shù)

f(x)＝

x在[0,1]

上的最大值為

(B)e1A．0B.e2C．eD.e由于

f′(x)＝

ex－xexx2＝

1－xex≥0在[0,1]

上恒建立，所以

f(x)在[0,1]

上為增函數(shù)，1所以當x＝1時，f(x)有最大值e.3.(2018·廣州一模)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處的極值為10，則數(shù)對(a，b)為(C)A．(－3，3)B

．(－11，4)C．(4，－11)D

．(－3，3)或(4，－11)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由條件

f′（1）＝0，即f（1）＝10，

3＋2a＋b＝0，a＋b＋a2＝9，解之得

a＝－3，b＝3，

或

a＝4，b＝－11.查驗a＝－3，b＝3時，′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，a＝4，此時f(x)在(－∞，＋∞)上單一遞加，無極值．故b＝－11.4．(2017·安徽二模)設函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若x＝－1為函數(shù)f(x)ex的一個極值點，則以下圖象不行能為．．．

y＝f(x)的圖象的是

(D)令g(x)＝f(x)ex，則g′(x)＝f′(x)ex＋f(x)ex，由于x＝－1為函數(shù)g(x)的一個極值點，所以g′(－1)＝f′(－1)e－1＋f(－1)e－1＝0，所以f′(－1)＝－f(－1)，D選項中，f(－1)>0，所以f′(－1)＝－f(－1)<0，這與圖象不符，應選D.5．已知函數(shù)f(x)＝x3－12x＋8在區(qū)間[－3,3]上的最大值與最小值分別為、，則MmM－m＝32.由f′(x)＝3x2－12＝0，得x＝±2，又f(3)＝－1，f(－3)＝17，f(2)＝－8，f(－2)＝24，所以M＝24，m＝－8，故M－m＝32.6．若函數(shù)f(x)＝x3＋32＋3(＋2)x＋1有極值，則a的取值范圍是(－∞，－1)∪axa(2，＋∞).由于y′＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，由于y＝(x)有極值，所以方程32＋6＋3(a＋2)＝0有兩個不等的實根，所以>0，fxax即36a2－36(a＋2)>0，即a2－a－2>0，解得a>2或a<－1.7．(2017·北京卷)已知函數(shù)f(x)＝excosx－x.求曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程；π(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，2]上的最大值和最小值．所以

x(1)由于f(x)＝ecosx－x，xf′(x)＝e(cosx－sinx)－1，f′(0)

＝0.又由于

f(0)

＝1，所以曲線

y＝f(x)在點(0，f(0))

處的切線方程為

y＝1.(2)設h(x)＝ex(cosx－sinx)－1，則′( )＝ex(cos－sin－sinx－cosx)＝－2exsinx.hxxx當x∈(0，π)時，′( )＜0，2hxπ所以h(x)在區(qū)間[0，2]上單一遞減．所以對隨意x∈(0，π]有()＜(0)＝0，即f′( )＜0.2hxhx所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，π]上單一遞減．2πππ所以f(x)在區(qū)間[0，2]上的最大值為f(0)＝1，最小值為f(2)＝－2.8．(2017·廣州五校協(xié)作體一診)已知函數(shù)f(x)＝x(lnx－ax)有極值，則實數(shù)a的取值范圍是(A)11A．(－∞，2)B．(0，2)11C．(－∞，2]D．(0，2]f(x)＝x(lnx－ax)＝xlnx－ax2(x>0)，′( )＝lnx＋1－2ax.令(x)＝lnx＋1－2，fxgax由于f()＝(lnx－ax)有極值，則()＝0在(0，＋∞)有實根，1a＝′( )＝－2xxgxgxx1－2ax，x當a≤0時，g′(x)>0，函數(shù)g(x)在(0，＋∞)內(nèi)單一遞加，當x→0時，g(x)→－∞，當x→＋∞時，g(x)→＋∞，故存在x0∈(0，＋∞)，使得f(x)在(0，x0)內(nèi)單一遞減，在(x0，＋∞)內(nèi)單一遞加，故f(x)存極小值f(x0)，切合題意．1當a>0時，令g′(x)＝0，得x＝2a.1當0<x<2a時，g′(x)>0，函數(shù)g(x)單一遞加，當x>1時，g′(x)<0，函數(shù)g(x)單一遞減，2a1所以x＝2a時，g(x)獲得極大值，由于當x→0和x→＋∞時，均有g(x)→－∞，要使g(x)在(0，＋∞)有實根，且f(x)有極值，111則g(2a)＝ln2a>0，解得0<a<2.1綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是(－∞，2)．9．(2018·江蘇卷)若函數(shù)f(x)＝23－ax2＋1(∈R)在(0，＋∞)內(nèi)有且只有一個零點，xa則f(x)在[－1，1]上的最大值與最小值的和為__－3__．′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)(x>0)．①當a≤0時，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上遞加，又f(0)＝1，所以f(x)在(0，＋∞)上無零點．a(chǎn)②當a>0時，由f′(x)>0解得x>，3a由f′(x)<0解得0<x<3，aa所以f(x)在(0，3)上遞減，在(3，＋∞)上遞加．a(chǎn)3又f(x)只有一個零點，所以f(3)＝－27＋1＝0，所以a＝3.此時f(x)＝2x3－3x2＋1，f′(x)＝6x(x－1)，當x∈[－1，1]時，f(x)在[－1，0]上遞加，在[0，1]上遞減．又f(1)＝0，f(－1)＝－4，所以f(x)max＋f(x)min＝f(0)＋f(－1)＝1－4＝－3.10．設函數(shù)f(x)＝(2－a)x－2ln(1＋x)，此中0<a<2，求函數(shù)f(x)在[0,3]上的最小值．由于′( )＝2－－2－ax－a＝1＋x(>－1)．fxa1＋xxa由于0<a<2，所以2－a>0，令f′(x)＝0，得x＝2－a.a3aa當0<2－a<3，即0<a<2時，f(x)在[0，2－a)上為減函數(shù)，在(2－a，3]上為增函數(shù)，a2所以f(x)min