.z中學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合論摘要：中學(xué)數(shù)學(xué)研究的對象可分為兩大局部，一局部是數(shù)，一局部是形，但數(shù)與形有聯(lián)系，這個聯(lián)系常稱之為數(shù)形結(jié)合，或形數(shù)結(jié)合．因此，中學(xué)數(shù)學(xué)的根本知識也可以相應(yīng)地分做三大類，一類是關(guān)于純粹數(shù)的知識，一類是關(guān)于純粹形的知識，一類是關(guān)于數(shù)形結(jié)合的知識．實數(shù)、代數(shù)式、方程(組)、不等式(組)、函數(shù)等是關(guān)于數(shù)的知識，平面幾何和立體幾何是關(guān)于形的知識，數(shù)形結(jié)合的知識是哪些呢.我們認為，數(shù)形結(jié)合，主要指的是數(shù)與形之間的一一對應(yīng)關(guān)系．例如，表示實數(shù)與直線上的點之間所具有的一一對應(yīng)關(guān)系的數(shù)軸、表示有序?qū)崝?shù)與平面上的點之間所具有的一一對應(yīng)關(guān)系的平面坐標系、表示復(fù)數(shù)與平面上的點之間或復(fù)數(shù)與平面上以*定點為始點的向量之間所具有的一一對應(yīng)關(guān)系的復(fù)平面．建立在這些對應(yīng)關(guān)系上的數(shù)學(xué)知識有函數(shù)的圖象以及曲線與方程作為研究對象的解析幾何等．有一些關(guān)于數(shù)的知識，其自身就是借助于形來表述的，也可以算做數(shù)形的結(jié)合，如銳角三角函數(shù)是借助于直角三角形來定義的，任意角的三角函數(shù)是借助于直角坐標系或單位圓來定義的．以上所述是把數(shù)形結(jié)合作為一類數(shù)學(xué)根本知識來考慮的，但是，數(shù)形結(jié)合也可看作是一種數(shù)學(xué)思想方法．事實上，數(shù)學(xué)方法總是一定數(shù)學(xué)知識的內(nèi)容的反映．關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合、線段圖、幾何圖形正文：數(shù)學(xué)知識的教學(xué)有兩條線：一條是明線，即數(shù)學(xué)知識；一條是暗線，即數(shù)學(xué)思想方法。九義初中?數(shù)學(xué)教學(xué)大綱?把數(shù)學(xué)的精華——數(shù)學(xué)思想方法納入了根底知識的*疇，這是加強數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的一項創(chuàng)舉。數(shù)學(xué)思想方法既是數(shù)學(xué)的根底知識，是知識的精華，又是將知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，用好了就是能力。因此我們數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中要注重數(shù)學(xué)思想方法的滲透、概括和總結(jié)，要重視數(shù)學(xué)思想方法在解題中的指導(dǎo)作用。數(shù)學(xué)家華羅庚說得好:“數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬事休,幾何代數(shù)統(tǒng)一體,永遠聯(lián)系莫別離〞.數(shù)與形是中學(xué)數(shù)學(xué)研究的兩類根本對象，相互獨立，又互相滲透。尤其在坐標系建立以后數(shù)與形的結(jié)合更加嚴密，而且在實際應(yīng)用中假設(shè)就數(shù)而論，缺乏直觀性，假設(shè)就形論缺乏嚴密性，當二者結(jié)合往往可優(yōu)勢互補，收到事半功倍的效果。數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)思想的一個重要組成局部。在中小學(xué)階段，它主要表現(xiàn)在把抽象的數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)化為適當?shù)膸缀螆D形，從圖中的直觀特征發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間存在的聯(lián)系，以到達化難為易、化繁為簡、化隱為顯的目的，使問題簡潔明了。通常是將數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段圖，這是根本的、自然的手段。然而，這并不是唯一的手段。實際上，在不同的問題中，可將數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為不同的圖形。只要遵守一個原則：能把數(shù)量關(guān)系最清晰、最直接地顯示出來的圖形，是我們最正確的選擇。對于線段圖不能清晰地顯示其數(shù)量關(guān)系的*些題，則可以通過對線段圖的分析、改造、設(shè)計、構(gòu)造出能清晰顯示其數(shù)量關(guān)系的幾何圖形。本文通過具體的例子提醒了分析、改造的后的線段圖。例1一色糖果平均分給三個小朋友，如果每人吃掉4塊，則三人剩下的糖塊數(shù)之和恰好是原糖果數(shù)的1/3，原糖果有多少塊.分析與解：如用線段圖表示數(shù)量關(guān)系，則如下列圖〔一〕所示，其中帶斜線的線段表示每人吃掉的糖塊數(shù)，由于給出的是三人剩下的糖塊數(shù)之和，與原糖果數(shù)的關(guān)系，在以上線段圖中，三人剩下的糖塊數(shù)是三條未帶斜線且各自別離的線段，較難發(fā)現(xiàn)三條帶斜線的線段長的和與整條線段長之間的數(shù)量關(guān)系，因此這不是最正確的選擇圖形。我們希望選擇的圖形能夠一目了然地看出“三人剩下的糖塊數(shù)之和恰好是糖果數(shù)的1/3”，就是說，能把“剩下的糖果數(shù)吃了4塊剩下的糖果數(shù)吃了4塊剩下的糖果數(shù)吃了4塊總糖果數(shù)是多少.圖〔一〕總糖果數(shù)是多少.圖〔二〕答：原有糖果18塊。本文就初中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何滲透與應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法談?wù)剛€人的體會一、有理數(shù)內(nèi)容表達的數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)軸的引入是有理數(shù)內(nèi)容表達數(shù)形結(jié)合思想的力量源泉。由于對每一個有理數(shù)，數(shù)軸上都有唯一確定的點與它對應(yīng)，因此，兩個有理數(shù)大小的比擬，是通過這兩個有理數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置關(guān)系進展的〔實數(shù)的大小比擬也是如此〕。相反數(shù)、絕對值概念則是通過相應(yīng)的數(shù)軸上的點與原點的位置關(guān)系來刻劃的。盡管我們學(xué)習(xí)的是數(shù)很多，但要時刻牢記它的形〔數(shù)軸上的點〕，通過滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，幫助學(xué)生正確理解有理數(shù)的性質(zhì)及其運算法則。例1如右圖，填空1a+b＞a+c2a-b＞a-c3a＞b-cab0c4b＞a-c5c＞a+b二、應(yīng)用題內(nèi)容隱含的數(shù)形結(jié)合思想列方程解應(yīng)用題的難點是如何根據(jù)題意尋找等量關(guān)系布列方程，要突破這一難點，往往就要根據(jù)題意畫出相應(yīng)的示意圖。這里隱含著數(shù)形結(jié)合的思想方法。例如解應(yīng)用題的幾種常見問題：行程問題、追擊問題、勞動力調(diào)配問題、工程問題、濃度問題等。在教學(xué)中,教師必須滲透著數(shù)形結(jié)合的思想方法，依據(jù)題意畫出相應(yīng)的示意圖，才能幫助學(xué)生迅速找出等量關(guān)系列出方程，從而突破難點。例2．一小船由A港到B港順流需行6小時，由B港到A港逆流需行8小時。一天，小船從早晨6點由A港出發(fā)順流行到B港時，發(fā)現(xiàn)一救生圈在途中掉落在水中，立刻返回，一小時后找到救生圈。問：〔1〕假設(shè)小船按水流速度由A港漂流到B港需要多少小時.〔2〕救生圈是在何時掉入水中的。分析〔1〕答：小船按水流速度由A港漂流到B港需用48小時。〔2〕如圖〔三〕，設(shè)救生圈是在上午*點鐘落入水中C點的。當小船由C點順流行駛到B港時，救生圈由C點順流漂到D點；當小船由B港用1小時逆流行駛到E點找到救圈時，救生圈同時用1小時由D點順流漂到了E點。于是

CB=×〔12-*〕,CD=×(12-*),BE=×1,DE=×1

∵DB=BD

∴CB-CD=DE+BE

從而得到方程×〔12-*〕-×(12-*)=×1+×1.

解方程，得*=11.

∴救生圈是在上午11點鐘掉入水中〔C點〕的。

例4〔2006·**〕馬戲團讓獅子和公雞表演蹺蹺板節(jié)目．蹺蹺板支柱AB的高度為1.2米．

〔1〕假設(shè)吊環(huán)高度為2米，支點A為蹺蹺板PQ的中點，獅子能否將公雞送到吊環(huán)上.為什么.

〔2〕假設(shè)吊環(huán)高度為3.6米，在不改變其它條件的前提下移動支柱，當支點A移到蹺蹺板PQ的什么位置時，獅子剛好將公雞送到吊環(huán)上.

【分析】〔1〕獅子的質(zhì)量顯然遠遠大于公雞的質(zhì)量，所以獅子能把蹺蹺板的P端壓到底，這時構(gòu)成如圖〔1〕的直角三角形，其中AB∥QH，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得QH的高度，假設(shè)此高度大于吊環(huán)的高度，則能將公雞送到吊環(huán)上；假設(shè)此高度小于吊環(huán)的高度，則就不能將公雞送到吊環(huán)上；〔2〕利用相似三角形的性質(zhì)進展求解.

解:獅子能將公雞送到吊環(huán)上．

如圖〔1〕，當獅子將蹺蹺板P端按到底時可得到Rt△PHQ，AB⊥PH，QH⊥PH，

∴△PAB∽△PQH.

∴.

即，解之得

QH＝2.4米＞2米.

所以獅子能將公雞送到吊環(huán)上.

〔2〕同〔1〕有△PAB∽△PQH，所以有，因此，

得.

所以當支點A移動到蹺蹺板PQ的處〔靠近點P〕時，獅子剛好能將公雞送到吊環(huán)上.三不等式內(nèi)容蘊藏著數(shù)形結(jié)合思想例3、關(guān)于*的方程2k*2－2*－3k－2=0的兩實根一個小于1，另一個大于1，**數(shù)k的取值*圍。分析：假設(shè)直接利用求根公式解答此題，則要解復(fù)雜的無理不等式組。如果從函數(shù)觀點出發(fā)，令f(*)=2k*2－2*－3k－2則由根的分布，函數(shù)f(*)的圖象只能如下圖。對應(yīng)的條件是或解：由以上分析可知，令f(*)=2k*2－2*－3k－2,為使方程f(*)=0的兩個根一個小于1，另一個大于1，只需使或解得k＞0或k＜－4小結(jié)：此題是一個利用函數(shù)圖象解決方程根的分布問題的的典型例題，一般地，關(guān)于根的分布問題，均可引入函數(shù)，由函數(shù)圖象的特征構(gòu)造解法，使問題得以巧妙解決。綜上所述利用數(shù)形結(jié)合解不等式,不僅開闊了視野,提高解體的準確率,而且還激發(fā)學(xué)生探求知識的欲望,在平時教學(xué)中取得良好效果。四函數(shù)及其圖象內(nèi)容凸顯了數(shù)形結(jié)合思想4.1利用數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的值域?qū)τ谝恍┙o了的定義域求值域的函數(shù)，假設(shè)只采用代數(shù)的方法思考問題，往往會太過于抽象或無從下手。但如果根據(jù)函數(shù)的定義，引入圖象，使所求的問題具體化，可從圖中一目了然，則到達事半功倍的效果。例1．求函數(shù)y=|*+3|－|*+1|的值域。分析：就自變量*的*圍討論去掉絕對值，將函數(shù)表示為分段函數(shù)，畫出分段函數(shù)的圖象，由圖象即可得y的*圍函數(shù)的圖象如圖，由圖象即可得y∈［－2，2］。小結(jié)：數(shù)形結(jié)合能將抽象的問題直觀化、形象化，能使問題靈活直觀地獲解，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中要注意把握善于運用這種數(shù)學(xué)思想。4.2利用數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例1、設(shè)函數(shù)f(*)=*2－2|*|－1(－3≤*≤3).指出函數(shù)f(*)的單調(diào)區(qū)間并說明在各個區(qū)間上f(*)是增函數(shù)還是減函數(shù)。解：當*≥0時，f(*)=*2－2*－1=(*－1)2－2當*＜0時，f(*)=*2+2*－1=(*+1)2－2即根據(jù)二次函數(shù)的作圖方法，可得函數(shù)圖象，如圖函數(shù)f(*)單調(diào)區(qū)間為［－3，－1〕，［－1，0〕，［0，1〕，［1，3］。由圖形可看出函數(shù)在區(qū)間［－3，－1〕，［0，1〕上為減函數(shù)，在區(qū)間［－1，0〕，［1，3］上為增函數(shù)。小結(jié)：用數(shù)形結(jié)合的方法，先畫出函數(shù)的圖象，由圖象可直觀得解。由于在直角坐標系中，有序?qū)崝?shù)對(*,y)與點P的一一對應(yīng)，使函數(shù)與其圖象的數(shù)形結(jié)合成為必然。一個函數(shù)可以用圖形來表示，而借助這個圖形又可以直觀地分析出函數(shù)的一些性質(zhì)和特點，這為數(shù)學(xué)的研究與應(yīng)用提供了很大的幫助。因此，函數(shù)及其圖象內(nèi)容凸顯了數(shù)形結(jié)合的思想方法。教學(xué)時教師假設(shè)注重了數(shù)形結(jié)合思想方法的滲透，將會收到事半功倍的效果。相關(guān)內(nèi)容的中考試題，側(cè)重了對數(shù)形結(jié)合思想方法的考察。“數(shù)以形而直觀，形以數(shù)而入微〞我國數(shù)學(xué)家華羅庚對數(shù)學(xué)結(jié)合思想的精辟論述。數(shù)形結(jié)合的