第六章計(jì)數(shù)原理

6.3.1二項(xiàng)式定理

學(xué)科：數(shù)學(xué)?人教A版（2019）年級(jí)：高二下學(xué)期第六章

計(jì)數(shù)原理學(xué)習(xí)

目標(biāo)1.能用多項(xiàng)式運(yùn)算法則和計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)出二項(xiàng)式定理；2.掌握二項(xiàng)式定理及其展開(kāi)式的通項(xiàng)公式；3.會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題；4.通過(guò)對(duì)二項(xiàng)式定理的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。第六章

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第三冊(cè)

【二項(xiàng)式定理的起源】艾薩克-牛頓（1643-1727，英國(guó)）被譽(yù)為人類歷史上最偉大的科學(xué)家之一,不僅是偉大的物理學(xué)家、天文學(xué)家,而且還是偉大的數(shù)學(xué)家。1664年，年僅22歲的牛頓，在數(shù)學(xué)方面就有了第一項(xiàng)創(chuàng)造性成果，就是發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)式定理，又稱牛頓二項(xiàng)式定理。第六章

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第三冊(cè)【二項(xiàng)式定理的起源】1665年，他發(fā)現(xiàn)了廣義二項(xiàng)式定理，并開(kāi)始發(fā)展一套新的數(shù)學(xué)理論，也就是后來(lái)為世人所熟知的微積分學(xué)。在1665年，牛頓獲得了學(xué)位，而大學(xué)為了預(yù)防倫敦大瘟疫而關(guān)閉了。在此后兩年里，牛頓在家中繼續(xù)研究微積分學(xué)、光學(xué)和萬(wàn)有引力定律。牛頓的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)，最突出的有三項(xiàng)，即做為特殊形式的微積分的“流數(shù)術(shù)”，二項(xiàng)式定理及“廣義的算術(shù)”（代數(shù)學(xué)）。第六章

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第三冊(cè)

【二項(xiàng)式定理的起源】

楊輝三角，是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，中國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書(shū)中出現(xiàn)。在歐洲，帕斯卡（1623----1662）在1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，所以這個(gè)表又叫做帕斯卡三角形。帕斯卡的發(fā)現(xiàn)比楊輝要遲393年，比賈憲遲600年。第六章

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第三冊(cè)第六章

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第三冊(cè)新知探究探究一：二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)過(guò)程第六章

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第三冊(cè)【創(chuàng)設(shè)情景】1664年冬，偉大的科學(xué)家牛頓在研讀英國(guó)數(shù)學(xué)家沃利斯的《無(wú)窮算術(shù)》中的發(fā)現(xiàn)了

展開(kāi)式的規(guī)律，即二項(xiàng)式定理,讓我們穿越時(shí)間的長(zhǎng)河，回到過(guò)去，用我們剛剛學(xué)習(xí)過(guò)的計(jì)數(shù)原理來(lái)體驗(yàn)二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)過(guò)程。

第六章

計(jì)數(shù)原理6.3.1二項(xiàng)式定理(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2

＝C20

a2+C21

ab+C22

b2(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3=C30a3+C31a2b+C32ab2+C33

b3C40

a4

＋C41

a3b

＋C42

a2b2＋C43

ab3＋C44

b4

(a+b)4＝

猜想：121C2

1C2

0C2

21313C3

0C3

1C3

2C3

341146C4

0C4

1C4

2C4

3C4

4第六章

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第三冊(cè)(a

+b)

n=(a+b)n的展開(kāi)式：猜想：第六章

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第三冊(cè)(a+b)2=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a2+2ab+b2思考1.這些多項(xiàng)式是怎么相乘的？第六章

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第三冊(cè)(a+b)2=(a+b)(a+b)=a×a+a×b+b×a+b×b思考2.合并同類項(xiàng)之前，有幾項(xiàng)？

如何從分步乘法計(jì)數(shù)原理分析？第六章

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第三冊(cè)(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2

思考3.合并同類項(xiàng)之后，有幾項(xiàng)？

各項(xiàng)的次數(shù)有什么特點(diǎn)？

你能否寫(xiě)出這些項(xiàng)的通項(xiàng)？

是按照哪一個(gè)字母的升冪排序？請(qǐng)從組合數(shù)的角度對(duì)展開(kāi)式的系數(shù)進(jìn)行分析。＝C20

a2+C21

ab+C22

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第三冊(cè)(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2

＝C20

a2+C21

ab+C22

b2思考4.針對(duì)上述問(wèn)題，你能否構(gòu)建一個(gè)

數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析？第六章

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第三冊(cè)思考?仿照上述過(guò)程,你能利用計(jì)數(shù)原理,分析(a＋b)3,(a＋b)4的展開(kāi)式

嗎?①項(xiàng)a3-kbk:(k=0,1,2,3)

③

展開(kāi)式：(1)3個(gè)括號(hào)中都不取b(全都取a)得：C30a3;

(2)3個(gè)括號(hào)中有1個(gè)取b，剩下的2個(gè)都取a得:C31a2b;(4)3個(gè)括號(hào)中全都取b得:C33b3.(3)3個(gè)括號(hào)中有2個(gè)都取b，剩下的1個(gè)取a得:C32ab2;第六章

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第三冊(cè)a4a3ba2b2ab3b4都不取b取一個(gè)b

取兩個(gè)b取三個(gè)b取四個(gè)b項(xiàng)：系數(shù)：(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)4=C40a4+C41a3b+C42a2b2+C43ab3+C44b4展開(kāi)式：第六章

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第三冊(cè)

系數(shù)

......

......

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第三冊(cè)二項(xiàng)式定理：

式中的an-kbk叫做二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，用Tk+1表示，即通項(xiàng)為展開(kāi)式的第k+1項(xiàng)：Tk+1=Cnkan-kbk.第六章

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第三冊(cè)二項(xiàng)式定理：在二項(xiàng)式定理中，若設(shè)a=1,b=x，則得到公式：第六章

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第三冊(cè)1.系數(shù)規(guī)律：2.指數(shù)規(guī)律：(1)各項(xiàng)的次數(shù)均為n；(2)各項(xiàng)里a的指數(shù)由n降到0，b的指數(shù)由0升到n.3.項(xiàng)數(shù)規(guī)律：兩項(xiàng)和的n次冪的展開(kāi)式共有n+1個(gè)項(xiàng).4.通項(xiàng)公式:

二項(xiàng)展開(kāi)式中的指數(shù)、項(xiàng)數(shù)、系數(shù)的變化，是二項(xiàng)式定理的核心，它在求展開(kāi)式的某些特定項(xiàng)、特定項(xiàng)系數(shù)、以及數(shù)、式的整除方面有廣泛應(yīng)用.定理的特征：二項(xiàng)式定理：第六章

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第三冊(cè)簡(jiǎn)單應(yīng)用探究二：二項(xiàng)式定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用第六章

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第三冊(cè)例1

求

的展開(kāi)式.解：根據(jù)二項(xiàng)式定理，可得第六章

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第三冊(cè)例2解：(1)由通項(xiàng)公式，可得第六章

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第三冊(cè)例2(2)由通項(xiàng)公式，可得第六章

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第三冊(cè)課堂練習(xí)第六章

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第三冊(cè)課堂練習(xí):解：

解：由通項(xiàng)公式，可得第六章

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第三冊(cè)解：由通項(xiàng)公式，可得第六章

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第三冊(cè)

解：由通項(xiàng)公式，可得:

含x4的項(xiàng)是由5個(gè)括號(hào)中任意4個(gè)括號(hào)各取出1個(gè)x，剩余1個(gè)括號(hào)取出常數(shù)相乘得到的，故含x4的項(xiàng)的系數(shù)是解：第六章

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第三冊(cè)A．50B．20C．15D．－20思考：第六章

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第三冊(cè)(1)二項(xiàng)式定理(3)區(qū)別二項(xiàng)式系數(shù)，項(xiàng)的系數(shù)歸納小結(jié):(2)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng):即通項(xiàng)為展開(kāi)式的第k+1項(xiàng):(4)特殊地：令x=1得Tk+1=Cnkan-kbk.