高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)二、高考考點(diǎn)1、導(dǎo)數(shù)定義的認(rèn)知與應(yīng)用；2、求導(dǎo)公式與運(yùn)算法那么的運(yùn)用；3、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；4、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性上的應(yīng)用；5、導(dǎo)數(shù)在追求函數(shù)的極值或最值的應(yīng)用；6、導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)質(zhì)問(wèn)題中的應(yīng)用。三、知識(shí)重點(diǎn)〔一〕導(dǎo)數(shù)1、導(dǎo)數(shù)的看法〔1〕導(dǎo)數(shù)的定義〔Ⅰ〕設(shè)函數(shù)在點(diǎn)及其周邊有定義，當(dāng)自變量x在處有增量△x〔△x可正可負(fù)〕，那么函數(shù)y相應(yīng)地有增量，這兩個(gè)增量的比，叫做函數(shù)在點(diǎn)到這間的均勻變化率。假如時(shí)，有極限，那么說(shuō)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，并把這個(gè)極限叫做在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)〔或變化率〕，記作，即?！并颉臣偃绾瘮?shù)在開(kāi)區(qū)間〔〕內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，那么說(shuō)在開(kāi)區(qū)間〔〕內(nèi)可導(dǎo)，此時(shí)，關(guān)于開(kāi)區(qū)間〔〕內(nèi)每一個(gè)確立的值，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確立的導(dǎo)數(shù)，這樣在開(kāi)區(qū)間〔〕內(nèi)構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，我們把這個(gè)新函數(shù)叫做在開(kāi)區(qū)間〔〕內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)〔簡(jiǎn)稱(chēng)導(dǎo)數(shù)〕，記作或，即。認(rèn)知：〔Ⅰ〕函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是以x為自變量的函數(shù)，而函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是一個(gè)數(shù)值；在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是的導(dǎo)函數(shù)當(dāng)時(shí)的函數(shù)值?！并颉城蠛瘮?shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的三部曲：①求函數(shù)的增量；②求均勻變化率；③求極限上述三部曲可簡(jiǎn)記為一差、二比、三極限?！?〕導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，是曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率。3〕函數(shù)的可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系函數(shù)的可導(dǎo)與連續(xù)既有聯(lián)系又有差別：〔Ⅰ〕假設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，那么在點(diǎn)處連續(xù)；假設(shè)函數(shù)在開(kāi)區(qū)間〔〕內(nèi)可導(dǎo)，那么在開(kāi)區(qū)間〔〕內(nèi)連續(xù)〔可導(dǎo)一定連續(xù)〕。事實(shí)上，假設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，那么有此時(shí)，記,那么有即在點(diǎn)處連續(xù)?！并颉臣僭O(shè)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，但在點(diǎn)處不必定可導(dǎo)〔連續(xù)不必定可導(dǎo)〕。反例：在點(diǎn)處連續(xù)，但在點(diǎn)處無(wú)導(dǎo)數(shù)。事實(shí)上，在點(diǎn)處的增量當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，由此可知，不存在，故在點(diǎn)處不行導(dǎo)。2、求導(dǎo)公式與求導(dǎo)運(yùn)算法那么〔1〕根本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)〔求導(dǎo)公式〕公式1常數(shù)的導(dǎo)數(shù)：公式2冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

〔c為常數(shù)〕，即常數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于。

0。公式

3

正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

。公式

4

余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：公式

5

對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：〔Ⅰ〕

；〔Ⅱ〕公式6〔Ⅰ〕

指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：；〔Ⅱ〕。2〕可導(dǎo)函數(shù)四那么運(yùn)算的求導(dǎo)法那么設(shè)為可導(dǎo)函數(shù)，那么有法那么1；法那么2；法那么3。3、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)〔1〕復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么設(shè)，復(fù)合成以x為自變量的函數(shù)，那么復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量x的導(dǎo)數(shù)，等于函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)，乘以中間變量u對(duì)自變量x的導(dǎo)數(shù)，即。引申：設(shè)，復(fù)合成函數(shù)，那么有〔2〕認(rèn)知〔Ⅰ〕認(rèn)知復(fù)合函數(shù)的復(fù)合關(guān)系循著“由表及里〞的序次，即從外向內(nèi)分析：第一由最外層的主體函數(shù)構(gòu)造設(shè)出，由第一層中間變量的函數(shù)構(gòu)造設(shè)出，由第二層中間變量的函數(shù)構(gòu)造設(shè)出，由此一層一層分析，向來(lái)到最里層的中間變量為自變量x的簡(jiǎn)單函數(shù)為止。于是所給函數(shù)便“分解〞為假設(shè)干相互聯(lián)絡(luò)的簡(jiǎn)單函數(shù)的鏈條：；〔Ⅱ〕運(yùn)用上述法那么求復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的解題思路①分解：分析所給函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，適中選定中間變量，將所給函數(shù)“分解〞為相互聯(lián)系的假設(shè)干簡(jiǎn)單函數(shù)；②求導(dǎo)：明確每一步是哪一變量對(duì)哪一變量求導(dǎo)以后，運(yùn)用上述求導(dǎo)法那么和根本公式求；③復(fù)原：將上述求導(dǎo)后所得結(jié)果中的中間變量復(fù)原為自變量的函數(shù)，并作以合適化簡(jiǎn)或整理。二、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1、函數(shù)的單調(diào)性〔1〕導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與函數(shù)的單調(diào)性：一般地，設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，那么假設(shè)為減函數(shù)；假設(shè)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有

為增函數(shù)；假設(shè)，那么在這一區(qū)間上為常函數(shù)。2〔Ⅰ〕確立函數(shù)的定義域；〔Ⅱ〕求導(dǎo)數(shù)

；〔Ⅲ〕令，解出相應(yīng)的x的范圍當(dāng)時(shí)，在相應(yīng)區(qū)間上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)在相應(yīng)區(qū)間上為減函數(shù)?！?〕重申與認(rèn)知〔Ⅰ〕利用導(dǎo)數(shù)談?wù)摵瘮?shù)的單調(diào)區(qū)間，第一要確立函數(shù)的定義域D，而且解決問(wèn)題的過(guò)程中一直立足于定義域D。假設(shè)由不等式確立的x的取值會(huì)集為A，由確立的x的取值范圍為B，那么應(yīng)用；〔Ⅱ〕在某一區(qū)間內(nèi)〔或〕是函數(shù)在這一區(qū)間上為增〔或減〕函數(shù)的充分〔不用要〕條件。所以方程的根不必定是增、減區(qū)間的分界點(diǎn)，而且在對(duì)函數(shù)劃分單調(diào)區(qū)間時(shí)，除去確立的根以外，還要注意在定義域內(nèi)的不連續(xù)點(diǎn)和不行導(dǎo)點(diǎn)，它們也可能是增、減區(qū)間的分界點(diǎn)。舉例：〔1〕是R上的可導(dǎo)函數(shù)，也是R上的單調(diào)函數(shù)，但是當(dāng)x=0時(shí)，

?！?〕在點(diǎn)x=0處連續(xù)，點(diǎn)x=0處不行導(dǎo)，但在〔-∞，0〕內(nèi)遞減，在〔0，+∞〕內(nèi)遞加。2、函數(shù)的極值〔1〕函數(shù)的極值的定義設(shè)函數(shù)在點(diǎn)周邊有定義，假如對(duì)周邊的全部點(diǎn)，都有，那么說(shuō)是函數(shù)的一個(gè)極大值，記作；假如對(duì)周邊的全部點(diǎn)，都有，那么說(shuō)是函數(shù)的一個(gè)極小值，記作。極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)極值認(rèn)知：由函數(shù)的極值定義可知：〔Ⅰ〕函數(shù)的極值點(diǎn)是區(qū)間內(nèi)部的點(diǎn)，而且函數(shù)的極值只有在區(qū)間內(nèi)的連續(xù)點(diǎn)處獲??；〔Ⅱ〕極值是一個(gè)部分性看法；一個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)可以有多個(gè)極大值和極小值，而且在某一點(diǎn)的極小值有可能大于另一點(diǎn)處的極大值；〔Ⅲ〕當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)且有有限個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)的極大值點(diǎn)，極小值點(diǎn)交替出現(xiàn)?！?〕函數(shù)的極值的判定設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，且在點(diǎn)處連續(xù)，判定是極大〔小〕值的方法是〔Ⅰ〕假如在點(diǎn)周邊的左邊，右邊，那么為極大值；〔Ⅱ〕假如在點(diǎn)周邊的左邊，右邊，那么為極小值；注意：導(dǎo)數(shù)為0的不必定是極值點(diǎn)，我們不難從函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究中悟出這一點(diǎn)。3〕研究函數(shù)極值的步驟：〔Ⅰ〕求導(dǎo)數(shù)；〔Ⅱ〕求方程的實(shí)根及不存在的點(diǎn)；觀(guān)察在上述方程的根以及不存在的點(diǎn)左右雙側(cè)的符號(hào)：假設(shè)左正右負(fù)，那么在這一點(diǎn)獲取極大值，假設(shè)左負(fù)右正，那么在這一點(diǎn)獲取極小值。3、函數(shù)的最大值與最小值〔1〕定理假設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，那么在上必有最大值和最小值；在開(kāi)區(qū)間內(nèi)連續(xù)的函數(shù)不必定有最大值與最小值。認(rèn)知：〔Ⅰ〕函數(shù)的最值〔最大值與最小值〕是函數(shù)的整體性看法：最大值是函數(shù)在整個(gè)定義區(qū)間上全部函數(shù)值中的最大值；最小值是函數(shù)在整個(gè)定義區(qū)間上全部函數(shù)值中的最小值?！并颉澈瘮?shù)的極大值與極小值是比較極值點(diǎn)周邊的函數(shù)值得出的〔擁有相對(duì)性〕，極值只好在區(qū)間內(nèi)點(diǎn)獲??；函數(shù)的最大值與最小值是比較整個(gè)定義區(qū)間上的函數(shù)值得出的〔擁有絕對(duì)性〕，最大〔小〕值可能是某個(gè)極大〔小〕值，也可能是區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值。〔Ⅲ〕假設(shè)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且有獨(dú)一的極大〔小〕值，那么這一極大〔小〕值即為最大〔小〕值?！?〕研究步驟：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，那么研究函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟以下：〔I〕求在內(nèi)的極值；〔II〕求在定義區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，；〔III〕將的各極值與，比較，此中最大者為所求最大值，最小者為所求最小值。引申：假設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，那么的極值或最值也可能在不行導(dǎo)的點(diǎn)處獲取。對(duì)此，假如不過(guò)是求函數(shù)的最值，那么可將上述步驟簡(jiǎn)化：〔I〕求出的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)〔這兩種點(diǎn)稱(chēng)為可疑點(diǎn)〕；〔II〕計(jì)算并比較在上述可疑點(diǎn)處的函數(shù)值與區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，從中獲取所求最大值與最小值。3〕最值理論的應(yīng)用解決有關(guān)函數(shù)最值的實(shí)質(zhì)問(wèn)題，導(dǎo)數(shù)的理論是有力的工具，根本解題思路為：I〕認(rèn)知、立式：分析、認(rèn)知實(shí)質(zhì)問(wèn)題中各個(gè)變量之間的聯(lián)系，引入變量，建立合適的函數(shù)關(guān)系；II〕研究最值：立足函數(shù)的定義域，研究函數(shù)的最值；III〕檢驗(yàn)、作答：利用實(shí)質(zhì)意義檢查〔2〕的結(jié)果，并答復(fù)所提出的問(wèn)題，特別地，假如所得函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)滿(mǎn)足，而且在點(diǎn)處有極大〔小〕值，而所給實(shí)質(zhì)問(wèn)題又必有最大〔小〕值，那么上述極大〔小〕值即是最大〔小〕值。四、經(jīng)典例題例1、設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，且，試求〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕〔為常數(shù)〕。解：注意到當(dāng)〕〔1〕；2〕=A+A=2A〔3〕令，那么當(dāng)時(shí)，∴4〕評(píng)論：注意的增量的形式是多種多樣的，但是，無(wú)論應(yīng)的形式，這類(lèi)步伐的一致是求值成功的保障。假設(shè)自變量x在處的增量為

的實(shí)質(zhì)，在這必定義中，自變量選擇哪一種形式，相應(yīng)的，那么相應(yīng)的

x在也一定選擇相，

處于是有；假設(shè)令，那么又有例2、〔1〕，求；〔2〕，求解：〔1〕令，那么，且當(dāng)時(shí)，。注意到這里∴2〕∵∴①注意到，∴由得②∴由①、②得例3、求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕；〔6〕解：〔1〕〔2〕，∴〔3〕，∴〔4〕，∴〔5〕∴

，〔6〕∴當(dāng)時(shí)，；∴當(dāng)時(shí)，∴即。評(píng)論：為防范直接運(yùn)用求導(dǎo)法那么帶來(lái)的不用要的繁瑣運(yùn)算，第一對(duì)函數(shù)式進(jìn)展化簡(jiǎn)或化整為零，此后再推行求導(dǎo)運(yùn)算，特別是積、商的形式可以變成代數(shù)和的形式，或根式可轉(zhuǎn)變成方冪的形式時(shí)，“先變后求〞的手法明顯更為聽(tīng)話(huà)。例4、在曲線(xiàn)C：上，求斜率最小的切線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)，并證明曲線(xiàn)C關(guān)于該點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。解：〔1〕∴當(dāng)時(shí)，獲取最小值-13又當(dāng)時(shí)，∴斜率最小的切線(xiàn)對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)為A〔2，-12〕；〔2〕證明：設(shè)為曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)，那么點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為且有

①∴將

代入

的分析式得，∴點(diǎn)坐標(biāo)為方程的解∴注意到P，Q的任意性，由此判定曲線(xiàn)C關(guān)于點(diǎn)A成中心對(duì)稱(chēng)。例5、曲線(xiàn)，此中，且均為可導(dǎo)函數(shù)，求證：兩曲線(xiàn)在公共點(diǎn)處相切。證明：注意到兩曲線(xiàn)在公共點(diǎn)處相切當(dāng)且僅當(dāng)它們?cè)诠颤c(diǎn)處的切線(xiàn)重合，設(shè)上述兩曲線(xiàn)的公共點(diǎn)為，那么有，，∴

，∴，∴，∴于是，關(guān)于

有

；

①關(guān)于

，有

②∴由①得由②得

，∴，即兩曲線(xiàn)在公共點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率相等，∴兩曲線(xiàn)在公共點(diǎn)處的切線(xiàn)重合∴兩曲線(xiàn)在公共點(diǎn)處相切。例6、〔1〕能否存在這樣的k值，使函數(shù)

在區(qū)間〔

1，2〕上遞減，在〔2，+∞〕上遞加，假設(shè)存在，求出這樣的

k值；〔2〕假設(shè)

恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，試確立

的取值范圍，并求出這三個(gè)單調(diào)區(qū)間。解：〔1〕由題意，當(dāng)

時(shí)

，當(dāng)

x∈(2,+

∞)

時(shí)

，∴由函數(shù)

的連續(xù)性可知

，即整理得解得考據(jù)：

或〔Ⅰ〕當(dāng)

時(shí)，∴假設(shè)

，那么

；假設(shè)

，那么

，吻合題意；〔Ⅱ〕當(dāng)時(shí)，，明顯不合題意。于是綜上可知，存在使在〔1，2〕上遞減，在〔2，+∞〕上遞加。2〕假設(shè)，那么，此時(shí)只有一個(gè)增區(qū)間，與題設(shè)矛盾；假設(shè)，那么，此時(shí)只有一個(gè)增區(qū)間，與題設(shè)矛盾；假設(shè)，那么而且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，∴綜合可知，當(dāng)時(shí)，恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間：減區(qū)間；增區(qū)間評(píng)論：關(guān)于〔1〕，由條件得，并由此獲取k的可能取值，從而再利用條件對(duì)所得k值逐個(gè)考據(jù)，這是開(kāi)放性問(wèn)題中追求待定系數(shù)之值的根本策略。例7、函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，獲取極值，而且極大值比極小值大4.〔1〕求常數(shù)的值；〔2〕求的極值。解：〔1〕，令得方程∵在處獲取極值∴或?yàn)樯鲜龇匠痰母视小?，即①∴又∵僅當(dāng)時(shí)獲取極值，∴方程的根只有或，∴方程無(wú)實(shí)根，∴即而當(dāng)時(shí)，恒建立，∴的正負(fù)狀況只取決于的取值狀況當(dāng)x變化時(shí)，與的變化狀況以下表：1(1，+∞)+0—0+極大值極小值∴在處獲取極大值，在處獲取極小值。由題意得整理得②于是將①，②聯(lián)立，解得〔2〕由〔1〕知，評(píng)論：循著求函數(shù)極值的步驟，利用題設(shè)條件與的關(guān)系，立足研究的根的狀況，乃是解決此類(lèi)含參問(wèn)題的一般方法，這一解法表達(dá)了方程思想和分類(lèi)談?wù)摰臄?shù)學(xué)方法，突出了“導(dǎo)數(shù)〞與“在處獲取極值〞的必需關(guān)系。例8、〔1〕的最大值為3，最小值為-29，求的值；〔2〕設(shè)，函數(shù)的最大值為1，最小值為，求常數(shù)的值。解：〔1〕這里，否則與題設(shè)矛盾令，解得或x=4〔舍去〕〔Ⅰ〕假設(shè)，那么當(dāng)時(shí)，，在內(nèi)遞加；當(dāng)時(shí)，，在內(nèi)遞減又連續(xù)，故當(dāng)時(shí)，獲取最大值∴由得而∴此時(shí)的最小值為∴由得〔Ⅱ〕假設(shè)，那么運(yùn)用近似的方法可合適時(shí)有最小值，故有；又∴當(dāng)時(shí)，有最大值，∴由得于是綜合〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕得所求或〔2〕，令得解得當(dāng)在上變化時(shí)，與的變化狀況以下表：-1(-1,0)01+0—0+極小值極大值∴當(dāng)時(shí)，獲取極大值；當(dāng)時(shí)，獲取極小值。由上述表格中展現(xiàn)的的單調(diào)性知∴最大值在與之中，的最小值在和之中，觀(guān)察差式，即，故的最大值為由此得觀(guān)察差式，即，∴的最小值為由此得，解得于是綜合以上所述獲取所求。五、高考真題〔一〕選擇題1、設(shè)，，，，，，那么〔〕。A、B、C、D、分析：由題意得，，，，∴擁有周期性，且周期為4，∴，應(yīng)選C。2、函數(shù)A、

B、

有極值的充要條件為〔C、

〕

D、分析：∴當(dāng)

時(shí)，

且

；當(dāng)

時(shí)，令

得

有解，所以

才有極值，故應(yīng)選

C。3、設(shè)，分別是定義在R上的奇導(dǎo)數(shù)和偶導(dǎo)數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且

，那么不等式

的解集是〔

〕A、〔-3，0〕∪〔3，+∞〕C、〔-∞，-3〕∪〔3，+∞〕

B、〔-3，0〕∪〔0，3〕D、〔-∞，-3〕∪〔0，3〕分析：為便于描繪，設(shè)，那么為奇導(dǎo)數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且∴依據(jù)奇函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性知，的解集為〔-∞，-3〕∪〔0，3〕，應(yīng)選D。二、填空題1過(guò)原點(diǎn)作曲線(xiàn)

的切線(xiàn)，那么切點(diǎn)坐標(biāo)為

，切線(xiàn)的斜率為

。分析：設(shè)切點(diǎn)為M，那么以M為切點(diǎn)的切線(xiàn)方程為∴由曲線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)得，∴，∴切點(diǎn)為，切線(xiàn)斜率為。評(píng)論：設(shè)出目的〔之一〕迂回作戰(zhàn)，那么從切線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)切入，解題思路反而簡(jiǎn)短得多。2曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與x軸，直線(xiàn)所圍成的三角形面積為，那么=。分析：∴曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為即切線(xiàn)與x軸交點(diǎn)，又直線(xiàn)與切線(xiàn)交點(diǎn)縱坐標(biāo)為，∴上述三角形面積，由此解得即3曲線(xiàn)與在交點(diǎn)處的切線(xiàn)夾角是〔以弧度數(shù)作答〕分析：設(shè)兩切線(xiàn)的夾角為，將兩曲線(xiàn)方程聯(lián)立，解得交點(diǎn)坐標(biāo)為又，即兩曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率分別為-2，3∴，∴，應(yīng)填。〔三〕解答題1，談?wù)搶?dǎo)數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)。分析：先將求導(dǎo)，即。當(dāng)時(shí)，有兩根，于是有兩極值點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，沒(méi)極值點(diǎn)。此題觀(guān)察導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及二次方程根、“〞等知識(shí)。解答：令，得1、當(dāng)即或時(shí)，方程有兩個(gè)不一樣的實(shí)根、，不防設(shè)，于是，從而有下表：+0—0+↗為極大值↘為極小值↗即此時(shí)有兩個(gè)極值點(diǎn)；2、立刻時(shí)，方程有兩個(gè)相同的實(shí)根，于是，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因此無(wú)極值；3、立刻時(shí)，，而，故為增函數(shù)。此時(shí)無(wú)極值；∴當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，無(wú)極值點(diǎn)。2函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為?！并瘛城蠛瘮?shù)的分析式；〔Ⅱ〕求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。分析：〔1〕由在切線(xiàn)上，求得，再由在函數(shù)圖象上和得兩個(gè)關(guān)于的方程?！?〕令，求出極值點(diǎn)，求增區(qū)間，求減區(qū)間。此題觀(guān)察了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。解答〔Ⅰ〕由函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為知：，即，∴即解得所以所求函數(shù)分析式〔Ⅱ〕令解得當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)。3是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，此中〔Ⅰ〕求與的關(guān)系表達(dá)式；〔Ⅱ〕求的單調(diào)區(qū)間；〔Ⅲ〕當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)的切線(xiàn)斜率恒大于3m，求的取值范圍。分析：〔1〕本小題主要觀(guān)察了導(dǎo)數(shù)的看法和計(jì)算，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的根本方法以及函數(shù)與方程的思想，第2小題要依據(jù)的符號(hào)，分類(lèi)談?wù)摰膯握{(diào)區(qū)間；第3小題是二次三項(xiàng)式在一個(gè)區(qū)間上恒建立的問(wèn)題，用區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值的符號(hào)來(lái)表示二次三項(xiàng)式在一個(gè)區(qū)間上的符號(hào)，表達(dá)出將一般性問(wèn)題特別化的數(shù)學(xué)思想。解答：〔Ⅰ〕，是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)∴∴；〔Ⅱ〕令，得與的變化以下表：1—0+0—單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞加極大值單調(diào)遞減所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是和；的單調(diào)遞加區(qū)間是；〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕即令，且，即m的取值范圍是

。4函數(shù)。〔Ⅰ〕求的單調(diào)區(qū)間和值域；〔Ⅱ〕設(shè)，函數(shù)，假設(shè)關(guān)于任意，總存在，使得建立，求的取值范圍。分析：此題觀(guān)察導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，觀(guān)察綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題才能，觀(guān)察思想及推理才能以及運(yùn)算才能，此題下手點(diǎn)簡(jiǎn)單，〔Ⅰ〕中對(duì)分式函數(shù)定區(qū)間內(nèi)單調(diào)性與值域問(wèn)題，常常以導(dǎo)數(shù)為工具，〔Ⅱ〕是三次函數(shù)問(wèn)題，所以導(dǎo)數(shù)法也是首選，假設(shè)建立，那么二次函數(shù)值域必滿(mǎn)足關(guān)系，從而到達(dá)求解目的。解：〔Ⅰ〕由得或?！摺唷采崛ァ衬敲?，，變化狀況表為：01—0+↘↗所以當(dāng)時(shí)為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?；〔Ⅱ〕所以，?dāng)時(shí)所以當(dāng)時(shí)為減函數(shù)，從而當(dāng)時(shí)有又，即當(dāng)時(shí)有任給，，存在使得那么由〔1〕得或，由〔2〕得又故的取值范圍為。，函數(shù)〔1〕當(dāng)為什么值時(shí)，獲取最小值？證明你的結(jié)論；〔2〕設(shè)在上是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍。分析：此題觀(guān)察導(dǎo)數(shù)的看法和計(jì)算，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法及推理和運(yùn)算才能，此題〔Ⅰ〕老例題型，方法求，解的根，列表，確立單調(diào)性，并判斷極值點(diǎn)，對(duì)〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕在上單調(diào)，而，所以只要即滿(mǎn)足題設(shè)條件，從中解出的范圍。解答：〔Ⅰ〕令那么從而，此中當(dāng)變化時(shí),，的變化狀況以下表+0—0+↗極大值↘極小值↗∴在處獲取極大值，處獲取極小值當(dāng)時(shí)，，且在為減函數(shù)，在為增函數(shù)而當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)∴當(dāng)時(shí)取最小值；〔Ⅱ〕當(dāng)時(shí)在上為單調(diào)函數(shù)的充要條件是，解得綜上，在上為單調(diào)函數(shù)的充要條件為,即的取值范圍為〕。，函數(shù)〔Ⅰ〕當(dāng)

時(shí)，求使

建立的

建立的

的會(huì)集；〔Ⅱ〕求函數(shù)答案：〔Ⅰ〕｛0，1，

在區(qū)間｝

上的最小值?！并颉辰獯穑骸并瘛秤深}意，,當(dāng)時(shí),解得或，當(dāng)時(shí)，解得綜上，所求解集為｛0,1,1+｝(Ⅱ)設(shè)此最小值為m①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間［1，2］上，，因?yàn)椤常敲词菂^(qū)間［1，2］上的增函數(shù)，所以②時(shí)，在區(qū)間［1，2］，由知；③當(dāng)時(shí)，在區(qū)間［1，2］上，假如在區(qū)間〔1，2〕內(nèi)，從而在區(qū)間［1，2］上為增函數(shù)，由此得；假如那么。當(dāng)時(shí)，，從而為區(qū)間［1，］上的增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，從而為區(qū)間［，2］上的減函數(shù)所以，當(dāng)時(shí)，或。當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí).綜上所述,所求函數(shù)的最小值7、(Ⅰ)設(shè)函數(shù)求的最小值;(Ⅱ)設(shè)正數(shù)滿(mǎn)足，證明。分析：此題觀(guān)察數(shù)學(xué)歸納法及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等知識(shí)，觀(guān)察綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的才能?！并瘛澈瘮?shù)為超越函數(shù)，假設(shè)求其最小值，那么采納導(dǎo)數(shù)法，求出，解得，再判斷與時(shí)的符號(hào)，確立為極小值點(diǎn)，也是函數(shù)的最小值，對(duì)〔Ⅱ〕直接利用數(shù)學(xué)歸納法證明，但由到過(guò)渡是難點(diǎn)。解答：〔Ⅰ〕函數(shù)f〔x〕的定義域?yàn)椤?，1〕令當(dāng)時(shí)，f′(x)<0,∴f(x)在區(qū)間是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，f′(x)>0,∴f(x)在區(qū)間是增函數(shù)?！鄁〔x〕在時(shí)獲取最小值且最小值為(Ⅱ)用數(shù)學(xué)歸納法證明〔i〕當(dāng)n=1時(shí)，由〔Ⅰ〕知命題建立；假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題建立，即假設(shè)正數(shù)滿(mǎn)足,那么當(dāng)n=k+1時(shí)，假設(shè)正數(shù)滿(mǎn)足令,那么為正數(shù)，且由歸納假設(shè)知①同理，由,可得≥(1－x)(－k)+(1－x)log2(1－x).②綜合①、②兩式≥[x+(1－x)](－k)+xlog2x+(1－x)log2(1－x)≥－(k+1).即當(dāng)n=k+1時(shí)命題也建立。依據(jù)〔i〕、(ii)可知對(duì)全部正整數(shù)n命題建立。8函數(shù)

，

在區(qū)間

是曲線(xiàn)

內(nèi)可導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)

是減函數(shù)，且，設(shè)處的切線(xiàn)方程，并設(shè)函數(shù)〔Ⅰ〕用、、表示m；〔Ⅱ〕證明：當(dāng)時(shí),〔Ⅲ〕假設(shè)關(guān)于數(shù)，求b的取值范圍及

x的不等式a與b所滿(mǎn)足的關(guān)系。

在

上恒建立，此中

a、b為實(shí)解答：〔I〕在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為即所以；(Ⅱ)證明：令，那么因?yàn)?/p>

遞減，所以

遞加

,所以，當(dāng)

時(shí)，

；當(dāng)

時(shí)，，所以所以

是

0即

獨(dú)一的極值點(diǎn)，且是極小值點(diǎn)，可知；

的最小值為

0〔Ⅲ〕解法一：是不等式建立的必需條件，以下設(shè)此條件建立。，即對(duì)任意建立的充要條件是，另一方面，因?yàn)闈M(mǎn)足前述題設(shè)中關(guān)于的條件，利用(Ⅱ)的結(jié)果可知，的充要條件是：過(guò)點(diǎn)與曲線(xiàn)相切的直線(xiàn)的斜率不大于，該切線(xiàn)的方程為：，于是的充要條件是綜上，不等式對(duì)任意建立的充要條件是①明顯，存在使①式建立的充要條件是：不等式②有解，解不等式②得③所以，③式即為的取值范圍，①式即為實(shí)數(shù)與所滿(mǎn)足的關(guān)系?！并蟆辰夥ǘ菏遣坏仁浇⒌谋匦钘l件，以下談