文科立體幾何線面角二面角專題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、解答題1．如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若點(diǎn)在棱上，且二面角為，求與平面所成角的正弦值．2．如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若點(diǎn)在棱上，且，求點(diǎn)到平面的距離．3．（2018年浙江卷）如圖，已知多面體ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．（Ⅰ）證明：AB1⊥平面A1B1C1；（Ⅱ）求直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值．4．如圖，在三棱柱中，點(diǎn)P，G分別是，的中點(diǎn)，已知⊥平面ABC，==3，==2.（I）求異面直線與AB所成角的余弦值；（II）求證：⊥平面；（III）求直線與平面所成角的正弦值.5．如圖，四棱錐，底面是正方形，，，，分別是，的中點(diǎn).（1）求證；（2）求二面角的余弦值.6．如圖，三棱柱中，側(cè)棱底面，且各棱長(zhǎng)均相等.，，分別為棱，，的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）證明：平面平面；（3）求直線與直線所成角的正弦值.7．如圖，在四邊形ABCD中，AB（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.9．在多面體中，底面是梯形，四邊形是正方形，，，，，（1）求證：平面平面；（2）設(shè)為線段上一點(diǎn)，，求二面角的平面角的余弦值.10．如圖，在多面體中，四邊形為等腰梯形，，已知，，四邊形為直角梯形，，

，.（1）證明：平面，平面平面；（2）求三棱錐的體積.參照答案1．（1）見解析（2）【解析】解析：(1)依照等腰三角形性質(zhì)得PO垂直AC，再經(jīng)過計(jì)算，依照勾股定理得PO垂直O(jiān)B，最后依照線面垂直判判定理得結(jié)論，(2)依照條件成立空間直角坐標(biāo)系，成立各點(diǎn)坐標(biāo)，依照方程組解出平面PAM一個(gè)法向量，利用向量數(shù)量積求出兩個(gè)法向量夾角，依照二面角與法向量夾角相等或互補(bǔ)關(guān)系列方程，解得M坐標(biāo)，再利用向量數(shù)量積求得向量PC與平面PAM法向量夾角，最后依照線面角與向量夾角互余得結(jié)果.詳解：（1）因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，因此，且.連結(jié).因?yàn)?，因此為等腰直角三角形，且?由知.由知平面.（2）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，成立空間直角坐標(biāo)系.由已知得

取平面的法向量

.設(shè)

，則

.設(shè)平面

的法向量為

.由

得

，可取

，因此

.由已知得

.因此

.解得

（舍去），

.因此

.又

，因此

.因此

與平面

所成角的正弦值為

.點(diǎn)睛：利用法向量求解空間線面角的要點(diǎn)在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，成立合適的空間直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，正確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.2．解：（1）因?yàn)锳P=CP=AC=4，O為AC的中點(diǎn)，因此OP⊥AC，且OP=．連結(jié)OB．因?yàn)锳B=BC=，因此△ABC為等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==2．由知，OP⊥OB．由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．2）作CH⊥OM，垂足為H．又由（1）可得OP⊥CH，因此CH⊥平面POM．故CH的長(zhǎng)為點(diǎn)C到平面POM的距離．由題設(shè)可知OC==2，CM==，∠ACB=45°．因此=，==．OMCH因此點(diǎn)C到平面的距離為．POM【解析】解析：（1）連結(jié)，欲證平面，只需證明即可；（2）過點(diǎn)作，垂足為，只需論證的長(zhǎng)即為所求，再利用平面幾何知識(shí)求解即可.詳解：（1）因?yàn)锳P=CP=AC=4，O為AC的中點(diǎn)，因此OP⊥AC，且OP=．連結(jié)OB．因?yàn)锳B=BC=，因此△ABC為等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==2．由知，OP⊥OB．由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．2）作CH⊥OM，垂足為H．又由（1）可得OP⊥CH，因此CH⊥平面POM．故CH的長(zhǎng)為點(diǎn)C到平面POM的距離．由題設(shè)可知OC==2，CM==，∠ACB=45°．因此OM=，CH==．因此點(diǎn)C到平面POM的距離為．點(diǎn)睛：立體幾何解答題在高考中難度低于解析幾何，屬于易得分題，第一問多以線面的證明為主，解題的中心是能將問題轉(zhuǎn)變成線線關(guān)系的證明；此題第二問可以經(jīng)過作出點(diǎn)到平面的距離線段求解，也可利用等體積法解決.3．（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.【解析】解析:方法一：（Ⅰ）經(jīng)過計(jì)算，依照勾股定理得,再依照線面垂直的判判定理得結(jié)論，（Ⅱ）找出直線AC1與平面ABB1所成的角，再在直角三角形中求解.方法二：（Ⅰ）依照條件成立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，依照向量之積為0得出再依照線面垂直的判判定理得結(jié)論，（Ⅱ）依照方程組解出平面的一個(gè)法向量，爾后利用與平面法向量的夾角的余弦公式及線面角與向量夾角的互余關(guān)系求解.詳解：方法一：（Ⅰ）由得，因此.故.由，得，由得，由，得，因此，故.因此平面.（Ⅱ）如圖，過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，連結(jié).由平面得平面平面由得平面，因此是與平面所成的角.學(xué)科.網(wǎng)由得因此，故.因此，直線與平面所成的角的正弦值是方法二：

，

.

，（Ⅰ）如圖，以AC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以射線OB，OC為x，y軸的正半軸，成立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.由題意知各點(diǎn)坐標(biāo)以下：因此由得.由得.因此平面.（Ⅱ）設(shè)直線與平面所成的角為.由（Ⅰ）可知設(shè)平面的法向量.由即可取.因此.因此，直線與平面所成的角的正弦值是.點(diǎn)睛：利用法向量求解空間線面角的要點(diǎn)在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，成立合適的空間直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，正確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.4．（Ⅰ）（Ⅱ）見解析（Ⅲ）【解析】解析：（Ⅰ）由題意得∥AB，故∠G是異面直線與AB所成的角，解三角形可得所求余弦值．（Ⅱ）在三棱柱中，由⊥平面ABC可得⊥A1G，于是⊥A1G，又A1G⊥，依照線面垂直的判判定理可得結(jié)論成立．（Ⅲ）取的中點(diǎn)H，連接AH，HG；取HG的中點(diǎn)O，連結(jié)OP，．由PO【解析】試題解析：（1）由題意，可取中點(diǎn)，連結(jié)，則易知平面∥平面,由條件易證平面，則平面，又平面，依照線面垂直的定義，從而問題可得證；（2）由題意，采用坐標(biāo)法進(jìn)行求解，可取中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)作平行于的直線為軸，為軸，為軸，成立空間直角坐標(biāo)系，分別算出平面和平面的法向量，結(jié)合圖形，二面角為銳角，從而問題可得解.試題解析：（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，，∵是正方形，∴，又∵，，∴，∴面，∴，又∵，，都是中點(diǎn)，∴，，∴面，∴；（2）成立如圖空間直角坐標(biāo)系，由題意得，，，，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，得，同理得平面的法向量為，∴，因此他的余弦值是.點(diǎn)睛：此題主要觀察立體幾何中異面直線垂直的證明，二面角的三角函數(shù)值的求解，以及坐標(biāo)法在解決立體幾何問題中的應(yīng)用等相關(guān)方面的知識(shí)和技術(shù)，屬于中檔題型，也是?？碱}型.坐標(biāo)法在解決立體幾何中的一般步驟，一是依照?qǐng)D形特點(diǎn)，成立空間直角坐標(biāo)系；二是將幾何中的量轉(zhuǎn)變成向量，經(jīng)過向量的運(yùn)算；三是將運(yùn)算獲取的結(jié)果翻譯為幾何結(jié)論.6．（1）見解析（2）見解析(3)【解析】解析：（1）先證明，再證明平面.(2)先證明面，再證明平面平面.(3)利用異面直線所成的角的定義求直線與直線所成角的正弦值為.詳解：（1）證明：連結(jié)，∵、分別是、的中點(diǎn)，∴，，∵三棱柱中，∴又為棱的中點(diǎn)，∴∴四邊形是平行四邊形，∴又∵平面，平面

，，∴

，

，，平面

，.（2）證明：∵是的中點(diǎn)，∴，又∵平面，平面，∴，又∵，∴面，又面，∴平面平面；（3）解：∵，，∴為直線與直線所成的角.設(shè)三棱柱的棱長(zhǎng)為，則，∴，∴.即直線與直線所成角的正弦值為.點(diǎn)睛：（1）此題主要觀察空間地址關(guān)系的證明和異面直線所成角的計(jì)算，意在觀察學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握能力和空間想象轉(zhuǎn)變能力.(2)求空間的角，方法一是利用幾何法，找作證指求.方法二是利用向量法.7．（1）見解析（2）【解析】解析：(1)依照面面垂直的判判定理即可證明平面ADE⊥平面BDEF；(2)成立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法即可求CF與平面ABCD所成角的正弦值；也可以應(yīng)用老例法，作出線面角，放在三角形中間來求解.222詳解：（Ⅰ）在△ABD中，∠ABD＝30°，由AO＝AB+BD－2AB·BDcos30°，解得＝，因此222＝90°∴⊥.+=，依照勾股定理得∠BDABBDABADBADBD又因?yàn)椤推矫?，平面，∴?DEABCDADABCDADDE又因?yàn)锽DDE＝D，因此AD⊥平面BDEF，又AD平面ABCD，∴平面ADE⊥平面BDEF，（Ⅱ）方法一：如圖，由已知可得，，則，則三角形BCD為銳角為30°的等腰三角形.則.過點(diǎn)C做，交DB、AB于點(diǎn)G，H，則點(diǎn)G為點(diǎn)F在面ABCD上的投影.連結(jié)FG，則，DE⊥平面ABCD，則平面.過G做于點(diǎn)I，則BF平面，即角為二面角CBFD的平面角，則60°.則，，則.在直角梯形BDEF中，G為BD中點(diǎn)，，，，設(shè)，則，，則.，則，即CF與平面ABCD所成角的正弦值為．（Ⅱ）方法二：可知DA、DB、DE兩兩垂直，以D為原點(diǎn)，成立以下列圖的空間直角坐標(biāo)系D-xyz.設(shè)DE＝h，則D(0，0，0)，B(0，，0)，C(－，－，h)..設(shè)平面BCF的法向量為m＝(x，y，z)，則因此取x=，因此m＝(，-1，－)，取平面的法向量為＝(1，0，0)，BDEFn由，解得，則，又,則

，設(shè)

CF與平面

ABCD所成角為

，則

sin=

.故直線CF與平面ABCD所成角的正弦值為點(diǎn)睛：該題觀察的是立體幾何的相關(guān)問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有面面垂直的判斷，線面角的正弦值，在求解的過程中，需要掌握面面垂直的判判定理的內(nèi)容，要理解垂直關(guān)系直角的轉(zhuǎn)變，在求線面角的相關(guān)量的時(shí)候，有兩種方法，可以應(yīng)用老例法，也可以應(yīng)用向量法.8．（1）見解析；（2）【解析】解析：（1）由題意得是等邊三角形，故得，于是，從而得，因此，爾后依照線面平行的判判定理可得結(jié)論成立．（2）由平面可得，于是平面．又，因此直線與平面所成角即直線與平面所成角，從而獲取即為所求角，爾后依照解三角形可得所求．詳解：（1）因?yàn)椋虼舜怪本志€段．又，因此．在中，由余弦定理得，因此．又，因此是等邊三角形，因此，因此，又因?yàn)椋虼?，因此．又平面平面，因此平面．?）因?yàn)槠矫?，平面，因此，又，因此平面．由?）知，因此直線與平面所成角即直線與平面所成角，故即為所求的角．在中，，因此，因此直線與平面所成角的正弦值為．點(diǎn)睛：（1）證明空間中的地址關(guān)系時(shí)要注意解題的規(guī)范性和嚴(yán)實(shí)性，運(yùn)用定理證明時(shí)要表現(xiàn)出定理中的要點(diǎn)性詞語(yǔ)．2）用幾何法求空間角時(shí)可分為三步，即“一找、二證、三計(jì)算”，即第一依照所求角的定義作出所求的角，并給出證明，最后利用解三角形的方法獲取所求的角（或其三角函數(shù)值）．9．(1)見解析；（2）.【解析】解析：（1）由勾股定理的逆定理可得于是平面，可得，從而獲取得平面平面．（2）由題意得可得，，結(jié)合題意可得點(diǎn)，于是可求得平面

，；又由條件可獲取，平面，依照面面垂直的判判定理兩兩垂直，故可成立空間直角坐標(biāo)系，的法向量為，又是平面

的一個(gè)法向量，求得

后結(jié)合圖形可得所求余弦值為．詳解：（1）由，∴為直角三角形，且同理為直角三角形，且又四邊形是正方形，∴．又

，

．

，得

，∴.在梯形中，過點(diǎn)作作于，故四邊形是正方形，∴.在中，，∴，，∴，∴，∴.∵，,，∴平面,又平面，∴，又，∴平面，又平面，∴平面平面．（2）由（1）可得，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，，，所在直線為軸成立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則

.令∵

，則，

，∴∴點(diǎn)

.∵

平面

，∴

是平面

的一個(gè)法向量

.設(shè)平面

的法向量為

.則

，即

，可得

.令

，得

．∴

．由圖形知二面角為銳角，∴二面角的平面角的余弦值為．點(diǎn)睛：利用空間向量求二面角的注意點(diǎn)1）成立空間直角坐標(biāo)系時(shí)，要注意證明獲取兩兩垂直的三條直線．爾后確定出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，在此基礎(chǔ)上求得平面的法向量．2）求得兩法向量的夾角的余弦值后，還要結(jié)合圖形確定二面角是銳角還是鈍角，爾后才能獲取所求二面角的余弦值．這一點(diǎn)在解題時(shí)簡(jiǎn)單忽視，解題時(shí)要注意．10．（1）見解析