：12：：())豐豐：12：：())豐豐第一章函數(shù)極限和連續(xù)§函數(shù)一、㈠數(shù)的概念1.

函數(shù)的義y=f(x),€D定：D(f),值域:Z(f).??

分函數(shù)隱數(shù)

(x)D(x)D4.

反數(shù)：x=(y)=f-11(x)

(y)定:如果函數(shù)D(f)=X,是格調(diào)增(或減)的；則它必定存在反函數(shù)：(x),D(f)=Yz(F)㈡數(shù)的幾何特性

且是嚴(yán)格調(diào)增加或減少的1.

函數(shù)單調(diào)y=f(x),x€

D,X2€D當(dāng)

X1V時(shí),若)Wf(X2),貝稱f(x)在D內(nèi)單調(diào)增加()若則稱在D內(nèi)單調(diào)減少();

f(X)>f(X),則

在

D

若f(X)Vf(X),內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加);

若f(X1)>f(X),則f(x)在D嚴(yán)格單調(diào)減少函數(shù)的奇偶性：D(f)關(guān)于點(diǎn)對(duì)偶數(shù)：奇函數(shù)：函數(shù)的周期性：周函數(shù)：f(x+T)=f(x),€(-8周期：T―最小的正數(shù)函數(shù)的有界性：,€

(a,b)㈢本等函數(shù)

常數(shù)函數(shù)：,(c為常數(shù)幕數(shù)：,為實(shí)數(shù)指數(shù)函數(shù)：>、1)對(duì)函:a,(a>0、1)三角函數(shù)：x,y=cy=secxy=cscx6.

反角函數(shù)：x,x,y=arccot㈣函數(shù)和初等函數(shù)1.

復(fù)函數(shù)：(x)y=f[?(x)],€X2.

初等函數(shù)由基本初等函經(jīng)過有限次的則運(yùn)算（加、、乘、除）和合所構(gòu)成的，并且能用一個(gè)數(shù)學(xué)式子表示的函數(shù)§極限一、容㈠限的概念

y1.

數(shù)列極限

稱列以常數(shù)為極限或稱數(shù)列

收于

定理:若

y

的極限在

必有界.2.

函的極：⑴

時(shí)，

的極限：

(x)(x)A

(x)⑵當(dāng)

時(shí)，

的極：

(x)(x)左：

X)X)右限0⑶函數(shù)極限的充要條件f(x定理:

(x)A㈡無窮大量和無小量無大量:2

稱在該變過程中為無窮大量。X再某個(gè)變化過程指：(x)0.無窮小量：

，，x稱在該變過程中

f(x)

為無小量。3.

無窮大量與無窮小量的關(guān)系:(x)

定理:

0無窮量的比⑴

，則稱是a高階無窮小;⑶若，則稱B與是等價(jià)的無窮小量，記a—⑵

C

(C為常)則稱卩與a同階的無窮小量;XX⑷若

，則稱是比a較低階的無窮小量。定理：若則㈢兩夾定理數(shù)列極限存的判定準(zhǔn)則:y設(shè)

XY

Z

Z

（n=1、、3…）且

2

X則函極限存的判定則：.設(shè)0的某鄰域內(nèi)的一點(diǎn)點(diǎn)X除外：g(x)f(x)

A且

X(x)則XX

0㈣限的運(yùn)算規(guī)則u(x)limv(x)B若(o(ov(x)]則:①v(x)]v(x)②..u(x)u(x)③

v(x)推:①U(x)Ux)U(x)](x)(x)(x)cu(x)②③㈤兩重要限1

u(x)]1-2-

x

(1—

(1

(x)1；一、

§連主要容㈠數(shù)連續(xù)

函在處續(xù):

在

X

的域有定,

y

x)2。

f(x)°續(xù)ooXXxa,°續(xù)ooXXxa,of(x)左續(xù)o(x)

)(X)右連

X2.

X函在

o

處連續(xù)的要條件:定理：

X在續(xù)

X在在函在續(xù)的充要條件:3.(x)(X)疋理：

XX

(x)(x))XX4.

函數(shù)在

在

上每一點(diǎn)都連續(xù)。在端點(diǎn)連是指:

左點(diǎn)右續(xù);5.

--------i?——+-函數(shù)間點(diǎn)：

右點(diǎn)左連。若

X在

X

為

的間斷點(diǎn)。間點(diǎn)有三種況:1。

X在傀)不存在2。存XX0000o°XXXXX存XX0000o°XXXXXX000003

)x(f在有定，且(x0

f(x))

在，。兩類間點(diǎn)的判：1

第一間斷：

(x)(x)(

)

或

X在

處無定義。2

第二類斷點(diǎn)：!吧)存在，但可去斷點(diǎn)：(x)特點(diǎn)：(X)

和,XX

振不存在。(X)(X)無間斷點(diǎn)：㈡函數(shù)在處連續(xù)性

0

XX1.

連函數(shù)四運(yùn)算：(X)(X)g(X)g(XXX

XX)0則1)0則111

0

XXX^

g(x)(X)g(X)g(x))2

0

f(x)30xg(x)2.復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性:

X。)g(x。)

g(x)X(x),(怏

X)

(X

3.

Xx反數(shù)連續(xù)f(x),

(X)

X(x)](X(X),y

(X)(x)XX

(X)

(y))㈢函數(shù)在

上續(xù)的質(zhì)1?

最值與小值理：f(x)在

上續(xù)

f(x)

在

上

定存在最大值與最小值。+M

_-M2.

有定理：)

［a,b］］在

上連續(xù)

在

上一定有界。3?

介理：［a,b］)在上連續(xù)在()，使得：

內(nèi)至少存在一點(diǎn),推:與與)

［a,b］在上連續(xù)

(b)異oooooooo-M

(a,b)在

)內(nèi)至少存在一點(diǎn)使:。4?

初等函的連續(xù)：數(shù)在其定域區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。第二章一元函數(shù)分學(xué)導(dǎo)與分§一、主要容㈠數(shù)的概念

(X)

X在x

XX

f(X)X

f(X)X

(X)

dydX

XX2

.左導(dǎo)數(shù)

(X)XXo

Xo)X右數(shù):

(X)

XX

Xf(X)xX：

X在

鄰上續(xù)在則

其內(nèi)可導(dǎo)，且極限存;(x)(x)xooo(X)(或：

(x)3函數(shù)可的必要件:：在

X

〈處可導(dǎo)

)f(X)

X在續(xù)4.

函數(shù)可的充要條件:yXX

(X)存在

(X。)

(X。)

,理y5導(dǎo)函：

且存在。(x),

(a,b)f(X)

(a,b)在

內(nèi)處

(X)6導(dǎo)數(shù)幾性質(zhì):(X)是線X,y

f(X)處切線的率。

上點(diǎn)

X㈡導(dǎo)法則基求導(dǎo)式：2導(dǎo)數(shù)四運(yùn)算(uv)(uv)3復(fù)函數(shù)導(dǎo)數(shù):

(vy(X),3微分式不性:

(X)]}

(X)X

，或則稱則稱☆注意

x)]}(x)]與

的別:

x)階無窮小量即:

(X

在

處微，作

求；表復(fù)合數(shù)對(duì)變量(x)

(x)表復(fù)合數(shù)對(duì)間變

求。4?

高導(dǎo)數(shù):

(x),(x),

(n)

'(x)

(n1)

,(n

2,3,函的

階數(shù)等于其

n-1

導(dǎo)的導(dǎo)數(shù)㈢分的念1.

微：

f(x)x在

的個(gè)鄰域有定義A(x)x)A(x)

0(

)

其：

與

無，

是

較A(x)A(x)dx

(0)2?

導(dǎo)與微的等關(guān)系定理:

在

處

(x)

在

處,(x)且°°°°不論是自變量，還是間變量，數(shù)的分§值定理及導(dǎo)的應(yīng)用一主要容㈠值定理

都具有同的形。羅定理

(x)

滿條件

［a,b］

°

(

a,b)1

［］

(a,b)2

(a,b)

f(b)3微分式不性:㈡必法則(

,

型定)(1:°°°(1:°°°定:

(x)g(x)和

滿足條:(x)0(img(x)0(2°在點(diǎn)的個(gè)鄰內(nèi)可，且

;g(x)；3

°

(x)吧g(x)則xa(

(x)(x)

a(

(x)(x)

☆意化成了它們導(dǎo)數(shù)之比的極限。2

若不滿足法的條件，不能使用法則?！慵床皇腔?/p>

型時(shí)，不求導(dǎo)。3

應(yīng)用法則，要分別對(duì)分子、分母而不是對(duì)整個(gè)式求導(dǎo)。4

°

(x)若

g（）還滿法則條件可以繼續(xù)用法則,即:3a(g(x

)

a(

(x)(x)

a(

(x)(x)5

0若函數(shù)是

型可用代變0_0形化成是

,0

0

型可y。⑴X(a,b)Xy。⑴X(a,b)X(a,b)0_采用對(duì)數(shù)或指數(shù)變形，化成㈢導(dǎo)的應(yīng)用1.切方程法線程：

6

或—。y(x),(設(shè)：y切線方：。法線方:

X，。)(X)(XX。1(X)2.曲線的單調(diào)性::(X)(X)⑵(X)(X)13函的極值：值定義：

。(a,b)。。(a,b)。

(XX。)，。)6)(X(a,b)(X)(a,b)(a,b)(a,b)f(x)設(shè)

(a,b)在

(a,b)。內(nèi)有定，是內(nèi)的一;X。于點(diǎn)

X

。，都有：

。)

。)。)則稱

?！素囊粋€(gè)極大(或極小值，（）時(shí)-（）（）時(shí)-（）x稱x的極大點(diǎn)（或小值點(diǎn)）⑵值存在的必要條件：1(x)(X)2()定：

()

稱為⑶值存在的充分條件：定理一：

的駐點(diǎn)2

1(x).(x)0)3.(x)

（）

X。

(x)

由（變（；當(dāng)

漸通過

(x)為極大；當(dāng)

x

漸增通過x時(shí)

由（

）則

)

為極小。1

.()02.(x)（x）0

xo(x)

，則

()若

為極大；)

，則

()若☆注意：駐不一定是極值點(diǎn)，極值點(diǎn)也不一定是駐點(diǎn)。

為極小。4

．線的凹向及拐點(diǎn)：0°000°000,

(x)

(a,b)若(x)0,若

a,b

(a,b)

)；,(門);1

.)02.

()(x)

(x)5

。曲的漸線：⑴水漸近：⑵鉛漸近：xCxC

(x)(x)(x)(x)C(x)(x)第三章函數(shù)積分學(xué)不定積分主要內(nèi)容㈠要概及性質(zhì)：1

(x),F(x),x．函數(shù)設(shè)：F()()若：則

F(x)

是

(x)

的一個(gè)原函，

(并其中是任常。

的所有原數(shù)121212122

．不積分：函數(shù)稱為函數(shù)

的所有原函數(shù)的體，的不定分；記作：F(x)C其中：

稱為積函；(x)dx

稱為積表式；。3.

不定分的質(zhì)：(x)dx或：

C(x)(x)C或：(x)(x)(x)]dx(x)dx—項(xiàng)分法

(x)dx(x)dx(x)dx

為非零常數(shù)4.

基積分公式：㈡元分法：1.

第換元：(稱湊微元”法)(x)](x)dx

(x)55F(t)CF[（x）常用的湊微元函有：

C

—a

a

（a0）1

111dxdxd(axb)1a(m（3

°

e

dx

)b)aadxd(a),(a0,aa

1

dx

4

x)°2

secx)escx)12)312)36

°

dx2

x)d(arccosx)x)2?

第二換元法:(t)F(t)CF[

C

1

(x)第二換元法主要針對(duì)含有根式的積函,其作用是將根式有理化。一般有下幾種代換：

,

a

2(

當(dāng)被積函數(shù)中有'

2時(shí)t,(0a(

當(dāng)被積函數(shù)中有44sect,(acsct),07,(07)°1°1（

當(dāng)積函數(shù)中有㈢分部積分法：1.

分積分公:

vdx2?

分部分法要針的類:P(x)sindxP(x)lnP(x)arctane

ebxdx,P(x)其中:3.選規(guī):

a1

a

（項(xiàng)式）⑴三角函乘多項(xiàng)中，令其記作簡(jiǎn)“多選多在數(shù)函數(shù)多項(xiàng)式，令其余作簡(jiǎn)“多選多在項(xiàng)式乘數(shù)函數(shù)中，令其余記作簡(jiǎn)“對(duì)選對(duì)

i-1i-1在多項(xiàng)式乘反三函數(shù)中，選反三函數(shù)為其余記作簡(jiǎn)"多反反”在指數(shù)函數(shù)乘三函數(shù)中，可任選函數(shù)為其余記作簡(jiǎn)"指三選”㈣簡(jiǎn)單有理函數(shù)分：1.

有函數(shù)：

(X)

2.

其中簡(jiǎn)單理函:

是多項(xiàng)式。

⑶

§積分主內(nèi)容

b)a)2(一?重概念與性質(zhì)1.

定積的義

axX

(x)dx定積分含四步：分割、近似、求和、取極限。積分的幾何義：是于軸，曲線y=f(x),直線x=a,x=b間各部分面積的代數(shù)和。

軸方的面取號(hào)軸方的面積取號(hào)。+ya,b：f(x)滿足下列條件之一：2.

定積存在:

.);.)

；);)a,b若積分存，則積分與以下因無關(guān)：1a2

；3

XX)

［］3.

牛頓萊布尼公式：))a,bFF(a)

牛頓一式是積分學(xué)中核心定理，作用是將一個(gè)求曲邊面積值的題轉(zhuǎn)化為尋找原函數(shù)及量的問題。原函數(shù)存定理：4.),U：)a(a,))［］5.

()(定積的性：

a

)),)［］

aaa

)

)

a

(ab)

a

a)),(ab)a(X)dXg(X)a)(ba)

換元積分)(,,b,()b,aa：

a

(t)2.

分部積分

v

3.

a廣義積分(x)dx

0

0

(x)dx4.°U

定積分的數(shù)公式『o(x)

(x)(x)

2(X)(x)

2X

(2

x)

(1

x)

(1

x)(

三

定積的應(yīng)1.

平圖的面積1°yf(x)a,

b,與軸所圍成的圖形的面積

222y),

2

),

)a3

X),X

),())4?2.

...

求曲線的點(diǎn)，畫草圖；確定積分變量，由交點(diǎn)確定積分上下限應(yīng)公式寫積分式并進(jìn)行算。旋體的積

)0,a,及X軸所圖形繞軸旋所得旋體的積:得轉(zhuǎn)的體V

0000000000000000第四章函數(shù)微積分初步§偏導(dǎo)與全微分一.主內(nèi)容：㈠.多元數(shù)的念3.

二函數(shù)的定義：z(x)(x)D)4.

二元函數(shù)的幾何意義二函數(shù)是一空間曲面。(而一函數(shù)是平上的曲線)㈡

.

二函數(shù)的極限連續(xù)1.

極定義設(shè)z,y)滿足條件：

(xy(xy(x)00(x,)(xy

2.

連定義設(shè)z,y)滿足條件：

(xy(x)(xyxx0,y(xy㈢偏導(dǎo)數(shù)：

(x),(x

,y)00X°°yy00X°°yyX(

0

(X

。

x,y

。

)

(X

,y。(X)

y

y)f(x,y)(X

,y。

(x

,y。(X,(x,y。x,yz(x,y)D(x,y)(x,y)㈣全微分1.定義：z=f(x,y)

ZZx,yf(x,y)

o()Ao2

2:dzByyzyyz1

z在點(diǎn)處的微分。3.全微分與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系(x,y),(x,y)x,y)zy)dy㈤復(fù)全函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：zu(x,y),vv(x,y)zu(x,y)

(x,2?

xvzzzvyvyy(u,v),uu(x),vydvdx㈥?隱含數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：F(x,0,zy),F()()0FF

J

F2?

F,)0,F

),F㈦二階偏數(shù):,))

22()22

、(X,)

2

(

))

2

(

)

)),),)㈧二元函數(shù)的無條極值1.

二元函極值定：,)

0

,)0°°00y00y,0°°00y00y,z(x,z(X,。)，z(x。)z(x)z(x,y),y)z(x,y)☆和極小值統(tǒng)稱為極值，值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。

()()

,2.

極值必要件：z(x,y)

(

,y)

(°,y)★

兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)存在，則：(x)0(x)0(x，y)(x，)zy)而充條件。

(x，),z例：

yx2x

01x0,y)

2

0

10000200xx00yy00000000000200xx00yy0000000000x0,yz(x???駐點(diǎn)不一定極值點(diǎn)。5.極值的分條：,y)y,)(

2

(,