思維導圖思維導圖1.1空間向量及其運算空間向量定義零向量.空間向量的基本概念p單彳立向量共線向量相反向量相等向量加減運算空間向量的線性運算?/ 數(shù)乘運算空間向量的數(shù)量積運算新課標要求1.經(jīng)歷由平面向量推廣到空間向量的過程，了解空間向量的概念。2.經(jīng)歷由平面向量的運算及其法則推廣到空間向量的過程。3.掌握空間向量的線性運算。掌握空間向量的數(shù)量積。知^梳理.空間向量的概念與平面向量一樣，在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量,空間向量的大小叫做空間向量的長度或模，空間向量用字母〃,“c...表示..幾個常見的向量零向量長度為0的向量叫做零向量單位向量模為1的向量叫做單位向量相反向量與向■長度相等而方向相反的向量，叫做&的相反向量，記做《共線向量如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量。我們規(guī)定：零向量與任意向量平行.相等向量方向相同且模相等的向量叫做相等向量.向量的線性運算交換律：a+b=b+a；結(jié)合律：a+（b+c）=（a+b）+c;九（從a）=（九日）a；分配律：（九十從）a=九a+從a;九（a+b）=九a+九b..共面向量平行于同一平面的向量,叫做共面向量..空間向量的數(shù)量積a.b=1aIIbIcos<a,b>零向量與任意向量的數(shù)量積為0.名師導學知識點1空間向量的有關(guān)概念【例1-1】（2019秋?咸陽期末）已知N是空間的一個單位向量，則玄的相反向量的模為（）A.1 B.2 C.3 D.4【分析】本題考查了向量的基礎知識，根據(jù)向量模的概念求解即可；【解答】解：因為W是空間的一個單位向量，所以玄的相反向量的模=包|=1,故選4【變式訓練1-1】（2019秋?龍巖期末）在平行六面體力KCD-A耳G2中，與向量血相等的向量共有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【分析】本題考查了相等向量及其平行六面體的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．利用相等向量及其平行六面體的性質(zhì)即可得出.【解答】解：如圖所示，與向量.歷的相等的向量有以下3個：耳江幾百談而故選C.知識點2 空間向量的線性運算【例2-1】（2019秋?泰安期末）如圖所示，在長方體』4國?中，。為AC的中點⑴化簡：4d- --A0=；口）用血，加，詢表示曲，則弟=.【分析】本題考查空間向量的線性運算，屬于基礎題.⑴利用Ad=+aS）化簡即可；（劣將宓分解為元窗，繼而進行正交分解即可.［解答］解：（1）小d—y總—5工〉=4'— -54d=nQ—=月鵬.（2）00二沅+鬲=（港+冏+高=場+觀+期.【例2-2】（2019秋?河西區(qū)期末）在三棱錐C-ABU中，咒=才，OS=~5,歷。為5。的中點，則萬75=（）A.一胃十5b十在 B.—+b+下C.胃+；方+；不 D.胃一;了一【分析】本題考查空間向量的加減運算，屬于基礎題.若。為的中點，則而二式/3+配），根據(jù)向量的減法法則即可得到答案.【解答】解：依題意得行=①一①i=；（出+區(qū)）—五！=—/十"了+!^,故選4【變式訓練2-1】（2020?東湖區(qū)校級一模）在空間四邊形中，M,G分別是5C,。。的中點，貝I]m3-75+aS=（）A.2屈 B. C.3而 D.2而：【分析】本題考查了空間向量的加減運算及數(shù)乘運算，屬于基礎題.根據(jù)題意，將就-加+立進行轉(zhuǎn)化，即可得解.【解答】解：-ZB+aS=Ift5+r3=aTC+2a75=3^75.【變式訓練2-2】（2019秋?隨州期末）如圖，已知長方體旦BCD-⑷化簡下列向量表達式，并在圖中標出化簡結(jié)果的向量.（1）AA,-C1）；（2）Z7十WB十一詬.【解析】解：（1）無？—屈=瓦？—萬4=/+起=五『十元/=萬丸（2）Zlr十7S十匹=（77?十A13）十-麗=五1+加+就=ABf+貢?=AC（向量而，工不如圖所示.知識點3 共面向量【例3-1】（2019秋?珠海期末）已知A,B,。三點不共線，點【例3-1】（2019秋?珠海期末）已知A,B,。三點不共線，點M滿足M 無J+19+'比.后芯，而寸三個向量是否共面？⑵點M是否在平面A5C內(nèi)？【解析】解。）,一0249+次*=3兩,五i—祝=(07?-o§)+(o^-o&),五I=口就+(7A?=-M13-A7(5，二向量TH，忒S，而,共面.化）由（口知向量而J,而g,應心共面,又它們有共同的起點M,且A,且A,B,C三點不共線，英，A,B,。四點共面,即點M在平面ABC內(nèi).【變式訓練3-1】（2019秋?日照期末）如圖所示，已知矩形A5C。和矩形AOEb所在的平面互相垂直，點M,N分別在對角線BD,上，且BM= ,AN=1.1E.求證：向量而也，瓦共面【解析】證明：因為M在BD上，且DM二;",O,所以市二二:用十.所以MN=A/B+B'A+UV二加+疑二亞十疑.xJ O rJ iJ又33與萬W不共線，根據(jù)向量共面的充要條件可知而N，E無共面.知識點4 空間向量的數(shù)量積【例4-1】（2019秋?灤陽市期末）已知長方體力HCD-&H】GD】中，AB=AAj=2,.4D=4,E為側(cè)面jB的中心，尸為的中點?試計算：（1）前?麗；⑵后F，77?；.：⑶市?FCi.【解析】解：如圖，設45=“’，詆=丁，巾=/則m=?=2,厲|=4,B C@丁=丁丁=/.才二口.⑴京“￡口=了-一胃）十叫=|T|-=1-=16. , * I一（2）B?^4B1=（T-7?+-f）J：77+T）=T|2- =/-g=0.（3）B?-FC[=[i（q-胃1）+g孫（/+育）=-式十丁十十言）=一,忑『十孑砰=2.【變式訓練4-1】（2019秋?興慶區(qū)校級期末）如圖所示，在棱長為1的正四面體A5C。中，E,尸分別是45,4。的中點，求：⑴后，亂⑵前就（3畫衣:（4）aBc75.【解析】解（1）￡?■BA= =；IH5||M|^cos<55, ='coshtr=^.（2）KT,bd=^bdBD=1|bB|-=i.（3）e?dS= .dS=1|b5|■|n?|cos<bB,/>=會512（了=—；.（4）aS =A^■（aJ5-A^）=AB-AU-A^=\A^\\ADC05<aS,AD>-|AR||7k7-|（；os<前>=8b6爐—856。=0.名師導練A組-［應知應會］（2019春?臺江區(qū)校級期末）長方體ABCD-4BGDi中，若癌=37，起=2了，瓦1=5》,則福等于｛）a-%rt4 dItlrI-7*A.￡4『+Q B.-I+-J+r■0上口C.3T42了+5^ D.37+2了—5萬【分析】本題考查空間向量的運算，屬基礎題.根據(jù)空間向量的運算法則求解即可.【解答】解：弱=高+,= + 哀=37+21+57，故選C.（2019秋?秦皇島期末）若空間四邊形045。的四個面均為等邊三角形，貝Ue（均<值初>的值為（）A.- B.追 C.-- D.02 2 2【分析】本題主要考查了空間向量的運算、向量的數(shù)量積、向量垂直的判定，屬于中檔題.先求出向量五t配的數(shù)量積，由它們的數(shù)量積為。判斷CL418。，所以向量的夾角為的口，由此得出結(jié)論.【解答】解：-沅=3X（灰？—瓦/—五5二9.前=|c^| -|a3||o7?|coS<0^,0^>,?「空間四邊形0ABC的四個面為等邊三角形，qA=0B=QC,^AOC=^AOB=60°,二叫友=0，二E_L反之，二口資《Ei「B『5=0，故選D.（2019秋?定遠縣期末）給出下列幾個命題：①向量育，了,W共面，則它們所在的直線共面；②零向量的方向是任意的；③若E”了，則存在唯一的實數(shù)使胃=入了.其中真命題的個數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3【分析】本題主要考查命題的真假判斷與應用，比較基礎.①利用向量共面的條件判斷.②利用零向量的性質(zhì)判斷.③利用向量共線的定理進行判斷.【解答】解：①假命題.三個向量共面時，它們所在的直線或者在平面內(nèi)或者與平面平行；②真命題.這是關(guān)于零向量的方向的規(guī)定；③假命題.當號=7，則有無數(shù)多個人使之成立.故選民（2019秋?葫蘆島期末）在下列條件中，使M與A、B、。一定共面的是（）A.OH=^-O^-QC\ B.= + + ；Do2C.Uli+mS4 =K D.OM+9+而小而=萬【分析】本題考查空間向量基本定理，考查學生分析解決問題的能力，屬于基礎題.利用空間向量基本定理，進行驗證，對于C,可得庭而5,就為共面向量，從而可得M、A、B、C四點共面.【解答】解：對于A,如=2五1—聞—k=或+垣，無法判斷M、A、B、。四點共面；十工對于5, $32 ，.一以、a、夙C四點不共面；C中，由G+/+/=萬，得G=—而另一碇，則573,說為共面向量，即M、A、B、。四點共面；對于。，’「而+9+而+氏=萬，=T'+血+配），系數(shù)和不為1,A、B、C四點不共面.故選C.5.（多選）（2020春?點軍區(qū)校級月考）已知A5CD-A5C。為正方體，下列說法中正確的是（ ）iiii（AA+aK+/）2=3（探）21 11 11 11AC*（Air-AA）=0iiiic向量AD與向量1的的夾角是60。11D.正方體ABCD-ABCD的體積為1蕊?ZT*ADI1111【分析】本題考查的是用向量的知識和方法研究正方體中的線線位置關(guān)系及夾角與體積.用到向量的加法、減法、夾角及向量的數(shù)量積，研究了正方體中的線線平行、垂直，異面直線的夾角及正方體的對角線的計算、體積的計算.【解答】解：由向量的加法得到：AA+Td+Tb=TC，.AC2=3AB2,a（AC”=3（1瓦j?,所以a正TOC\o"1-5"\h\z1 11111 1 11 1 11確；.aT-AA=AB,AB1AC,/.AC-aF=0，故B正確；11 1 1 1 1 1 i???AACD是等邊三角形，「./ADC=60。，又AB//DC，.二異面直線AD與AB所成的夾角為60。，但是向1 1 1 1 1 1量AD與向量1的的夾角是120。，故c不正確；11AB1AA,/.AB^AA=0，故I詬?京?詬1=0，因此D不正確.1 1 1故選：AB（2019秋?都勻市校級期中）空間的任意三個向量才，了，3W—27，它們一定是 向量（填〃共面〃或〃不共面〃）.【分析】正確理解共面向量定理是解題的關(guān)鍵.由于3方-2不可用向量不，亍線性表示，即可判斷出空間中的三個向量方，了，3胃-2%是否是共面向量.【解答】解：胃—2胃可用向量力，7線性表示，二由空間中共面向量定理可知，空間中的三個向量下，了，33-2萬一定是共面向量.（2020?池州模擬）給出以下結(jié)論：①兩個空間向量相等，則它們的起點和終點分別相同；②若空間向量了，不，滿足|寸|=|了則胃=了；③在正方體/BCD-4囪GQ中，必有/=萬溶；④若空間向量而，五，N滿足示=式,襯=冒，則布=R.其中不正確的命題的序號為 【分析】本題考查的知識點是空間相等的定義，難度不大，屬于基礎題．根據(jù)相向相等的定義，逐一分析四個結(jié)論的真假，可得答案.【解答】解：①若兩個空間向量相等，則它們方向相同，長度相等，但起點不一定相同，終點也不一定相同，故錯誤；②若空間向量了，滿足?司=1幣產(chǎn)），但方向不相同，則胃聲了，故錯誤；③在正方體幺8CD-4mle1。］中，就與上不方向相同，長度相等，故而=運，故正確；④若空間向量不，完，力滿足南=有，前=E,則由二?.,故正確；故答案為①②.（2019秋?未央?yún)^(qū)校級期末）。為空間中任意一點，A,B,C三點不共線，KOP=-OA+-OB+tOC,4 8若尸,C四B,C四點共面，則實數(shù)t=—.【分析】利用空間向量基本定理，及向量共面的條件，即可得到結(jié)論.31【解答】解：由題意得，OP=3OA+—OB+tOC，且P，A，B，C四點共面，4 8,3+—+1=148故答案為：8（2018秋?天津期末）在正四面體P-ABC中，棱長為2,且E是棱AB中點，則PEBC的值為【分析】如圖所示，由正四面體的性質(zhì)可得：PA1BC,可得：PABC=0.由E是棱AB中點，可得PE=2（PA+PB），代入PE?BC，利用數(shù)量積運算性質(zhì)即可得出.【解答】解：如圖所示，由正四面體的性質(zhì)可得：PA1BC可得：PA癡=0eE是棱AB中點， ?1/—T\PE=2（PA+PB）—?—-*1.—*—\—-*1—*-1—?1______.PE?BC=—（PA+PB卜BC二-PABC+-PB?BC=-x2x2xcos120。=—12 2 2 2故答案為：—1．（2019秋?三明期中）如圖所示，在正六棱柱中,I化簡/.；'■ 「口廠」，并在圖中標出表示化簡結(jié)果的向量?-化簡『??；.一； /'.■,< !」「，并在圖中標出表示化簡結(jié)果的向量.【解析】解：‘.二/口 廠廠f- ■1；=+虛+戲+西+E+比=JS+福+亍=熊+ed\.1■,?..1'1?,在圖中表示如下：

⑵歷：+拓K+而+百房+百房=瓦+ + +西+凸D；=0F+FD+BDi=I)+UD\=^b土瓦在圖中表示如下：BCBC11.（2019秋?都勻市校級期中）如圖所示，在四棱錐F-A0C。中,ZDAB=GOD,AB=2AD,尸。，底面丹一求證：PA±BD.底面A5C。為平行四邊形,PP【解析】證明：由底面A5C。為平行四邊形，ZD/1B=6OC,AB=2A口,知DA±BD,則前.初二0.由FLLL底面A5C。，知PDLED,則勵-阮=0.所以句，亙方=（初+區(qū)1）前二麗，阮+歷，品=（］，即PA1BD.12.（2019秋?西夏區(qū)校級月考）如圖所示，平行六面體ABCD-ABCD中，E、F分別在BB和DD上，1111 1 1且IBEI=11BBI,IDFI=21DDI31 31（1）求證：A、E、C、F四點共面；1（2）若片F(xiàn)=xAB+yAD+AA，求x+y+z的值.【分析】（1）利用向量三角形法則、向量共線定理、共面向量基本定理即可得出.（2）利用向量三角形法則、向量共線定理、共面向量基本定理即可得出.【解答】（1）證明：?TOC\o"1-5"\h\zAC=AB+AD+AA=AB+AD+~AA+~AA=AB+~AA+AD+~AA=(AB+BE)+(AD+DF)=AE+AF.?.A、E、C、F四點共面.i/一、- ? " 夫 ? r " 2 1 ? ? 1 *(2)解：.EF=AF-AE=AD+DF-(A5+5E)=AD+-DD+AB--BB+-AB+AD+,3 13 1 3i1Z二一3B組-［素養(yǎng)提升］.（多選）（2019秋?三明期中）定義空間兩個向量的一種運算萬^b=\a>\bIsin（之，b>，則關(guān)于空間向量上述運算的以下結(jié)論中恒成立的有（ ）A-⑤AA⑤-A.ab=bab.九0⑤B）=（九/⑤B

C.(a+b)?c=C%)+(遮己)D.若方=(x,y),B=(x,y),則方C.(a+b)?c=C%)+(遮己)D.若方=(x,y),B=(x,y),則方?3=lxy-xyi1 1 2 2 12 21【分析】A和B需要根據(jù)定義列出左邊和右邊的式子，再驗證兩邊是否恒成立；C由定義驗證若5=