微分幾何緒論第1頁/共19頁數(shù)學(xué)的研究對象是現(xiàn)實世界中的數(shù)量關(guān)系和空間形式恩格斯第2頁/共19頁Geometry-幾何“geo-metry”就是“土地測量”Thales(公元前625-547)-三角測量Pythagoras(公元前580-500),《周髀算經(jīng)》勾股定理Plato(公元前429-348),確立了定義、公設(shè)、公理、定理等概念，建立了邏輯體系?！癊lements”，歐幾里德(Euclid)，公元前3001607年利瑪竇和徐光啟將“Elements”譯成中文《幾何原本》，中文的“幾何”由此得名，沿用至今第3頁/共19頁幾何學(xué)-邏輯推理系統(tǒng)抽象、公理化第4頁/共19頁數(shù)與形的統(tǒng)一：解析幾何坐標(biāo)系（coordinate

system)笛卡兒(ReneDescartes,

1596-1650)法國數(shù)學(xué)家費馬(PierredeFermat,1601─1665)法國數(shù)學(xué)家一次曲線Line，一次曲面Plane，二次曲線Conics，二次曲面Conicoid，quadricsurface形形狀、大小數(shù)代數(shù)表達式第5頁/共19頁微分幾何

Differential

Geometry坐標(biāo)系、微積分應(yīng)用于幾何學(xué)，產(chǎn)生了微分幾何研究如何描述空間中一般的曲線和曲面的形狀參數(shù)變換下幾何不變量：曲線弧長、曲率、撓率；曲面第一基本形式、第二基本形式等微積分，拓撲學(xué)，高等代數(shù)與解析幾何知識的綜合運用第6頁/共19頁突出的數(shù)學(xué)家Euler(1707-1783),Morge(1746-1818)引進曲線曲面參數(shù)表示法曲率能夠由主曲率表示，Euler公式Gauss(1777-1855)曲面的第一、二基本形式、Gauss曲率，內(nèi)蘊幾何學(xué)IntrinsicdifferentialgeometryRiemann(1826-1866)度量Measure、流形Manifold、黎曼幾何學(xué)；彎曲空間Klein(1849-1925)變換群Cartan(1869-1951)活動標(biāo)架，纖維叢及其聯(lián)絡(luò)第7頁/共19頁突出的數(shù)學(xué)家陳省身開創(chuàng)并領(lǐng)導(dǎo)著整體微分幾何、“陳省身示性類”丘成桐“卡拉比猜想”，“微分幾何中偏微分方程作用”，“完備黎曼流形上調(diào)和函數(shù)”楊振寧先生對幾何學(xué)的概括天衣豈無縫，匠心剪接成。渾然歸一體，廣邃妙絕倫。造化愛幾何，四力纖維能。千古寸心事，歐高黎嘉陳。第8頁/共19頁微分幾何的應(yīng)用理論物理廣義相對論將物理量解釋為幾何量。具體的說，空間和時間結(jié)合在一起由一個流形描述：不同的參照系給出不同的局部坐標(biāo)；不同參照系之間的關(guān)系即是坐標(biāo)變換。時空流形的度量由所謂Lorentz度量給出，象Riemann幾何一樣計算出曲率等幾何量。Einstein方程說：時空的物理量（能量動量張量）等于時空的幾何量（Ricci曲率張量）。第9頁/共19頁微分幾何的應(yīng)用計算幾何、圖形學(xué)曲線曲面設(shè)計離散微分幾何網(wǎng)格曲面計算機視覺基于流形的學(xué)習(xí)方法拓撲學(xué)，代數(shù)拓撲和微分拓撲與之緊密相連代數(shù)幾何，代數(shù)方程（組）的零點集第10頁/共19頁數(shù)字幾何1D2D2D3D數(shù)字幾何媒體：拓撲結(jié)構(gòu)復(fù)雜；采樣非均勻；沒有通用標(biāo)準數(shù)字幾何媒體(Digitalgeometrymedia)正成為繼聲音、圖像和視頻之后的下一輪數(shù)字媒體浪潮。第11頁/共19頁幾何造型

ShapemodelingSurfacereconstruction(static)FromCToropticalimages,rawpointdata,…Datarepairing,registration,resampling,smoothingPointcloudmeshNURBStextureNoconnectionconnectedparametricmeshingparamerization第12頁/共19頁DynamicmodelingFeaturedrivenmorphingParametricmodelingPhysicalconstrainedanimation…幾何造型

Shapemodeling第13頁/共19頁NBA

Game第14頁/共19頁網(wǎng)格曲面上的離散微分幾何算子第15頁/共19頁曲面磨光對兩個主方向進行不同處理第16頁/共19頁流形學(xué)習(xí)