第24章 圓24.1.2 垂直于弦的直徑典型例題精析

例1 如圖24-1-20，在以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于點(diǎn)C、D．

(1)求證：AC=BD；(1)證明：過(guò)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，則CE=DE，AE=BE，∴BE-DE=AE-CE，即AC=BD.(2)若大圓的半徑R=10，小圓的半徑r=8，且圓心O到直線AB的距離為6，求AC的長(zhǎng)．(2)解：連接OC，OA．∵OE⊥AB，OE⊥CD，1．(2016黃石)如圖24-1-21，⊙O的半徑為13，弦AB的長(zhǎng)度是24，ON⊥AB于點(diǎn)N，則ON等于( ) A．5 B．7 C．9 D．11變式練習(xí)A2．如圖24-1-22，在⊙O中，弦AB⊥AC，OD⊥AB于點(diǎn)D，OE⊥AC于點(diǎn)E.若AB=8cm，AC=6cm，則⊙O的半徑OA的長(zhǎng)為

cm．53．如圖24-1-23，⊙O內(nèi)兩弦AB、CD相交于點(diǎn)P，OP平分∠APC.下列結(jié)論中： ①AB=CD； ② ③PB=PO； ④AP=PB.

其中正確結(jié)論是

．(填序號(hào))①②4．如圖24-1-24，CD為⊙O的直徑，弦AB交CD于點(diǎn)E，DE=6cm，CE=2cm，∠AED=45°，求AB的長(zhǎng)．解：過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AB于點(diǎn)F，連接OA，則∠OFA=∠OFE=90°．∵DE=6cm，CE=2cm，∴CD=8cm，例2 ⊙O的半徑為10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm,則AB和CD的距離為( ) A．2cm B．14cm C．2cm或14cm D．10cm或20cm變式練習(xí)C5．已知⊙O的直徑CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足為M，則AC的長(zhǎng)為( )C6．如圖24-1-26，水平放置的圓形管道橫截面圓半徑為50cm，現(xiàn)在水面寬度AB為60cm，當(dāng)水面寬度為80cm時(shí)，則水面比原來(lái)上漲的高度為

.10cm或70cm1．(2016福建)如圖24-1-27，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點(diǎn)D，若⊙O的半徑為5，AB=8，則CD的長(zhǎng)是( ) A．2 B．3 C．4 D．5基礎(chǔ)過(guò)關(guān)精練A2．下列命題中正確的是( ) A．弦的垂直平分線不一定經(jīng)過(guò)圓心

B．平分弦的直徑垂直于這條弦

C．過(guò)弦的中點(diǎn)的直線必過(guò)圓心

D．弦所對(duì)的兩條弧的中點(diǎn)的連線垂直平分弦，且過(guò)圓心DA3．(2016黔南)如圖24-1-28，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，∠CDB=30°，⊙O的半徑為5cm，則圓心O到弦CD的距離為( ) A．

B．3cm C．

D．6cm4．(2016綏化)如圖24-1-29，⊙O的直徑CD=20cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M.若OM=6cm，則AB的長(zhǎng)為

cm．165．(2016宿遷)如圖24-1-30，在△ABC中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以點(diǎn)C為圓心，CB為半徑的圓交AB于點(diǎn)D，則BD的長(zhǎng)為

.(3，2)6．如圖24-1-31，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，⊙P與x軸交于O、A兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(6，0)，⊙P的半徑為，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

．7．如圖24-1-32，拱橋的截面為圓弧形,其跨度AB=60m,拱高PM=18m.當(dāng)洪水泛濫，水面跨度縮小到30m時(shí)要采取緊急措施.當(dāng)時(shí)測(cè)量人員測(cè)得水面A1B1到拱頂距離只有4m時(shí)，是否要采取緊急措施？請(qǐng)說(shuō)明理由．解：連接OA、OA1．由題意，得AB=60m，PM=18m，PN=4m．設(shè)OA=OA1=OP=Rm，∵OP⊥AB，OP⊥A1B1，∴AM=MB=30m．8．如圖24-1-33，已知圓O的直徑AB垂直于弦CD于點(diǎn)E，連接CO并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F，且CF⊥AD．

(1)求證：E是OB的中點(diǎn)；(2)若AB=8，求CD的長(zhǎng)．能力提升演練D9．半徑為2的圓中，弦AB、AC的長(zhǎng)分別為2和 ，則∠BAC的度數(shù)是( ) A．15° B．105° C．15°或75° D．15°或105°10．如圖24-1-34，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙P的圓心坐標(biāo)是(3，a)(a＞3)，半徑為3，函數(shù)y=x的圖象被⊙P截得的弦AB的長(zhǎng)為 ，則a的值是( )B11．如圖24-1-35，游樂(lè)場(chǎng)的摩天輪⊙P的最高處A到地面l的距離是23米，最低處B到地面l的距離是3米．從B處乘摩天輪繞一周需3分鐘．小明從B處乘摩天輪一周的過(guò)程中，當(dāng)他到地面l的距離恰好是18米的時(shí)候應(yīng)為

分鐘．1或212