年高考數(shù)學(xué)第二次模擬考試卷數(shù)學(xué)·全解全析注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．集合，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由不等式，整理可得，解得，則，即，所以.故選：B.2．已知是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】因?yàn)槭顷P(guān)于的方程的一個(gè)根，所以方程的另外一個(gè)根為，則，所以，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.故選：B.3．如圖是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間上的大致圖象，則該函數(shù)是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】對(duì)于B：，當(dāng)時(shí)，，與圖象不符合，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，當(dāng)時(shí)，，與圖象不符合，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，當(dāng)時(shí)，，與圖象不符合，故D錯(cuò)誤．故選：A4．安排5名大學(xué)生到三家企業(yè)實(shí)習(xí)，每名大學(xué)生只去一家企業(yè)，每家企業(yè)至少安排1名大學(xué)生，則大學(xué)生甲、乙到同一家企業(yè)實(shí)習(xí)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】5名大學(xué)生分三組，每組至少一人，有兩種情形，分別為2,2,1人或3,1,1人；當(dāng)分為3,1,1人時(shí)，有種實(shí)習(xí)方案，當(dāng)分為2,2,1人時(shí)，有種實(shí)習(xí)方案，即共有種實(shí)習(xí)方案，其中甲、乙到同一家企業(yè)實(shí)習(xí)的情況有種，故大學(xué)生甲、乙到同一家企業(yè)實(shí)習(xí)的概率為，故選：D.5．以拋物線的焦點(diǎn)F為端點(diǎn)的射線與C及C的準(zhǔn)線l分別交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)B且平行于x軸的直線交C于點(diǎn)P，過(guò)A且平行于x軸的直線交l于點(diǎn)Q，且，則△PBF的周長(zhǎng)為（

）A．16 B．12 C．10 D．6【答案】B【解析】因，則，準(zhǔn)線為.由，如圖，設(shè)，則，得，則.得直線AF方程：，代入，得，將代入，可得.則周長(zhǎng)，則.故.故選：B6．函數(shù)的定義域?yàn)?，為奇函?shù)，且的圖像關(guān)于對(duì)稱．若曲線在處的切線斜率為，則曲線在處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，即，所以，函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即，因?yàn)榈膱D像關(guān)于對(duì)稱，所以的圖像關(guān)于對(duì)稱，即，所以，，所以，即函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，所以曲線在處的切線斜率等于曲線在處的切線斜率，因?yàn)榍€在處的切線斜率為，圖像關(guān)于對(duì)稱，所以，曲線在處的切線斜率為，因?yàn)?，，所以，所以，所以曲線在處的切線方程為，即.故選：A7．如圖所示，已知正四棱柱的上下底面的邊長(zhǎng)為3，高為4，點(diǎn)M，N分別在線段和上，且滿足，下底面ABCD的中心為點(diǎn)O，點(diǎn)P，Q分別為線段和MN上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，取中點(diǎn)，連接，根據(jù)題意，因?yàn)?，所以?dāng)三點(diǎn)共線，且時(shí)，，且有最小值，如圖所示，在中，，，所以，在中，，所以，在中，，所以，所以的最小值為，故選：A.8．十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家、被譽(yù)為業(yè)余數(shù)學(xué)家之王的皮埃爾·德·費(fèi)馬提出的一個(gè)著名的幾何問(wèn)題：“已知一個(gè)三角形，求作一點(diǎn)，使其與這個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小”它的答案是：當(dāng)三角形的三個(gè)角均小于120°時(shí)，所求的點(diǎn)為三角形的正等角中心，即該點(diǎn)與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的連線兩兩成角；當(dāng)三角形有一內(nèi)角大于或等于時(shí)，所求點(diǎn)為三角形最大內(nèi)角的頂點(diǎn)．在費(fèi)馬問(wèn)題中所求的點(diǎn)稱為費(fèi)馬點(diǎn)．已知分別是三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且，，若點(diǎn)P為的費(fèi)馬點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】,即,又,,即,,又.由三角形內(nèi)角和性質(zhì)知：△ABC內(nèi)角均小于120°，結(jié)合題設(shè)易知：P點(diǎn)一定在三角形的內(nèi)部，再由余弦定理知,,,,.由等號(hào)左右兩邊同時(shí)乘以可得：，.故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．已知直線：，：，圓C：，若圓C與直線，都相切，則下列選項(xiàng)一定正確的是（

）A．與關(guān)于直線對(duì)稱B．若圓C的圓心在x軸上，則圓C的半徑為3或9C．圓C的圓心在直線或直線上D．與兩坐標(biāo)軸都相切的圓C有且只有2個(gè)【答案】ACD【解析】對(duì)于A，設(shè)直線：上任意一點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，則，解得，所以點(diǎn)在直線：上，所以與關(guān)于直線對(duì)稱，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)閳AC的圓心在x軸上，設(shè)圓心為，因?yàn)閳AC與直線，都相切，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由圓C：，得圓心為，半徑為，因?yàn)閳AC與直線，都相切，所以，解得或，所以圓心在直線或直線上，故C正確；對(duì)于D，由圓C：，得圓心為，半徑為，因?yàn)閳A與兩坐標(biāo)軸都相切，得圓心到軸的距離為，到軸的距離為，所以且，即，解得或，當(dāng)時(shí)，由題意可知，解得或，當(dāng)時(shí)，此時(shí)不滿足，所以與兩坐標(biāo)軸都相切的圓C有且只有2個(gè)，故D正確.故選：ACD.10．已知是的導(dǎo)函數(shù)，，則下列結(jié)論正確的為（

）A．與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱B．與有相同的最大值C．將圖像上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得的圖像D．當(dāng)時(shí)，與都在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】BC【解析】已知的圖像與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；，其中，最大值為，，其中，最大值為，故B選項(xiàng)正確；，.將的圖像向右平移個(gè)單位得的圖像，故C選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，綜上可知和在上單調(diào)性相同，但可能遞增也可能遞減，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC11．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為3，點(diǎn)是側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），點(diǎn)在棱上，且，則下列結(jié)論正確的有（

）A．沿正方體的表面從點(diǎn)到點(diǎn)的最短路程為B．保持與垂直時(shí)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為C．若保持，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為D．當(dāng)在點(diǎn)時(shí)，三棱錐的外接球表面積為【答案】BCD【解析】對(duì)于，將正方體的下面和側(cè)面展開可得如圖圖形，連接，則，故錯(cuò)誤；對(duì)于，因?yàn)槠矫?，平面，，又，平面，所以平面，平面，所以，同理可得，平面，所以平面，所以過(guò)點(diǎn)作交交于，過(guò)作交交于，由，可得，平面，平面，所以平面，同理可得平面，，則平面平面，設(shè)平面交平面于，則的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段，由點(diǎn)在棱上，且，可得，所以，故B正確；對(duì)于，若，則在以為球心，為半徑的球面上，過(guò)點(diǎn)作平面，則，此時(shí)，所以點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的圓弧上，此時(shí)圓心角為，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為，故正確；對(duì)于D，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建系，則，設(shè)三棱錐的外接球球心為，由得，，解得：，所以三棱錐的外接球半徑，所以三棱錐的外接球表面積為，D正確.故選：BCD.12．學(xué)校食堂每天中都會(huì)提供兩種套餐供學(xué)生選擇（學(xué)生只能選擇其中的一種），經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)：學(xué)生第一天選擇套餐的概率為，選擇套餐的概率為.而前一天選擇了套餐的學(xué)生第二天詵擇套餐的概率為，選擇套餐的概率為；前一天選擇套餐的學(xué)生第一天選擇套餐的概率為，選擇套餐的概率也是，如此往復(fù).記某同學(xué)第天選擇套餐的概率為，選擇套餐的概率為.一個(gè)月（30天）后，記甲?乙?丙3位同學(xué)選擇套餐的人數(shù)為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C． D．【答案】ABC【解析】由于每人每次只能選擇兩種套餐中的一種，所以，故A正確；依題意，，則.又時(shí)，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故B正確所以，當(dāng)時(shí)，，所以，所以C正確，錯(cuò)誤.故選：ABC.第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．隨機(jī)變量，，則實(shí)數(shù)a的值為______．【答案】【解析】因?yàn)?，所以隨機(jī)變量的正態(tài)曲線關(guān)于對(duì)稱，故，則a＝.故答案為：14．在等比數(shù)列中，，記數(shù)列的前項(xiàng)和?前項(xiàng)積分別為，則的最大值是______.【答案】8【解析】因?yàn)?，，所以公比，所以，所以，，，，因?yàn)?，所以或時(shí)，取最大值.故答案為：815．已知函數(shù)，則不等式的解集為__________.【答案】【解析】為奇函數(shù)，在R上單調(diào)遞增，，，，，則.故答案為：.16．已知雙曲線E：的左、右焦點(diǎn)分別為、，若E上存在點(diǎn)P，滿足，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），且的內(nèi)切圓的半徑等于a，則E的離心率為____________．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，，又因?yàn)镻在雙曲線上，所以，聯(lián)立可得，，所以，因?yàn)榈膬?nèi)切圓的半徑為a，所以，即，即，所以，兩邊平方得，即，兩邊同時(shí)除以，得，，因?yàn)?，所以．故答案為?四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。17．（10分）已知的角，，的對(duì)邊分別為，，，且，(1)求角；(2)若平分交線段于點(diǎn)，且，，求的周長(zhǎng).【解析】（1）由余弦定理得，所以，可化為，再由正弦定理得，得，所以，因?yàn)椋裕?）因?yàn)槠椒?，所以，由，得，作于，則，由，解得，由余弦定理，得，所以，故的周長(zhǎng)為.18．（12分）已知數(shù)列滿足．記的前n項(xiàng)和為．(1)求；(2)設(shè)，若表示不小于x的最小整數(shù)，如，試判斷是否存在正整數(shù)n，使得？若存在，求出n的取值集合；若不存在，請(qǐng)說(shuō)出理由．【解析】（1）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，∴，，∴，解得．（2）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，，兩式相減得，又，∴n為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，∴，綜上，，∴，，法一：，令，得，解得．因此，存在正整數(shù)n，使得，n的取值集合為．法二：令，則，即，∴，∴．因此，存在正整數(shù)n，使得，n的取值集合為．19．（12分）已知在長(zhǎng)方形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，沿折起平面，使平面平面.(1)求證：在四棱錐中，；(2)若在線段上存在點(diǎn)，使二面角的余弦值為，求的值；(3)在（2）的條件下，求點(diǎn)到平面的距離.【解析】（1）證明：連接.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，，所以.因?yàn)樗倪呅螢殚L(zhǎng)方形，所以，.所以，在直角三角形中，，同理.又，所以，所以.因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?又，且，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?（2）由（1）知和均為等腰直角三角形，過(guò)點(diǎn)作底邊的高，交于點(diǎn)，則為中點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接，則由（1）平面可知平面，所以，以為原點(diǎn)，、、為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，，，顯然平面的一個(gè)法向量為，設(shè)，，則，又，設(shè)平面的法向量為，所以，，得，令可得，，所以，解得或（舍），所以.（3）由（2），而，所以點(diǎn)到平面的距離.20．（12分）有研究顯示，人體內(nèi)某部位的直徑約的結(jié)節(jié)約有0.2%的可能性會(huì)在1年內(nèi)發(fā)展為惡性腫瘤．某醫(yī)院引進(jìn)一臺(tái)檢測(cè)設(shè)備，可以通過(guò)無(wú)創(chuàng)的血液檢測(cè)，估計(jì)患者體內(nèi)直徑約的結(jié)節(jié)是否會(huì)在1年內(nèi)發(fā)展為惡性腫瘤，若檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，則提示該結(jié)節(jié)會(huì)在1年內(nèi)發(fā)展為惡性腫瘤，若檢測(cè)結(jié)果為陰性，則提示該結(jié)節(jié)不會(huì)在1年內(nèi)發(fā)展為惡性腫瘤．這種檢測(cè)的準(zhǔn)確率為85%，即一個(gè)會(huì)在1年內(nèi)發(fā)展為惡性腫瘤的患者有85%的可能性被檢出陽(yáng)性，一個(gè)不會(huì)在1年內(nèi)發(fā)展為惡性腫瘤的患者有85%的可能性被檢出陰性．患者甲被檢查出體內(nèi)長(zhǎng)了一個(gè)直徑約的結(jié)節(jié)，他做了該項(xiàng)無(wú)創(chuàng)血液檢測(cè)．(1)求患者甲檢查結(jié)果為陰性的概率；(2)若患者甲的檢查結(jié)果為陰性，求他的這個(gè)結(jié)節(jié)在1年內(nèi)發(fā)展為惡性腫瘤的概率（結(jié)果保留5位小數(shù)）；(3)醫(yī)院為每位參加該項(xiàng)檢查的患者繳納200元保險(xiǎn)費(fèi)，對(duì)于檢測(cè)結(jié)果為陰性，但在1年內(nèi)發(fā)展為惡性腫瘤的患者，保險(xiǎn)公司賠付該患者20萬(wàn)元，若每年繳納保險(xiǎn)費(fèi)的患者有1000人，請(qǐng)估計(jì)保險(xiǎn)公司每年在這個(gè)項(xiàng)目上的收益．【解析】（1）記事件A：直徑約的結(jié)節(jié)在1年內(nèi)發(fā)展為惡性腫瘤，事件B：該項(xiàng)無(wú)創(chuàng)血液檢測(cè)的檢查結(jié)果為陰性，由題，，，，，，，則所以患者甲檢查結(jié)果為陰性的概率為0.8486．（2），．所以患者甲的檢查結(jié)果為陰性，他的這個(gè)結(jié)節(jié)在1年內(nèi)發(fā)展為惡性腫瘤的概率為0.00035．（3）記參加該項(xiàng)檢查的1000位患者中，獲得20萬(wàn)元賠付的有X人，，則，記保險(xiǎn)公司每年在這個(gè)項(xiàng)目上的收益為Y元，，則，所以保險(xiǎn)公司每年在這個(gè)項(xiàng)目上的收益估計(jì)為13萬(wàn)元．21．（12分）定義：一般地，當(dāng)且時(shí)，我們把方程表示的橢圓稱為橢圓的相似橢圓．已知橢圓，橢圓（且）是橢圓的相似橢圓，點(diǎn)為橢圓上異于其左、右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)．(1)當(dāng)時(shí)，若與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線恰好相交于點(diǎn)，直線的斜率分別為，求的值；(2)當(dāng)（e為橢圓的離心率）時(shí)，設(shè)直線與橢圓交于點(diǎn)，直線與橢圓交于點(diǎn)，求的值．【解析】（1）設(shè)，則直線的方程為，即，記，則的方程為，將其代入橢圓的方程，消去，得，因?yàn)橹本€與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以，即，將代入上式，整理得，同理可得，，所以為關(guān)于的方程的兩根，所以，．又點(diǎn)在橢圓上，所以，所以．（2）由橢圓，得其離心率，所以當(dāng)，即時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以，，，恰好為橢圓的左、右焦點(diǎn)，易知直線的斜率均存在且不為，所以，因?yàn)樵跈E圓上，所以，即，所以．設(shè)直線的斜率為，則直線的斜