二、自動生產(chǎn)線在調(diào)整以后出現(xiàn)廢品的概率為

數(shù)的概率分布．

p．生產(chǎn)過程中出現(xiàn)廢品時馬上進行調(diào)整．求在兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的合格品

解：設X表示“在兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的合格品數(shù)〞，且設q?1?

012Xp，則ξ????的概率分布為

pppqpq2npqn????

三、已知一批產(chǎn)品共20個，其中有４個次品．

（１）不放回抽樣．抽?。秱€產(chǎn)品，求樣品中次品數(shù)的概率分布；（２）放回抽樣．抽?。秱€產(chǎn)品，求樣品中次品數(shù)的概率分布．解：（1）設X表示“取出的樣本中的次品數(shù)〞，則

X聽從超幾何分布，即X的概率函數(shù)為

6?xC4xC16P(X?x)?(x?0,2,3,4)6C201234從而X的概率分布為

X0p即

100148452184484591323569691323Xp012340.20660.4508X0.28170.05780.0031

（2）設X表示“取出的樣本中的次品數(shù)〞，則從而X的概率分布為聽從超幾何分布，即X的概率函數(shù)為

P(X?x)?C6x(0.2)x(1?0.2)6?xX

0126

3(x?0,2,3,4,5,6)

456概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題解答第一章隨機事件及其概率p即

4()55456?654415?654320?654215?656?456156Xp01234560.26210.39320.24580.08190.01540.00150.0001

四、電話總機為300個電話用戶服務．在一小時內(nèi)每一電話用戶使用電話的概率等于0.01，求在一小時內(nèi)有4個用戶使用

電話的概率（先用二項分布計算，再用泊松分布近似計算，并求相對誤差）．解：（1）用二項分布計算(p?0.01)

44P(ξ?4)?C300p4(1?p)296?C300(0.01)4(1?0.01)296?0.168877

（2）用泊松分布計算(λ?np?300?0.01?3)

34?3P(ξ?4)?e?0.168031355

4!0.168877?0.1680313550相對誤差為δ??500.

0.168877

五、設事件A在每一次試驗中發(fā)生的概率為0.3，當A發(fā)生次數(shù)不少于3次時，指示燈發(fā)出信號．現(xiàn)進行了5次獨立試驗，

求指示燈發(fā)出信號的概率．解：設X表示“事件

A發(fā)生的次數(shù)〞，則P(A)?p?0.3，n?5，X~B(5,0.3).于是有

P(X?3)?P(X?3)?P(X?4)?P(X?5)

334455?C5p(1?p)2?C5p(1?p)?C5p

?0.1323?0.02835?0.00243?0.16308

（另解）P(X?3)?1?P(X?3)?1?P(X?0)?P(X?1)?P(X?2)

005114223?1?1C5p(1?p)?C5p(1?p)?C5p(1?p)?0.16308

六、設隨機變量X的概率分布為

P(X?k)?a?kk!,k?0,1,2,??；

其中λ>0為常數(shù)，試確定常數(shù)a．

?λk解：由于?P(X?k)?1，即?a?1，亦即aeλ?1，所以a?e?λ.

k!k?0k?0?

6隨機變量的分布函數(shù)·連續(xù)隨機變量的概率密度

一、函數(shù)

1可否是連續(xù)隨機變量X的分布函數(shù)？為什么？假使X的可能值充滿區(qū)間：

1?x2（1）（??,??）；（2）（??,0）．解：（1）設F(x)由于

x???1，則0?F(x)?1

1?x2limF(x)?0，limF(x)?0，所以F(x)不能是X?x???的分布函數(shù)．

（2）設F(x)1，則0?F(x)?1且limF(x)?0，limF(x)?12x???x??01?x2x?0(x?0)，所以F(x)在（??,0）上單增．由于F'(x)??(1?x2)2綜上述，故F(x)可作為X的分布函數(shù)．

?7

概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題解答第一章隨機事件及其概率

f(x)?sinx可否是連續(xù)隨機變量X的概率密度？為什么？假使X????3??（1）?0,?；（2）?0,??；（3）?0,?．

二、函數(shù)

的可能值充滿區(qū)間：

?2??2???π??π?2f(x)dx??cosx2?1解：（1）由于x?0,，所以f(x)?sinx?0；又由于?，所以當x?0,?0???0?2??2?時，函數(shù)f(x)?sinx可作為某隨機變量X的概率密度．

?（2）由于x?時，函數(shù)

?0,π?，所以f(x)?sinx?0；但?0?f(x)dx??cosx0?2?1，所以當x??0,π?

?f(x)?sinx不可能是某隨機變量X的概率密度．?3π?（3）由于x?0,?2?，所以f(x)?sinx不是非負函數(shù)，從而它不可能是隨機變量X??的概率密度．

二、一批零件中有9個合格品與3個廢品．安裝機器時從這批零件中任取1個．假使每次取出的廢品不再放回去，求在取

得合格品以前已取出的廢品數(shù)的分布函數(shù)，并作出分布函數(shù)的圖形．解：設X表示“取出的廢品數(shù)〞，則X的分布律為

0X123p

于是，X的分布函數(shù)為3494492202320yx?0?0,?34,0?x?1??F(x)??2122,1?x?2其圖形見右：?219220,2?x?3??x?3?1,

四、（柯西分布）設連續(xù)隨機變量

oxX的分布函數(shù)為

F(x)?A?Barctanx,???x???．

求：（1）系數(shù)A及B；（2）隨機變量X落在區(qū)間(?1,1)內(nèi)的概率；(3)X的概率密度．

ππ11?1，解得A?,B?.解：(1)由limF(x)?A?B?(?)?0，limF(x)?A?B?x???x???22π211即F(x)??arctanx,(???x???)．

2π11111(2)P(?1?X?1)?F(1)?F(?1)?[?arctan1]?[?arctan(?1)]?.

2?2?2(3)X的概率密度為

1．f(x)?F?(x)?2?(1?x)五、（拉普拉斯分布）設隨機變量

X的概率密度為

解：(1)

,???x???．

求：（1）系數(shù)A；（2）隨機變量X落在區(qū)間(0,1)內(nèi)的概率；（3）隨機變量X的分布函數(shù)．

??????1?x?x由?f(x)dx?1，得?Aedx?2A?edx?2A?1，解得A?，即有

??0??21?xf(x)?e,(???x???).

28

f(x)?Ae?x

概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題解答第一章隨機事件及其概率

(2)

P(0?X?1)??f(x)dx?0111?x111?x1edx?(?e)?(1?).0?0222e(3)隨機變量X的分布函數(shù)為

xF(x)?????1x?2e1x?xf(x)dx??edx??12???1?e?x?2x?0．

x?0

7均勻分布·指數(shù)分布·隨機變量函數(shù)的概率分布

一、公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車通過．乘客到達汽車站的任一時刻是等可能的．求乘客候車時間

不超過3分鐘的概率．解：設隨機變量X表示“乘客的候車時間〞，則

X聽從[0,5]上的均勻分布，其密度函數(shù)為

于是有P(0

?X?3)??30?15,x?[0,5]f(x)??x?[0,5]?0,3f(x)dx??0.6.

5x?1?800?,x?0;

f(x)??800e?x?0.?0,二、已知某種電子元件的使用壽命X(單位:h)聽從指數(shù)分布，概率密度為

任?。硞€這種電子元件，求至少有１個能使用1000h以上的概率．解：設

A表示“至少有１個電子元件能使用1000h以上〞；A1、A2、A3分別表示“元件甲、乙、丙能使用1000h以上〞．則

??xx5??1?800800??4P(A1)?P(A2)?P(A3)?P(X?1000)??edx??e?0.2871000?e1000800P(A)?P(A1?A2?A3)?P(A1)?P(A2)?P(A3)?P(A1A2)?P(A2A3)?P(A1A3)?P(A1A2A3)

?3?0.287?3?0.2872?0.2873?0.638

（另解）設A表示“至少有１個電子元件能使用1000h以上〞．則

xx????1P(X?1000)??e800dx??e8001000800

從而有P(X?54??1000?e?54?0.287

?1000)?1?P(X?1000)?1?e?0.713，進一步有

P(A)?1?[P(X?1000)]3?1?0.7133?0.638

三、(1)設隨機變量X聽從指數(shù)分布e(?)．證明：對于任意非負實數(shù)s及t，有

P(X?s?tX?s)?P(X?t).

這特性質(zhì)叫做指數(shù)分布的無記憶性．

1)．某人買了一臺舊電視機，求還能使用５年以上(2)設電視機的使用年數(shù)X聽從指數(shù)分布e(0．的概率．

解：（１）由于我們有

X~e(?)，所以?x?R，有F(x)?1?e??x，其中F(x)為X的分布函數(shù)．

設A?X?s?t，B?X?t．由于s及t都是非負實數(shù)，所以A?B，從而AB?A．根據(jù)條件概率公式，

P(X?s?tX?s)?P(AB)?另一方面，我們有

P(AB)P(A)P(X?s?t)1?P(X?s?t)???

P(B)P(B)P(X?s)1?P(X?s)1?[1?e??(s?t)]??t．??e??s1?[1?e]9

概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題解答第一章隨機事件及其概率

P(X?t)?1?P(X?t)?1?P(X?t)?1?F(t)?1?(1?e??t)?e??t．

綜上所述，故有

P(X?s?tX?s)?P(X?t)．

（２）由題設，知X的概率密度為

設某人購買的這臺舊電視機已經(jīng)使用了s年，則根據(jù)上述證明的（１）的結(jié)論，該電視機還能使用5年以上的概率為

?0.1e?0.1x，x?0；f(x)??x?0．?0，??5P(X?s?5X?s)?P(X?5)??f(x)dx?0.1???5e?0.1xdx??e?0.1x??5?e?0.5?0.6065．

答：該電視機還能使用5年以上的概率約為0.6065．

四、設隨機變量X聽從二項分布B(3,0.4)，求以下隨機變量函數(shù)的概率分布：（1）Y1?1?2X；（2）Y2?X(3?X)．

20123解：X的分布律為

Xp（1）Y1

0.2160.4320.2880.064?1?2X的分布律為

1Y1p（2）Y2

0.216?10.432?30.288?50.064?X(3?X)的分布律為

2Y2p即

01100.2160.4320.2880.064Y2p

五、設隨機變量X的概率密度為

010.280.722?,x?0;?f(x)???(x2?1)

?x?0.?0,求隨機變量函數(shù)Y解：由于FY(y)?lnX的概率密度．

?P(Y?y)?P(lnX?y)?P(X?ey)?FX(ey)

所以隨機變量函數(shù)Y?lnX的概率密度為

2ey''yyyyfY(y)?FY(y)?FX(e)e?f(e)e?(???y???)，即2y?(e?1)2eyfY(y)?(???y???)．2y?(e?1)

８二維隨機變量的聯(lián)合分布與邊緣分布一、把一顆均勻的骰子隨機地擲兩次．設隨機變量X表示第一次出現(xiàn)的點數(shù)，隨機變量Y表示

兩次出現(xiàn)點數(shù)的最大值，求二維隨機變量(X

,Y)的聯(lián)合概率分布及Y10

的邊緣概率分布．

概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題解答第一章隨機事件及其概率

解：二維隨機變量(X

X,Y)的聯(lián)合概率分布為

12Y3456121360000013623600003413613633600013613613643600513613613613653606

136136136136136636Y

的邊緣概率分布為

YfY(yj)1136233635364736593661136

二、設二維隨機變量（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)

F(x,y)?A(B?arctan解：（1）由F(??,xy)(C?arctan)．23求：（1）系數(shù)A、B及C；（2）（X，Y）的聯(lián)合概率密度：（3）邊緣分布函數(shù)及邊緣概率密度．

??)?1,F(0,??)?0,F(??,0)?0，得

ππ?A(B?)(C?)?1?22?ππ1?A(B?0)(C?)?0B?C?A?.解得，?222π??AC(B?π)?0?2?1?x?y)，所以（X，Y）的聯(lián)合概率密度為（2）由于F(x,y)?2(?arctan)(?arctan223?26\f(x,y)?Fxy(x,y)?2.

?(4?x2)(9?y2)（3）X及Y的邊緣分布函數(shù)分別為

x??x21xxdx?arctanFX(x)??dx?f(x,y)dy???????????(4?x2)?211xarctan??2?2y??x31yyFY(x)??dy?f(x,y)dx??dy?arctan?????????(9?y2)?311yarctan??2?3

X及Y的邊緣概率密度分別為

11

概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題解答第一章隨機事件及其概率

fX(x)??f(x,y)dy????61211dy??dy22?2?????2(4?x2)(9?y2)0?(4?x)(9?y)1211y??2?2?(arctan)?0223?(4?x)3?(4?x)??????6121fY(y)??f(x,y)dx??dx?dx

?????2(4?x2)(9?y2)?2(9?y2)?04?x2121x??3?2(arctan)?02?(9?y2)2?(9?y2)????

三、設(X,Y)的聯(lián)合概率密度為

?Ae?(2x?3y),x?0,y?0;f(x,y)??其它.?0,求：（1）系數(shù)

A；（2）(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)；（3）X????及Y的邊緣概率密度；（4）(X,Y)

落在區(qū)域R：x?0,y?0,2x?3y?6內(nèi)的概率．解：（1）由

??????????f(x,y)dxdy?1，有A?e?2xdx?e?3ydy?001A?1，解得A?6.6（2）(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為

xyxy??6?e?2xdx?e?3ydyx?0,y?0F(x,y)??dx?f(x,y)dy??00?????其它?0?(1?e?2x)(1?e?3y)x?0,y?0??其它?0（3）X及Y的邊緣概率密度分別為

???2x???x?0??6e?2xe?3ydyx?0?2efX(x)??f(x,y)dy??0??

??0x?0?x?0??0

fY(y)?????????3y???6e?2xe?3ydxx?0?3ef(x,y)dx??0???x?0?0?0y?0y?0

（4）P{(X,Y)?R}???f(x,y)dxdy?6?eR3003?2xdx?22?x30e?3ydy

?2?(e?2x?e?6)dx?1?7e?6

,Y)在拋物線y?x2與直線y?x?2所圍成的區(qū)域R上聽從均勻分布．求：

(1)(X,Y)的聯(lián)合概率密度；(2)概率P(X?Y?2)．解：(1)設(X,Y)的聯(lián)合概率密度為

?C,(x,y)?R;f(x,y)???0,(x,y)?R.2x?22x2x329C2則由??Cdxdy?C?dx?2dy?C?(x?2?x)dx?C(?2x?)?1??1

?1x?1232R2解得C?．故有

9?2?,(x,y)?R;f(x,y)??9

??0,(x,y)?R.四、設二維隨機變量(X

12

概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題解答第一章隨機事件及其概率

(2)

P(X?Y?2)?x?y?2??f(x,y)dxdy?2?x2?x2122dxdy?dxdy2????02?x1x99

2122??2xdx??(2?x?x2)dx90912212x2x3213?x0?(2x??)1??0.481．992327９隨機變量的獨立性·二維隨機變量函數(shù)的分布

一、設X與Y是兩個相互獨立的隨機變量，X在[0,1]上聽從均勻分布，Y的概率密度為

y?1?2?fY(y)??2e,y?0;

?y?0.?0,求(1)(X,Y)的聯(lián)合概率密度;(2)概率P(Y?X)．

?1,x?(0,1)X解:(1)的概率密度為fX(x)??，(X,Y)的聯(lián)合概率密度為（注意X,Y相互獨立）

0,x?(0,1)?y?1?2?f(x,y)?fX(x)fY(y)??2e,0?x?1,y?0

?其它?0,（2）P(Y?X)?y?x???f(x,y)dxdy??dx?0?121??x1edy??(?e02?1y2?y2??x)dx??e01?x22dx

??2ex2210?2(1?e)?0.7869

二、設隨機變量X與Y獨立，并且都聽從二項分布：

iin1?ipX(i)?Cnpq,i?0,1,2,?,n1;1pY(j)?Cpq證明它們的和Z?證明:設k?i?j,則

jn2jn2?j,j?0,1,2,?,n2.

X?Y也聽從二項分布．

kkiin1?ik?ik?in2?k?iPZ(k)?P(Z?k)??PX(i)PY(k?i)??CnpqCpqn12i?0i?0ii?(?CnCn)pkqn1?n2?k12i?0k

由

?i?0kkk?iCmCnk?Cm?n,有

?Ci?0kiin1Cn2k.于是有?Cn1?n2iPZ(k)?Cnpkqn1?n2?k(k?0,1,2,?,n1?n2)

1?n2由此知Z?X?Y也聽從二項分布.

三、設隨機變量X與Y獨立，并且X在區(qū)間[0，1]內(nèi)聽從均勻分布，Y在區(qū)間[0，2]內(nèi)聽從辛普森分布：

?y,0?y?1;?fY(y)??2?y,1?y?2;

?0,y?0或y?2.?求隨機變量Z解:

?X?Y的概率密度．

X的概率密度為

?1,x?[0,1].于是(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f?(y)???0,x?[0,1]13

概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題解答第一章隨機事件及其概率

當0?x?1,0?y?1?y,?f(x,y)??2?y,當0?x?1,1?y?2

?0,其它.?Z?X?Y的聯(lián)合分布函數(shù)為FZ(z)?P{Z?z}?P{X?Y?z}?P{(x,y)?D}，其中D是x?y?zf(x,y)的定義域的公共部分.

與

z?0,z?3?0?z20?z?1?2?故有FZ(z)??32?z?3z?1?z?2?2?1292?z?3?z?3z?2?2從而隨機變量Z?X?Y的概率密度為

z?0,z?3?0?z0?z?1?fZ(z)????2z?31?z?2?2?z?3?z?3

三、電子儀器由六個相互獨立的部件Lij（i?1,2;j?1,2,3）組成，聯(lián)接方式如右圖所示．設各個部件的使用壽命Xij聽從一致的指數(shù)分布e(?)，求儀器使用壽命的概率密度．

解:由題設，知Xij的分布函數(shù)為

FXij先求各個并聯(lián)組的使用壽命Yi(i有

?1?e??x,x?0??

x?0?0,?1,2,3)的分布函數(shù).由于當并聯(lián)的兩個部件都損壞時,第i個并聯(lián)組才中止工作,所以

Yi?max(?1i,?2i)(i?1,2,3)

從而有Yi(i?1,2,3)的分布函數(shù)為

y?0y?0設Z\儀器使用壽命\由于當三個并聯(lián)組中任一個損壞時,儀器中止工作.所以有Z?min(Y1,Y2,Y3).從而有ZFYi(y)?FX1iFX2i布函數(shù)為

?(1?e??y)2,???0,的分

?1?[1?FY1(z)][1?FY2(z)][1?FY3(z)],z?0?1?[1?(1?e??z)2]3,z?0FZ(z)????0,z?00,z?0??故Z的概率密度為

?6?e?3?z(1?e??z)(2?e??z)2,z?0fZ(z)??z?0?0,

10隨機變量的數(shù)學期望與方差一、一批零件中有9個合格品與3個廢品．安裝機器時從這批零件中任取一個．假使取出的廢品不再放回去，求在取得合

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概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題解答第一章隨機事件及其概率

格品以前已取出的廢品數(shù)的數(shù)學期望、方差與標準差．

解：設X表示“在取得合格品以前已取出的廢品數(shù)〞，則X的概率分布為

01X23p

即

3494492202320Xp于是有01230.750.2050.041

0.004EX?0?即

399133?1??2??3??444220230110EX?0?0.75?1?0.205?2?0.041?3?0.004?0.3

X2的分布為

X2p

即

01493494492202320X2p于是有

01490.750.2050.0410.004EX2?0?即

39919?1??4??9??44422023022EX2?0?0.75?1?0.205?4?0.041?9?0.004?0.4091

從而有

DX?EX2?(EX)2??X解：設X表示“第i次擊中〞(i

Xp于是有?933242471?()??0.319122110133100?DX?0.3191?0.565

的分布為

3????二、對某一目標進行射擊，直至擊中為止．假使每次射擊命中率為p，求射擊次數(shù)的數(shù)學期望及方差．

?1,2,?)，則X12pi?1?pqpq2?npqn?1????EX??ipqi?1?p?iqi?1i?1qp1?p(?qi)??p()???21?qp(1?q)i?19????X2的分布為X2p于是有14p?2i?1?pqipq2?n2pqn?1????EX??ipq2i?1?p[q(?q)?]??p(?qi)??i?1i?1p(1?q)2?p21???322p(1?q)pp進一步有

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概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題解答第一章隨機事件及其概率

DX?EX2?(EX)2?

三、設離散型隨機變量X的概率函數(shù)為

211211??()??22ppppp

2k1P[X?(?1)]?k,k?1,2,?,

k2問X的數(shù)學期望是否存在？若存在，請計算E(X)；若不存在，請解釋為什么．

kkk??2k1(?1)kk2k2解：由于?xiP(X?xi)??(?1)P[X?(?1)]??(?1)?k??kkk2ki?1k?1k?1k?1??k不絕對收斂，所以?沒有數(shù)學期望．

四、設隨機變量X的概率密度為

1?,?f(x)???1?x2?0,?12x?1;x?1.求數(shù)學期望E(X)及方差D(X)．

解：E(X)?1?x??1121x222D(X)??xf(x)dx??x?dx??dx

???1022??1?x?1?x?2x11[?1?x2?arcsinx]1?0π222X的概率密度為

??xf(x)dx??x????1??1dx?0

五、（拉普拉斯分布）設隨機變量

f(x)?1?xe,(???x???)．求數(shù)學期望E(X)及方差2D(X)．

解：EX1???xxedx?0?????2????1??2?x2DX??xf(x)dx??xedx??x2e?xdx??(3)?2!?2

??02????xf(x)dx???（分部積分亦可）

11隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望·關于數(shù)學期望與方差的定理

一、設隨機變量X聽從二項分布B(3,0.4)，求Y解：X的概率分布為

Xp

?X(3?X)的數(shù)學期望及方差．

212300.2160.4320.2880.064Y

的概率分布為

Yp

010.280.72Y2的分布為

Y2p于是有010.280.72EY?0?0.28?1?0.72?0.72

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概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題解答第一章隨機事件及其概率

EY2?0?0.28?1?0.72?0.72

DY?EY2?(EY)2?0.72?(0.72)2?0.2023

二、過半徑為R的圓周上一點任意作這圓的弦，求所有這些弦的平均長度．

解：在圓周上任取一點O，并通過該點作圓得直徑OA．建立平面直角坐標系，以O為原點，且讓OA在過O任作圓的一條弦OB，使OB與

x軸的正半軸上．通

x軸的夾角為?，則?聽從[??2,?2]上的均勻分布，其概率密度為

弦OB的長為L(?)???2Rcos??????1,??[?,]??22．f(?)?????0,??[?,]22?????[?,]，故所有弦的平均長度為

221E[L(?)]??f(?)L(?)d???2???2??2Rcos?d??

?4R???20co?sd??4R?2?si?n04R?．

三、一工廠生產(chǎn)的某種設備的壽命X（以年計）聽從指數(shù)分布，概率密度為

x?1?4?e,x?0;f(x)??4?0,x?0.?工廠規(guī)定，出售的設備若在售出一年之內(nèi)損壞可予以調(diào)換．若工廠售出一臺設備贏利100元，

調(diào)換一臺設備廠方需花費300元．試求廠方出售一臺設備的平均凈贏利．解：由題設，有

P(X?1)??進而有P(X

1????1?4f(x)dx??e4dx??e41?1?e0041xx1

?1)?1?P(X?1)?e

設Y表示“廠方出售一臺設備獲得的凈贏利〞，則Y的概率分布為

Yp?14?2001001?e?14e14?14

從而有

EY??200?(1?e)?100?e答：廠方出售一臺設備獲得的平均凈贏利約為33.64元．

四、設隨機變量

??14?300?e?14?200?33.64

，方差為?2X1,X2,?Xn相互獨立，并且聽從同一分布，數(shù)學期望為?．求這些隨機變量的算術平

1n均值X??Xi的數(shù)學期望與方差．

ni?12解：由于E(Xi)??，D(Xi)??，且隨機變量X1,X2,?Xn相互獨立．所以有

n1n11n1nE(X)?E(?Xi)?E(?Xi)??E(Xi)?????，

ni?1ni?1ni?1ni?1n1n11D(X)?D(?Xi)?2D(?Xi)?2ni?1nni?11D(X)??in2i?1n??i?1n2??2n．

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概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題解答第一章隨機事件及其概率

五、一民航送客車載有20位旅客自機場開出，沿途有10個車站可以下車，到達一個車站時如沒有旅客下車就不停車．假

設每位旅客在各車站下車是等可能的，且各旅客是否下車相互獨立．求該車停車次數(shù)的數(shù)學期望．解:設Xi表示\第i站的停車次數(shù)\i?1,2,?,10).則Xi聽從\0?1\分布.其中

?0,若在第i站無人下車Xi??1,若在第i站有人下車?于是

Xi的概率分布為

Xi01p設

10?120()101?(10?120)10X??Xii?1n,則X表示沿途停車次數(shù),故有

101010?12023?120EX?E(?Xi)??EXi?10{0?()?1?[1?()]}

1010i?1i?120?10(1?0.9)?8.748即停車次數(shù)的數(shù)學期望為8.748.

12二維隨機變量的數(shù)字特征·切比雪夫不等式與大數(shù)定律

一、設二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為

?y?1求：（1）系數(shù)A；（2）數(shù)學期望E(X)及E(Y)，方差D(X)及D(Y)，協(xié)方差cov(X,Y)．

解:(1)由

f?x,y??A?x22?2.

??1????????f(x,y)dxdy?1.有

???x????????A2?y?12?2dxdy?A?d??02???r0?r2?1?2dr??A?1

解得,(2)

A??.

????E(X)???????xf(x,y)dxdy???1????dy??????xx22?y?1?2dx?0.

由對稱性,知

E(Y)?0.

22????????D(X)?E[(X?EX)]?EX??

?xf(x,y)dxdy?2??1????dy??????xx222?y?1?2dx

0?1r2?1同理,有D(Y)???.

cov(X,Y)?E[(X?Ex)(Y?EY)]?E(XY)

00?1??2?d????r3?r2?2dr?2???r(1?r2)?r??2dr?[ln(1?r2)?1??]???201?r

???????????xyf(x,y)dxdy

???????????????xyf(x,y)dxdy???1????ydy??xx22?y?1?2dx?0.

二、設二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為

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概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題解答第一章隨機事件及其概率

?1,y?x,0?x?1;f(x,y)???0,其它．求(1)

cov(X,Y)；(2)XEX??????????與Y是否獨立，是否相關，為什么？

1x1解:(1)由于

?xf(x,y)dxdy??xdx?dy??2x2dx?0?x023EY??所以有

?yf(x,y)dxdy??dx?ydy?0

E(XY)???xyf(x,y)dxdy??xdx?ydy?0

????????????0?x10x?x????2cov(X,Y)?E[(X?EX)(Y?EY)]?E[(X?)Y]???xyf(x,y)dxdy

????3????1x??xdx?ydy?0．

01x(2)當x?(0,1)時,有

fX(x)??????f(x,y)dy??dy?2x;當x?(0,1)時,有fX(x)?0.即

?x?xx?2xx?(0,1)fX(x)???0x?(0,1)?1dxx?(0,1)?1?yx?(0,1)??y同理有fY(y)??1??1?yx?(0,1)dxx?(0,1)????y?由于fX(x)fY(y)?f(x,y),所以X與Y不是獨立的．又由于cov(X,Y)?0,所以X

三、利用切比雪夫不等式估計隨機變量X與其數(shù)學期望E(X)的差的絕對值大于三倍標準差

與Y是不相關的．

?(X)的概率．

解：P(??E??3D?)?D?1．?29(3D?)

四、為了確定事件A的概率，進行10000次重復獨立試驗．利用切比雪夫不等式估計：用事件A

在10000次試驗中發(fā)生的頻率作為事件A的概率的近似值時，誤差小于0.01的概率．解：設ξ表示“在10000次試驗中事件A的次數(shù)〞，則?E??np?10000?0.5?5000

于是有

~B(10000,0.5)且有

D??npq?1000?00.5?(1?0.5)?2500mnpqpq?p?0.01)?P(m?np?0.01p)?1??1?n(0.01p)2(0.01)2n?1?pq?1?0.25?0.75

P(

五、樣檢查產(chǎn)品質(zhì)量時，假使發(fā)現(xiàn)次品多于10個，則認為這批產(chǎn)品不能接受．應當檢查多少

個產(chǎn)品，可使次品率為10%的一批產(chǎn)品不被接受的概率達到0.9？

~B(n,0.1)，現(xiàn)要求n.

Eξ?0.1nDξ?0.09n

要使得P(ξ?10)?0.9，即P(10?ξ?n)?0.9，由于P(10?ξ?n)?0.9，所以

10?Eξξ?Eξn?Eξ10?0.1nξ?0.1nn?0.1nP(??)?P(??)

DξDξDξ0.3n0.3n0.3n10?0.1nξ?0.1n10?0.1n?P(??3n)?Φ0,1(3n)?Φ0,1()

0.3n0.3n0.3n0.1n?10Φ0,1(3n)?Φ0,1()?1（德莫威爾—Laplace定理）

0.3n解：設ξ表示“發(fā)現(xiàn)的次品件數(shù)〞，則ξ

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概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題解答第一章隨機事件及其概率

由于n?10，所以3n?5，從而有Φ0,1(0,1(3n)?1，故Φ0.1n?100.3n)?0.9．

查表有Φ0,1(1.28)?0.8997，故有

0.1n?100.3n?1.28，解得n?146.

答：應當檢查約146個產(chǎn)品，方可使次品率為10%的一批產(chǎn)品不被接受的概率達到0.9．

13正態(tài)分布的概率密度、分布函數(shù)、數(shù)學期望與方差

一、設隨機變量X聽從正態(tài)分布N(1,解：(1)P(?1.6?（2）P(X?4.56)．22)，求（1）P(?1.6?X?5.8)；

X?1?2.4)2?Φ0,1(2.4)?Φ0,1(?1.3)?Φ0,1(2.4)?[1?Φ0,1(1.3)]?0.9918?1?0.9032?0.8950X?5.8)?P(?2.6?X?1?4.8)?P(?1.3?X?1?1.78)2?1?[Φ)?Φ)]?1?Φ)?1?Φ)]0,1(1.780,1(?2.780,1(1.780,1(2.782?0.9625?0.9973?0.0402.

(2)P(X?4.56)?1?P(X?4.56)?1?P(?2.78?

二、已知某種機械零件的直徑X（mm）聽從正態(tài)分布N(100,0.6求這種機械零件的不合格品率．解：設

2)．規(guī)定直徑在100?1.2（mm）之間為合格品，

p表示這種機械零件的不合格品率，則p?P(X?100?1.2)?1?P(X?100?1.2)．

?1.2X?1001.2X?100??)?P(?2??2)0.60.60.60.6??(2)??(?2)??(2)?[1??(2)]?2?(2)?1?2?0.9772?1?0.9544故p?1?0.9544?0.0456．

而P(X?100?1.2)?P(

三、測量到某一目標的距離時發(fā)生的誤差X(m)具有概率密度

402?求在三次測量中至少有一次誤差的絕對值不超過30m的概率．

解：三次測量中每次誤差絕對值都超過30米可表為

f(x)?1e?(x?20)23200

D?{第一次ξ?30}?{其次次ξ?30}?{第三次ξ?30}

由于ξ~N(20,402)，所以由事件的相互獨立性，有

?(2?0.5987?0.8944)3?0.50693?0.13025P(D)?(P{ξ?30})3?(P{ξ??30?ξ?30})3?[Φ)?1?Φ)]30,1(?1.250,1(0.25于是有

P{三次測量中?至少有一次絕對值?30米}?1?P(D)?1?0.13025?0.86975．

．X~N(?,?2)，求隨機變量函數(shù)Y?eX的概率密度（所得的概率分布稱為對數(shù)正態(tài)分布）

解：由題設，知X的概率密度為四、設隨機變量

fX(x)?從而可得隨機變量Y的分布函數(shù)為

12??e?(x??)22?2(???x???)

FY(y)?P(Y?y)?P(eX?y)．

當y?0時，有FY(y)?0；此時亦有FY?(y)?0．當y?0時，有

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概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題解答第一章隨機事件及其概率

FY(y)?P(X?lny)?此時亦有FY?(y)?2??1lny??e?(x??)22?2dx．

?12??ye?(lny??)22?2．

從而可得隨機變量Y的概率密度為

?0,?(lny??)2?fY(y)??12?2e,?2??y?

五、設隨機變量X與Y獨立，(1)隨機變量函數(shù)Z1(2)隨機變量函數(shù)Z解：由題設，有E(X)(1)E(Z1)

2y?0;y?0.

2X~N(?1,?12)，Y~N(?2,?2)，求：

?aX?bY的數(shù)學期望與方差，其中a及b為常數(shù)；?XY的數(shù)學期望與方差．

2．從而有??1,D(X)??12；E(Y)??2,D(Y)??2?E(aX?bY)?E(aX)?E(bY)?aE(X)?bE(Y)?a?1?b?2；

2．D(Z1)?D(aX?bY)?D(aX)?D(bY)?a2D(X)?b2D(Y)?a2?12?b2?22(2)E(Z

)?E(XY)?E(X)E(Y)??1?2；

D(Z2)?D(XY)?E(X2Y2)?E2(XY)?E(X2)E(Y2)?E2(X)E2(Y)

?[D(X)?E2(X)][D(Y)?E2(Y)]?E2(X)E2(Y)

?D(X)D(Y)?D(X)E2(Y)?D(Y)E2(X)

2222??12?2??12?2??2?1．

?0，D(X)?16，D(Y)?25，并且

1４二維正態(tài)分布·正態(tài)隨機變量線性函數(shù)的分布·中心極限定理

四、設二維隨機變量(X,Y)聽從二維正態(tài)分布，已知E(X)?E(Y)cov(X,Y)?12，求(X,Y)的聯(lián)合概率密度．

解：已知?x??y?0，?x?16?4，?y?25?5，r?(X,Y)?cov(X,Y)?x?y?3．從而5316421?r2?1?()2?，1?r?．

5255進一步按公式度為

f(x,y)?12??x?y1?r2?12(1?r2)[e2(x??x)22r(x??x)(y??y)(y??y)??]22?x?x?y?y，可得(X,Y)的聯(lián)合概率密

f(x,y)?二、設隨機變量X與Y獨立，并且解：由題設，有

1e32?

?25(x23xyy2(??)32165025．

X~N(0,1)，Y~N(1,22)．求隨機變量Z?2X?Y?3的概率密度．

E(X)?0，D(X)?1，E(Y)?1，D(Y)?4．

又根據(jù)關于數(shù)學期望的定理和方差的定理以及獨立正態(tài)隨機變量線性組合的分布，我們有

E(Z)?E(2X?Y?3)?2E(X)?E(Y)?E(3)?2．D(Z)?D(2X?Y?3)?4D(X)?D(Y)?D(3)?8．

且Z~N(E(Z),D(Z))?N(2,8)，故隨機變量Z?2X?Y?3的概率密度為

21

概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題解答第一章隨機事件及其概率

fZ(z)?12?8e?(z?2)22?8?14?e?(z?2)216

(???z???)．

三、臺機床分別加工生產(chǎn)軸與軸襯．設隨機變量X軸襯的內(nèi)徑，已知徑之差在1~

(mm)表示軸的直徑，隨機變量Y(mm)表示

與Y是獨立的．假使軸襯的內(nèi)徑與軸的直

根據(jù)獨立正

X~N(50,0.32)，Y~N(52,0.42)，顯然X3(mm)之間，則軸與軸襯可以配套使用．求任取一軸與一軸襯可以配套使用的概率．

22解：由題設，知隨機變量X與Y是獨立的，且X~N(50,0.3)，Y~N(52,0.4)．設Z?Y?X態(tài)隨機變量線性組合的分布，我們有

四、100臺車床彼此獨立地工作著，每臺車床的實際工作時間占全部工作時間的80%，求：（1）任一時刻有70至86臺車床在工作的概率；（2）任一時刻有不少于80臺車床在工作的概率．解：設ξ表示“任一時刻正在工作的車床數(shù)〞，則?Z~N(52?(?1)?50,0.42?(?1)2?0.32)?N(2,0.52)．

根據(jù)題目假設，我們知道當1?Z?Y?X?3時，軸與軸襯可以配套使用．于是所求概率為

1?2Z?23?2Z?2P(1?Z?3)?P(??)?P(?2??2)??(2)??(?2)?2?(2)?1

0.50.50.50.521?0.954．4?2?0.977?~B(100,0.8)．

E??100?0.8?80．D??100?0.8?(1?0.8)?16．

86?8070?80)??0,1()??0,1(1.5)??0,1(?2.5)（1）P(70???86)??0,1(1616