本文格式為Word版，下載可任意編輯——概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（理工類，第四版）吳贛昌主編課后習(xí)題答案第四第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征4.1數(shù)學(xué)期望

習(xí)題1

設(shè)隨機(jī)變量X聽從參數(shù)為p的0-1分布，求E(X).解答：

依題意，X的分布律為

X01P1-pp由E(X)=∑i=1∞xipi,有

E(X)=0?(1-p)+1?p=p.

習(xí)題2

袋中有n張卡片，記有號碼1,2,…,n.現(xiàn)從中有放回抽出k張卡片來，求號碼之和X的期望.分析：.解答：

設(shè)Xi表示第i次取得的號碼，則X=∑i=1kXi,且

P{Xi=m}=1n,

其中m=1,2,?,n,i=1,2,?,k,故

E(Xi)=1n(1+2+?+n)=n+12,i=1,2,?,k,

從而

E(X)=∑i=1kE(Xi)=k(n+1)2.

習(xí)題3

某產(chǎn)品的次品率為0.1,檢驗(yàn)員每天檢驗(yàn)4次.每次隨機(jī)地抽取10件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，如發(fā)現(xiàn)其中的次品數(shù)多于1，就去調(diào)整設(shè)備.以X表示一天中調(diào)整設(shè)備的次數(shù)，試求E(X)(設(shè)諸產(chǎn)品是否為次品是相互獨(dú)立的).解答：

X的可能取值為0,1,2,3,4,且知X～b(4,p),其中

p=P{調(diào)整設(shè)備}

=1-C101×0.1×0.99-0.910≈0.2639,所以E(X)=4×p=4×0.2639=1.0556.

習(xí)題4

據(jù)統(tǒng)計(jì)，一位60歲的健康(一般體檢未發(fā)生病癥)者，在5年之內(nèi)依舊活著和自殺死亡的概率為p(0a),應(yīng)如何確定b才能使公司可期望獲益，若有m人參與保險(xiǎn)，公司可期望從中收益多少？解答：

令X=“從一個(gè)參保人身上所得的收益〞，由X的概率分布為

Xaa-bpkp1-p∴E(X)=ap+(a-b)(1-p)=a-b(1-p)>0,即a00,x≤0,工廠規(guī)定，出售的設(shè)備若在售出一年之內(nèi)損壞可予以調(diào)換.若工廠售出一臺設(shè)備贏利100元，調(diào)換一臺設(shè)備廠方需花300元，試求廠方出售一臺設(shè)備凈贏利的數(shù)學(xué)期望.解答：先求出利潤函數(shù)L(X).L(X)={100,X≥1-300+100=-200,X00,x≤0,求：(1)Y=2X的數(shù)學(xué)期望；(2)Y=e-2X的數(shù)學(xué)期望.解答：(1)E(Y)=E(2X)=∫-∞+∞2xf(x)dx=∫0+∞2xe-xdx=2.(2)E(e2X)=∫-∞+∞e-2xf(x)dx=∫0+∞e-3xdx=13.習(xí)題11設(shè)(X,Y)的分布律為Y\\X123-1010.20.10.00.10.00.30.10.10.1(1)求E(X),E(Y);(2)設(shè)Z=Y/X,求E(Z);(3)設(shè)Z=(X-Y)2,求E(Z).解答：(1)先求X與Y的邊緣分布律，然后求E(X),E(Y).X123pk0.40.20.4Y-101pk0.30.40.3所以E(X)=1×0.4+2×0.2+3×0.4=2.0,E(Y)=-1×0.3+0×0.4+1×0.3=0.(2)可以利用X,Y的聯(lián)合分布先求出Z的分布律，然后求E(Z),也可以利用定理直接求E(Z),下面采取直接求法.E(Z)=E(YX)=∑i∑jyjxipij=(-1×0.2+1×0.1)+(-12×0.1+12×0.1)+(-13×0+13×0.1)=-115.

(3)E(Z)=E[(X-Y)2]=∑i∑j(xi-yj)2pij

=(1-(-1))2×0.2+(1-0)2×0.1+(1-1)2×0.1

+32×0.1+22×0.0+12×0.1+42×0.0+32×0.3+22×0.1=5.

也可以利用期望的性質(zhì)求E(Z),得

E[(X-Y)2]=E(X2-2XY+Y2)

=E(X2)-2E(XY)+E(Y2)

=(12×0.4+22×0.2+32×0.4)-2[-1×0.2+1×0.1+(-2)×0.1+2×0.1+(-3)×0.0+3×0.1]+(-1)2×0.3+12×0.3=5.

習(xí)題12

設(shè)(X,Y)的概率密度為

f(x,y)={12y2,0≤y≤x≤10,其它,

求E(X),E(Y),E(XY),E(X2+Y2).解答：如右圖所示.

E(X)=∫-∞+∞∫-∞+∞xf(x,y)dxdy=∫01dx∫0xx?12y2dy=45,E(Y)=∫-∞+∞∫-∞+∞yf(x,y)dxdy=∫01dx∫0xy?12y2dy=35,E(XY)=∫-∞+∞∫-∞+∞xyf(x,y)dxdy=∫01dx∫0xxy?12y2dy=12,E(X2+Y2)=∫-∞+∞∫-∞+∞(x2+y2)f(x,y)dxdy

=∫01dx∫0x(x2+y2)?12y2dy=23+615=1615.習(xí)題13

設(shè)X和Y相互獨(dú)立，概率密度分別為

?1(x)={2x,0≤x≤10,其它,?2(y)={e-(y-5),y>50,其它,

求E(XY).解答：

解法一由獨(dú)立性.

E(XY)=E(X)?E(Y)=∫01x?2xdx∫0+∞ye-(y-5)dy=23×6=4.

解法二令z=y-5,則

E(XY)=E(X)?E(Y)=∫01x?2xdx?E(z+5)=23×(1+5)=4.

4.2方差

習(xí)題1

設(shè)隨機(jī)變量X聽從泊松分布，且P(X=1)=P(X=2),求E(X),D(X).解答：

由題設(shè)知，X的分布律為

P{X=k}=λkk!e-λ(λ>0)

由P{X=1}=P{X=2},得λ11!e-λ=λ22!e-λ，即

λ=0(舍去),λ=2.

所以E(X)=2,D(X)=2.習(xí)題2

以下命題中錯誤的是().

(A)若X～p(λ),則E(X)=D(X)=λ;

(B)若X聽從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，則E(X)=D(X)=1λ;(C)若X～b(1,θ),則E(X)=θ,D(X)=θ(1-θ);

(D)若X聽從區(qū)間[a,b]上的均勻分布，則E(X2)=a2+ab+b23.

解答：應(yīng)選(B).

E(X)=1λ,D(X)=1λ2.

習(xí)題3

設(shè)X1,X2,?,Xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且都聽從正態(tài)分布N(μ,σ2)(σ>0),則ξˉ=1n∑i=1nξi聽從的分布是ˉ.解答：

由多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布知：

有限個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合依舊聽從正態(tài)分布，且

E(Xˉ)=μ,D(Xˉ)=σ2n.

習(xí)題4

若Xi～N(μi,σi2)(i=1,2,?,n),且X1,X2,?,Xn相互獨(dú)立，則Y=∑i=1n(aiXi+bi)聽從的分布是.解答：

應(yīng)填N(∑i=1n(aiμi+bi),∑i=1nai2σi2).由多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布知：

有限個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合依舊聽從正態(tài)分布，且

E(Y)=∑i=1n(aiμi+bi),D(Y)=∑i=1nai2σi2.

習(xí)題5

設(shè)隨機(jī)變量X聽從泊松分布，且

3P{X=1}+2P{X=2}=4P{X=0},

求X的期望與方差.解答：

X的分布律為P{X=k}=λkk!e-λ,k=0,1,2,?,于是由已知條件得3×λ11!e-λ+2×λ22!e-λ=4×λ00!e-λ,即λ2+3λ-4=0,解之得λ=-4(舍),λ=1,故E(X)=λ=1,D(X)=λ=1.習(xí)題6設(shè)甲，乙兩家燈泡廠生產(chǎn)的壽命(單位：小時(shí))X和Y的分布律分別為X90010001100pi0.10.80.1Y95010001050pi0.30.40.3試問哪家工廠生產(chǎn)的燈泡質(zhì)量較好？解答：哪家工廠的燈泡壽命期望值大，哪家的燈泡質(zhì)量就好.由期望的定義有E(X)=900×0.1+1000×0.8+1100×0.1=1000,E(Y)=950×0.3+1000×0.4+1050×0.3=1000.今兩廠燈泡的期望值相等：E(X)=E(Y)=1000,即甲，乙兩廠的生產(chǎn)水平相當(dāng).這就需要進(jìn)一步考察哪家工廠燈泡的質(zhì)量比較穩(wěn)定，即看哪家工廠的燈泡壽命取值更集中一些，這就需要比較其方差.方差小的，壽命值較穩(wěn)定，燈泡質(zhì)量較好，則方差的定義式得D(X)=(900-1000)2×0.1+(1000-1000)2×0.8+(1100-1000)2×0.1=2200,D(Y)=(950-1000)2×0.3+(1000-1000)2×0.4+(1050-1000)2×0.3=1500.因D(X)>D(Y),故乙廠生產(chǎn)的燈泡質(zhì)量較甲廠穩(wěn)定.習(xí)題7已知X～b(n,p),且E(X)=3,D(X)=2,試求X的全部可能取值，并計(jì)算P{X≤8}.解答：\\becauseE(X)=np,D(X)=np(1-p),∴{np=3np(1-p)=2,即{n=9p=13,∴X的取值為：0,1,2,?,9,P{X≤8}=1-P{X=9}=1-(13)9.習(xí)題8設(shè)X～N(1,2),Y聽從參數(shù)為3的(泊松)分布，且X與Y獨(dú)立，求D(XY).解答：

\\becauseD(XY)=E(XY)2-E2(XY)=E(X2Y2)-E2(X)2(Y),

又\\becauseE(X2Y2)=∫-∞+∞∫-∞+∞x2y2f(x,y)dxdy=∫-∞+∞x2fX(x)dx∫-∞+∞y2fY(y)dy=E(X2)E(Y2),

∴D(XY)=E(X2)E(Y2)-E2(X)E2(Y)

=[D(X)+E2(X)][D(Y)+E2(Y)]-E2(X)E2(Y)=D(X)D(Y)+D(X)E2(Y)+D(Y)E2(X)=2×3+2×32+3×12=27.

習(xí)題9

設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,X3,X4相互獨(dú)立，且有

E(Xi)=i,D(Xi)=5-i,i=1,2,3,4,

又設(shè)Y=2X1-X2+3X3-12X4,求E(Y),D(Y).解答：

E(Y)=E(2X1-X2+3X3-12X4)=2E(X1)-E(X2)+3E(X3)-12E(X4)

=2×1-2+3×3-12×4=7,

D(Y)=4D(X1)+D(X2)+9D(X3)+14D(X4)=4×4+3+9×2+14×1=37.25.

習(xí)題10

5家商店聯(lián)營，它們每兩周售出的某種農(nóng)產(chǎn)品的數(shù)量(以kg計(jì))分別為X1,X2,X3,X4,X5.已知

X1～N(200,225),X2～N(240,240),X3～N(180,225),X4～N(260,265),X5～N(320,270),

X1,X2,X3,X4,X5相互獨(dú)立.

(1)求5家商店兩周的總銷售量的均值和方差；

(2)商店每隔兩周進(jìn)貨一次，為了使新的供貨到達(dá)前商店不會脫銷的概率大于0.99，問商店

的倉庫應(yīng)至少儲存該產(chǎn)品多少千克？解答：

(1)設(shè)總銷售量為X,由題設(shè)條件知

X=X1+X2+X3+X4+X5,

于是E(X)=∑i=15E(Xi)=200+240+180+260+320=1200,D(X)=∑i=15D(Xi)=225+240+225+265+270=1225.

(2)設(shè)商店的倉庫應(yīng)至少儲存y千克該產(chǎn)品，為使P{X≤y}>0.99,

求y.由(1)易知，X～N(1200,1225),

P{X≤y}=P{X-12023225≤y-12023225=Φ(y-12023225)>0.99.

查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得y-12023225=2.33,

y=2.33×1225+1200≈1282(kg).

習(xí)題11

設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,?,Xn相互獨(dú)立，且都聽從數(shù)學(xué)期望為1的指數(shù)分布，求

Z=min{X1,X2,?,Xn}

的數(shù)學(xué)期望和方差.解答：

Xi(i=1,2,?,n)的分布函數(shù)為

F(x)={1-e-x,x>00,其它,

Z=min{X1,X2,?,Xn}的分布函數(shù)為

FZ(z)=1-[1-F(z)]n={1-e-nz,z>00,其它,

于是E(Z)=∫0∞zne-nzdz=-ze-nz∣0∞+e-nzdz=1n,而

E(Z2)=∫0∞z2ne-nzdz=2n2,

于是

D(Z)=E(Z2)-(E(Z))2=1n2.

4.3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)

習(xí)題1

設(shè)(X,Y)聽從二維正態(tài)分布，則以下條件中不是X,Y相互獨(dú)立的充分必要條件是().

(A)X,Y不相關(guān)；(B)E(XY)=E(X)E(Y);(C)cov(X,Y)=0;(D)E(X)=E(Y)=0.

解答：應(yīng)選（D）。

當(dāng)(X,Y)聽從二維正態(tài)分布時(shí)，

不相關(guān)性?獨(dú)立性

若(X,Y)聽從一般的分布，則

X,Y相互獨(dú)立?X,Y不相關(guān)

反之未必.

習(xí)題2

設(shè)X聽從參數(shù)為2的泊松分布，Y=3X-2,試求E(Y),D(Y),cov(X,Y)及ρXY.解答：

E(Y)=E(3X-2)=3E(X)-2=3×2-2=4D(Y)=D(3X-2)=9D(X)=9×2=18,cov(X,Y)=cov(X,3X-2)=3D(X)=6,

ρXY=cov(X,Y)D(X)D(Y)=62?18=1.

習(xí)題3

設(shè)隨機(jī)變量X的方差D(X)=16,隨機(jī)變量Y的方差D(Y)=25,又X與Y的相關(guān)系數(shù)ρXY=0.5,求D(X+Y)與D(X-Y).解答：

D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)=D(X)+D(Y)+2D(X)D(Y)ρXY=16+25+2×4×5×0.5=61,

D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2cov(X,Y)=D(X)+D(Y)-2D(X)D(Y)ρXY=16+25-2×4×5×0.5=21.

習(xí)題4

設(shè)(X,Y)聽從單位圓域G:x2+y2≤1上的均勻分布，證明X,Y不相關(guān).解答：

E(XY)=∫∫x2+y2≤11πxydxdy=1π∫-11dxdy∫-1-x21-x2ydy=0,又

E(X)=∫∫x2+y2≤11πxdxdy=1π∫-11xdx∫-1-x21-x2dy=1π∫-112x1-x2dx=0,

同理，E(Y)=0,故

cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0,

即X,Y不相關(guān).習(xí)題5

設(shè)100件產(chǎn)品中的一，二，三等品率分別為0.8,0.1和0.1.現(xiàn)從中隨機(jī)地取1件，并記

Xi={1,取得i等品0,其它(i=1,2,3),

求ρX1X2.解答：

首先求(X1,X2)的聯(lián)合分布

P{X1=0,X2=0}=P{X3=1}=0.1,P{X1=0,X2=1}=P{X2=1}=0.1,

P{X1=1,X2=0}=P{X1=1}=0.8,P{X1=1,X2=1}=P(?)=0.

關(guān)于X1和X2的邊緣分布律為

P{X1=1}=0.8,P{X1=0}=0.2,P{X2=1}=0.1,P{X2=0}=0.9.

于是E(X1)=0.8,D(X1)=0.16;E(X2)=0.1,D(X2)=0.09.從而

ρX1X2=cov(X1,X2)D(X1)D(X2)=E(X1X2)-E(X1)E(X2)D(X1)D(X2)=1×0+0×0.8+0×0.1+0×0.1-0.080.4×0.3=-23.習(xí)題6

設(shè)X～N(μ,σ2),Y～N(μ,σ2),且X,Y相互獨(dú)立，試求Z1=αX+βY和Z2=αX-βY的相關(guān)系數(shù)(其中α,β是不為零的常數(shù)).解答：

cov(Z1,Z2)=cov(αX+βY,αX-βY)=α2cov(X,X)-β2cov(Y,Y)

=α2D(X)-β2D(Y)=(α2-β2)σ2,

D(Z1)=D(αX+βY)=α2D(X)+β2D(Y)+2αβcov(X,Y),D(Z2)=D(αX-βY)=α2D(X)+β2D(Y)-2αβcov(X,Y).

由于X,Y相互獨(dú)立，所以cov(X,Y)=0,故

D(Z1)=(α2+β2)σ2,D(Z2)=(α2+β2)σ2,

相關(guān)系數(shù)ρ=cov(Z1,Z2)D(Z1)D(Z2)=α2-β2α2+β2.習(xí)題7

設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)具有概率密度

f(x,y)={18(x+y),0≤x≤2,0≤y≤20,其它,

求E(X),E(Y),cov(X,Y),ρXY,D(X+Y).解答：

E(X)=∫-∞+∞∫-∞+∞xf(x,y)dydx=∫02∫02x?18(x+y)dydx=76.

由對稱性知，E(Y)=76,

E(XY)=∫-∞+∞∫-∞+∞xyf(x,y)dxdy=∫02∫02xy?18(x+y)dxdy

=∫0218(83y+2y2)dy=43,

于是cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=43-76×76=-136，

E(X2)=∫02∫02x2?18(x+y)dydx=14∫02(x3+x2)dx=53.

由對稱性知，E(Y2)=53,故

D(X)=E(X2)-[E(X)]2=53-(76)2=1136,D(Y)=1136,

ρXY=cov(X,Y)D(X)D(Y)=-1361136=-111,

D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)=1136+1136-2×136=59.

習(xí)題8

設(shè)隨機(jī)變(X,Y)的分布律為

Y\\X-101

-1011/81/81/81/801/81/81/81/8驗(yàn)證X和Y是不相關(guān)的，且X和Y不相互獨(dú)立.解答：

先求X,Y的邊緣分布律

X-101Y-101pk3/82/83/8pk3/82/83/8由于p00≠p0?p?0,所以X與Y不是獨(dú)立的，又

E(X)=-1×38+1×38=0,E(Y)=-1×38+1×38=0,E(XY)=(-1)×(-1)×18+(-1)×1×18+1×(-1)×18+1×1×18=0,

于是cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0,即ρXY=0.因此，X與Y是不相關(guān)的.習(xí)題9

設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為

f(x,y)={1/π,x2+y2≤10,其它,

試驗(yàn)證X和Y是不相關(guān)的，且X和Y不相互獨(dú)立.解答：

首先求fX(x)和fY(y).

fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy={∫-1-x21-x21πdy=2π1-x2,-1≤x≤10,其它,fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx={∫-1-y21-y21πdx=2π1-y2,-1≤y≤10,其它,

E(X)=∫-∞+∞fX(x)dx=∫-11x?2π1-x2dx=0,

同理可得E(Y)=0,

E(XY)=∫-∞+∞∫-∞+∞xyf(x,y)dxdy=∫∫x2+y2≤11πxydxdy=0.

因此cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0,即

ρXY=0,

故X與Y是不相互獨(dú)立的.

又由于f(x,y)≠fX(x)fY(y),故X與Y不是相互獨(dú)立的.習(xí)題10

設(shè)(X,Y)聽從二維正態(tài)分布，且X～N(0,3),Y～N(0,4),相關(guān)系數(shù)ρXY=-1/4,試寫出X與

Y的聯(lián)合概率密度.

解答：

依題意知，二維正態(tài)分布5個(gè)參數(shù)分別為

μ1=0,μ2=0,σ12=3,σ22=4,ρXY=-14,

故X,Y的聯(lián)合概率密度為

f(x,y)=12π?325e-115/8[x23-2(-14)x3?y2+y24]=135πe-815(x23+xy43+y24).

習(xí)題11

設(shè)(X,Y)聽從二維正態(tài)分布，且有D(X)=σX2,D(Y)=σY2.證明：當(dāng)a2=σX2σY2時(shí)隨機(jī)變量W=X-aY與V=X+aY相互獨(dú)立.解答：

根據(jù)多維正態(tài)分布的性質(zhì)可知，由于(X,Y)聽從二維正態(tài)分布，故W與V的聯(lián)合分布也是二維正態(tài)分布.又知，二維正態(tài)分布二分量間相互獨(dú)立與不相關(guān)是等價(jià)的，因此，欲證明W與V相互獨(dú)立，也就是要證cov(W,V)=0,為此求cov(W,V).

cov(W,V)=cov(X-aY,X+aY)=D(X)-a2D(Y)=σX2-a2σY2.

令cov(W,V)=0,即σX2-a2σY2=0,則得a2=σX2σY2,故證得當(dāng)a2=σX2σY2時(shí)，隨機(jī)變量W與V相互獨(dú)立，其中

W=X+aY,V=X+aY.

習(xí)題12

設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為

f(x)={0.5x,00為常數(shù)，求X的k階中心矩.解答：

由于E(X)=∫-∞+∞xf(x)dx=12λ∫-∞+∞xe-∣x∣λdx=0,所以μk=E([X-E(X)]k)=E(Xk)=12λ∫-∞+∞xke-∣x∣λdx.因此，當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，可得μk=0.當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，有

μk=12λ∫0+∞xke-xλdx+12λ∫-∞0xkexλdx=1λ∫0+∞xke-xλdx=λk∫0+∞tke-tdt=λkΓ(k+1)=λk?k!,故μk={0,k為奇數(shù)時(shí)λkk!,k為偶數(shù)時(shí).4.4大數(shù)定理與中心極限定理

習(xí)題1

一顆骰子連續(xù)擲4次，點(diǎn)數(shù)總和記為X,估計(jì)P{100,limn→∞P(∣Xn-a∣≥?)=0.由依概率收斂定義即可得到結(jié)果.

習(xí)題4

設(shè)總體X聽從參數(shù)為2的指數(shù)分布，X1,X2,?,Xn為來自總體X的一個(gè)樣本，則當(dāng)n→∞,Yn=1n∑i=1nXi2依概率收斂于.解答：應(yīng)填：1/2.

由題設(shè)，可知Xi～e(2),因此

E(Xi2)=D(Xi)+E(Xi2)=1λ2+1λ2=2λ2=12.

根據(jù)切比雪夫大數(shù)定律的推廣：若X1,X2,?具有一致的數(shù)學(xué)期望E(Xi)=μ,則對于任意的正數(shù)?,有

limx→∞P(∣1n∑i=1nXi-μ∣1920=P{∑i=116Xi-16×100400>1920-1600400≈1-Φ(320400)=1-Φ(0.8)=1-0.7881=0.2119.

習(xí)題9

檢驗(yàn)員逐個(gè)地檢查某種產(chǎn)品，每次花10秒鐘檢查一個(gè)，但也可能有的產(chǎn)品需要重復(fù)檢查一次再用去10秒鐘，假定每個(gè)產(chǎn)品需要重復(fù)檢查的概率為12,求在8小時(shí)內(nèi)檢驗(yàn)員檢查的產(chǎn)品多于1900個(gè)的概率是多少？分析：解答：

換言之，即求檢查1900個(gè)產(chǎn)品所花的時(shí)間不超過8小時(shí)的概率.設(shè)Xi為檢查第i個(gè)產(chǎn)品所需的時(shí)間，則X1,X2,?,X1900為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，S=∑i=11900Xi為檢查1900個(gè)產(chǎn)品所需的總時(shí)間.由題設(shè)，有

Xi={10,第i個(gè)產(chǎn)品沒有重復(fù)檢驗(yàn)20,第i個(gè)產(chǎn)品重復(fù)檢驗(yàn),

且P{Xi=10}=P{Xi=20}=12,i=1,2,?,于是

μ=E(Xi)=10×12+20×12=15,E(Xi2)=102×12+202×12=250(i=1,2,?),

σ2=D(Xi)=E(Xi2)-[E(Xi)]2=25.

由獨(dú)立同分布中心極限定理，有

S～近似N(1900×15,1900×25)=N(28500,47500),

故所求之概率為

P{S≤8×3600}=近似P{S≤28800}≈Φ(28800-2850047500)=Φ(3005019)=Φ(619)=0.9162.

習(xí)題10

某車間有同型號機(jī)床200部，每部開動的概率為0.7,假定各機(jī)床開關(guān)是獨(dú)立的，開動時(shí)每部要消耗電能15個(gè)單位，問電廠最少要供應(yīng)這個(gè)車間多少電能，才能以95%的概率保證不致于因供電不足而影響生產(chǎn).解答：

記200部機(jī)床中開動的機(jī)床部數(shù)為X,則

X～b(200,0.7),

由中心極限定理，

P{X≤k}≈Φ(k-200×0.7200×0.7×0.3)≥0.95,

查表得k-14042=1.65,解得k≈151,所需電量151×15=2265個(gè)單位.

習(xí)題11

某電視機(jī)廠每月生產(chǎn)一萬臺電視機(jī)，但它的顯像管車間的正品率為0.8,為了以0.997的概率保證出廠的電視機(jī)都裝上正品的顯像管，問該車間每月生產(chǎn)多少只顯像管？

設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為

f(x)={ax2+bx+c,02000≤0.05,求n？

∑i=1nXi～N(50n,n?2.52),所以

P{∑i=1nXi>2000=P{∑i=1nXi-50n2.5n>2000-50n2.5n=1-Φ(2000-50n2.5n)≤0.05,即Φ(4000-100n5n)≥0.95,

查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得4000-100n5n=1.645.

由方程400n2-32023.706n+800=0解得n≈39.483(袋),故最多裝n=39袋才能使總重量超過2000kg的概率不大于0.05.

習(xí)題13

設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,X3相互獨(dú)立，其中X1在[0,6]上聽從均勻分布，X2聽從參數(shù)λ=1/2的指數(shù)分布，X3聽從參數(shù)λ=3的泊松分布，記Y=X1-2X2+3X3,求D(Y).解答：

因X1在[0,6]上聽從均勻分布，故D(X1)=(6-0)212=3;又因X2～e(1/2),X3～P(3),故

D(X2)=1/(1/2)2=4,D(X3)=3.

因X1、X2、X3相互獨(dú)立，根據(jù)方差的性質(zhì)得D(Y)=D(X1-2X2+3X3)=D(X1)+4D(X2)+9D(X3)=3+4×4+9×3=46.

習(xí)題14

設(shè)X聽從參數(shù)為1的指數(shù)分布，且Y=X+e-2X,求E(Y)與D(Y).解答：

由于X聽從λ=1的指數(shù)分布，因此E(X)=1,D(X)=1,E(X2)=D(X)+(E(X))2=2,

E(Y)=E(X+e-2X)=E(X)+E(e-2X)=1+∫0+∞e-2xe-xdx=1+1/3=4/3,

E(Y2)=E((X)+e-2X)2)=E(X2+2Xe-2X+e-4X),E(Xe-2X)=∫0+∞xe-2xe-xdx=∫0+∞xe-3xdx=19,E(e-4X)=∫0+∞e-4xe-xdx=∫0+∞e-5xdx=15,E(X2)+2E(Xe-2X)+E(e-4X)=2+2/9+1/5=109/45,D(Y)=E(Y2)-(E(Y))2=109/45-16/9=29/45.習(xí)題15

已知X～N(1,32),Y～N(0,42),ρXY=-12,設(shè)Z=X3+Y2,求Z的期望與方差及X與Z的相關(guān)系數(shù).解答：

由已知，E(X)=1,D(X)=32,E(Y)=0,D(Y)=42,所以E(Z)=E(X3+Y2)=13E(X)+12E(Y)=13,

D(Z)=D(X3+Y2)=132D(X)+14D(Y)+2×13×12Cov(X,Y)=1+4+13×ρXY×D(X)D(Y)=5+13×(-12)×3×4=3,

ρXZ=cov(X,Z)D(X)D(Z)=cov(X,13X+12Y)D(X)D(Y)=13D(X)+12cov(X,Y)D(X)D(Z)

=D(X)3D(Z)+ρXY?D(Y)2D(Z)=333-443=0.習(xí)題16

設(shè)X,Y的概率密度為

f(x,y)={1,∣y∣≤x,0≤x≤10,其它,

(1)求關(guān)于X,Y的邊緣概率密度；

(2)求E(X),E(Y)及D(X),D(Y);(3)求cov(X,Y).

解答：

(1)當(dāng)0≤x≤1時(shí)，fX(x)=∫-xx1dy=2x,故fX(x)={2x,0≤x≤10,其它；

當(dāng)0≤y≤1時(shí)，fY(y)=∫y11dx=1-y；

當(dāng)-1≤y≤0時(shí)，fY(y)=∫-y11dx=1+y，故

fY(y)={1+y,-1≤y≤01-y,0≤y≥10,其它={1-∣y∣,當(dāng)-1≤y≤10,其它.

(2)先畫出f(x,y)不為0的區(qū)域G

E(X)=∫01x?2xdx=23,E(X2)=∫01x2?2xdx=12,故

D(X)=12-(23)2=118,E(Y)=∫-11y(1-∣y∣)dy=0,E(Y2)=∫-11y2(1-∣y∣)dy=2∫01y2(1-y)dy=16,故D(Y)=16.

(3)E(XY)=∫∫Gxydy=∫01dx∫-xxxydy=0,故

cov(X,Y)=0.

習(xí)題17

設(shè)隨機(jī)變量X～U(0,1),Y～U(1,3),X與Y相互獨(dú)立，求E(XY)與D(XY).解答：

由于fX(x)={1,00,故a=3為微小點(diǎn)，也是最小點(diǎn)，所以，當(dāng)a=3時(shí)E(W)最小，且最小E(W)值為108.

習(xí)題20

某班有學(xué)生n名，開新年聯(lián)歡會，每人帶一份禮物互贈，禮物集中放在一起，并將禮物編了號，當(dāng)交換禮物時(shí)，每人隨機(jī)地拿到一個(gè)號碼，并以此去領(lǐng)取禮物，試求恰好拿到自己準(zhǔn)備的禮物的人數(shù)X的期望和方差.解答：設(shè)隨機(jī)變量

Xi={1,若第i人拿到自己準(zhǔn)備的禮物0,若第i個(gè)人未拿到自己準(zhǔn)備的禮物

(i=1,2,?,n),

顯然有X=∑i=1nXi,易知

P{Xi=1}=1n,P{Xi=0}=1-1n,i=1,2,?,n,E(X)=1,

由于X1,X2,?,Xn不相互獨(dú)立，因此

D(X)=∑i=1nD(Xi)+2∑1≤i≤j≤n∑cov(Xi,Xj),

而

D(Xi)=E(Xi2)-[E(Xi)]2=P{Xi2=1}-(1n)2=1n-1n2=1n(1-1n),

cov(Xi,Xj)=E(XiXj)-E(Xi)E(Xj),

XiXj取值為0,1,定義：

P{XiXj=1}=P{Xi=1,Xj=1}=P{Xi=1}P{Xj=1∣Xi=1}=1n?1n-1,

于是E(XiXj)=1?P{XiXj=1}=1n(n-1),因而

cov(Xi,Xj)=1n(n-1)-1n2=1n2(n-1),

所以D(X)=n?1n(1-1n)+2Cn2?1n2(n-1)=n-1n+1n=1.

習(xí)題21

設(shè)A