空間幾何體之球的表面積與體積專題訓練一．選擇題（共30小題）1．（2011?遼寧）已知球的直徑SC=4，A，B是該球球面上的兩點，AB=，∠ASC=∠BSC=30°，則棱錐S﹣ABC的體積為（）A．3B．2C．D．12．（2011?遼寧）己知球的直徑SC=4，A，B是該球球面上的兩點．AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，則棱錐S﹣ABC的體積為（）A．B．C．D．3．（2008?湖北）用與球心距離為1的平面去截球，所得的截面面積為π，則球的體積為（）A．B．C．D．4．（2014?陜西）已知底面邊長為1，側(cè)棱長為的正四棱柱的各頂點均在同一球面上，則該球的體積為（）A．B．4πC．2πD．5．（2014?四川模擬）三棱錐S﹣ABC的所有頂點都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又SA=AB=BC=1，則球O的表面積為（）C．3πA．B．D．12π6．（2014?鄭州一模）已知四面體ABCD中，AB=AD=6，AC=4，CD=2，AB⊥平面ACD，則四面體ABCD外接球的表面積為（）A．36πB．88πC．92πD．128π7．（2014?貴陽模擬）已知正三棱柱ABC﹣A′B′C′的所有頂點都在球O的球面上，AB=3，AA′=2，則球O的體積為（）第1頁（共24頁）A．B．C．D．8．（2014?鄭州模擬）已知四面體P﹣ABC的四個頂點都在球O的球面上，若PB⊥平面ABC，AB⊥AC，且AC=1，PB=AB=2，則球O的表面積為（）A．7πB．8πC．9πD．10π9．（2014?烏魯木齊三模）點若四面體ABCD體積的最大值為，則該球的表面積為（）A．B．8πC．9πA，B，C，D在同一個球的球面上，AB=BC=2，AC=2，D．12π10．（2014?寶山區(qū)二模）若圓柱的底面直徑和高都與球的直徑相等，圓柱、球的表面積分別記為S1、S2，則S1：S2=（）A．1：1B．2：1C．3：2D．4：111．（2014?山東模擬）三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，且底面是邊長為2的等邊三角形，其正視圖（如圖所示）的面積為8，則該三棱柱外接球的表面積為（）A．B．C．D．24π12（．2014?河南模擬）四面體ABCD中，已知AB=CD=，AC=BD=，AD=BC=，則四面體ABCD的外接球的表面積為（）A．25πB．45πC．50πD．100π13．（2014?沈陽二模）四面體ABCD的四個頂點都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是邊長為3的等邊三角形．若AB=2，則球O的表面積為（）第2頁（共24頁）A．B．12πC．16πD．32π14．（2014?石家莊模擬）已知球O，過其球面上A，B，C三點作截面，若O點到該截面的距離等于球半徑的一半，且AB=BC=2，∠B=120°，則球O的表面積為（）D．A．B．C．4π15．（2014?濱州二模）如圖，一個正三棱柱的左（側(cè)）視圖是邊長為的正方形，則它的外接球的表面積等于（）A．8πB．C．9πD．ππ16．（2014?興安盟一模）在三棱椎A(chǔ)﹣BCD中，側(cè)棱AB，AC，AD兩兩垂直，△ACD，△ADB的面積分別為，，，則該三棱椎外接球的表面積為（）A．2πB．6πC．πD．24π△ABC，17．（2013?文昌模擬）已知三棱錐P﹣ABC的四個頂點均在半徑為1的球面上，且滿足?=0，?=0，?=0，則三棱錐P﹣ABC的側(cè)面積的最大值為（）A．2B．1C．D．18．（2012?寧波模擬）設(shè)長方體的長、寬、高分別為2a、a、a，其頂點都在一個球面上，則該球的表面積為（）A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa219．（2013?牡丹江一模）三棱錐A﹣BCD的外接球為球O，球O的直徑是AD，且△ABC、△BCD都是邊長為1的等邊三角形，則三棱錐A﹣BCD的體積是（）A．B．C．D．第3頁（共24頁）20．（2012?黑龍江）平面α截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為，則此球的體積為（）A．πB．4πC．4πD．6π21．（2012?江西校級模擬）球O的球面上有四點S，A，B，C，其中O，A，B，C四點共面，△ABC是邊長為2的正三角形，面SAB⊥面ABC，則棱錐S﹣ABC的體積的最大值為（）A．B．C．D．22．（2012?河北模擬）已知正四棱錐的側(cè)棱與底面的邊長都為，則這個四棱錐的外接球的表面積為（）A．12πB．36πC．72πD．108π23．（2012?洛陽模擬）已知三棱錐S﹣ABC的所有頂點都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，則球O的表面積為（）A．4πB．12πC．16πD．64π24．（2012?鐘祥市校級模擬）A，B，C，D是同一球面上的四個點，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=6，則該球的體積為（）A．B．48πC．D．25．（2011?臨汾校級模擬）在三棱錐△ACD，△ADB的面積分別為，，，則該三棱錐的體積為（）A．B．C．6D．2A﹣BCD中，側(cè)棱AB，AC，AD兩兩垂直，△ABC，26．（2010?成都二模）在棱錐P﹣ABC中，側(cè)棱PA、PB、PC兩兩垂直，Q為底面△ABC內(nèi)一點，若點Q到三個側(cè)面的距離分別為3、4、5，則以線段PQ為直徑的球的表面積為（）A．100πB．50πC．25πD．27．（2010?宜春校級模擬）在正三棱錐S﹣ABC中，M、N分別是棱SC、BC的中點，且MN⊥AM．若側(cè)棱，則正三棱錐S﹣ABC外接球的表面積是第4頁（共24頁）（）A．12πB．32πC．36πD．48π28．（2010?朝陽區(qū)二模）一個正方體的所有頂點都在同一球面上，若球的體積是，則正方體的表面積是（）A．8B．6C．4D．329．（2009?長寧區(qū)二模）過球的一條半徑的中點，作垂直于該半徑的平面，則所得截面的面積與球的表面積的比為（）A．B．C．D．30．（2006?安徽）表面積為的正八面體的各個頂點都在同一個球面上，則此球的體積為（）A．B．C．D．第5頁（共24頁）空間幾何體之球的表面積與體積專題訓練參考答案與試題解析一．選擇題（共30小題）1．（2011?遼寧）已知球的直徑SC=4，A，B是該球球面上的兩點，AB=，∠ASC=∠BSC=30°，則棱錐S﹣ABC的體積為（）A．3B．2C．D．1考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積．專題：計算題；壓軸題．分析：設(shè)球心為點O，作AB中點D，連接OD，CD，說明SC是球的直徑，利用余弦定理，三角形的面積公式求出S△SCD，和棱錐的高AB，即可求出棱錐的體積．解答：解：設(shè)球心為點O，作AB中點D，連接OD，CD因為線段SC是球的直徑，所以它也是大圓的直徑，則易得：∠SAC=∠SBC=90°所以在Rt△SAC中，SC=4，∠ASC=30°得：AC=2，SA=2又在Rt△SBC中，SC=4，∠BSC=30°得：BC=2，SB=2則：SA=SB，AC=BC因為點D是AB的中點所以在等腰三角形ASB中，SD⊥AB且SD===在等腰三角形CAB中，CD⊥AB且CD===又SD交CD于點D所以：AB⊥平面SCD即：棱錐S﹣ABC的體積：V=AB?S△SCD，因為：SD=，CD=，SC=4所以由余弦定理得：cos∠SDC=（SD2+CD2﹣SC2）=（+﹣16）==則：sin∠SDC==由三角形面積公式得△SCD的面積S=SD?CD?sin∠SDC==3所以：棱錐S﹣ABC的體積：V=AB?S△SCD==故選C點評：本題是中檔題，考查球的內(nèi)接棱錐的體積的求法，考查空間想象能力，計算能力，有難度第6頁（共24頁）的題目，?？碱}型．2．（2011?遼寧）己知球的直徑SC=4，A，B是該球球面上的兩點．AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，則棱錐S﹣ABC的體積為（）A．B．C．D．考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積；球內(nèi)接多面體．專題：計算題．分析：由題意求出SA=AC=SB=BC=2，∠SAC=∠SBC=90°，說明球心O與AB的平面與SC垂直，求出OAB的面積，即可求出棱錐S﹣ABC的體積．解答：解：如圖：由題意球的直徑SC=4，A，B是該球球面上的兩點．AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，求出SA=AC=SB=BC=2，∠SAC=∠SBC=90°，所以平面ABO與SC垂直，則進而可得：VS﹣ABC=VC﹣AOB+V，SAOB﹣所以棱錐S﹣ABC的體積為：故選C．=．點評：本題是基礎(chǔ)題，考查球的內(nèi)接三棱錐的體積，考查空間想象能力，計算能力，球心O與AB的平面與SC垂直是本題的解題關(guān)鍵，常考題型．3．（2008?湖北）用與球心距離為1的平面去截球，所得的截面面積為π，則球的體積為（）A．B．C．D．考點：球的體積和表面積．專題：計算題．分析：做該題需要將球轉(zhuǎn)換成圓，再利用圓的性質(zhì)，獲得球的半徑，解出該題即可．解答：解：截面面積為π?截面圓半徑為1，又與球心距離為1?球的半徑是，所以根據(jù)球的體積公式知，故選B．點評：本題考查學生的空間想象能力，以及學生對圓的性質(zhì)認識，進一步求解的能力，是基礎(chǔ)題．第7頁（共24頁）4．（2014?陜西）已知底面邊長為1，側(cè)棱長為的正四棱柱的各頂點均在同一球面上，則該球的體積為（）A．B．4πC．2πD．考點：球的體積和表面積．專題：計算題；空間位置關(guān)系與距離．分析：由長方體的對角線公式，算出正四棱柱體對角線的長，從而得到球直徑長，得球半徑R=1，最后根據(jù)球的體積公式，可算出此球的體積．解答：解：∵正四棱柱的底面邊長為1，側(cè)棱長為，∴正四棱柱體對角線的長為=2又∵正四棱柱的頂點在同一球面上，∴正四棱柱體對角線恰好是球的一條直徑，得球半徑R=1根據(jù)球的體積公式，得此球的體積為V=πR3=π．故選：D．點評：本題給出球內(nèi)接正四棱柱的底面邊長和側(cè)棱長，求該球的體積，考查了正四棱柱的性質(zhì)、長方體對角線公式和球的體積公式等知識，屬于基礎(chǔ)題．5．（2014?四川模擬）三棱錐S﹣ABC的所有頂點都在球又SA=AB=BC=1，則球O的表面積為（）A．B．C．3πO的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，D．12π考點：球的體積和表面積．專題：計算題；球．分析：根據(jù)題意，三棱錐S﹣ABC擴展為正方體，正方體的外接球的球心就是正方體體對角線的中點，求出正方體的對角線的長度，即可求解球的半徑，從而可求三棱錐S﹣ABC的外接球的表面積．解答：解：三棱錐S﹣ABC的所有頂點都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又SA=AB=BC=1，三棱錐擴展為正方體的外接球，外接球的直徑就是正方體的對角線的長度，∴球的半徑R==．球的表面積為：4πR2=4故選：C．=3π．第8頁（共24頁）點評：本題考查三棱錐S﹣ABC的外接球的表面積，解題的關(guān)鍵是確定三棱錐S﹣ABC的外接球的球心與半徑．6．（2014?鄭州一模）已知四面體ABCD中，AB=AD=6，AC=4，CD=2，AB⊥平面ACD，則四面體ABCD外接球的表面積為（）A．36πB．88πC．92πD．128π考點：球的體積和表面積．專題：計算題．分析：根據(jù)條件構(gòu)造長方體，求出長方體的對角線的長，就是外接球的直徑，然后求出表面積．解答：解：∵AB=AD=6，AC=4，CD=2，∴CD2=AD2+AC2，即DA⊥AC，∵AB⊥平面ACD，∴四面體ABCD是長方體的一部分，如圖，構(gòu)造長方體，長方體的對角線的長為l==2，∴長方體的體對角線就是外接球的直徑，外接球的直徑2r=，即r=，所以球的表面積為：4π（）2=88π．故選：B．點評：本題主要考查球的表面積公式，以及球內(nèi)接長方體的關(guān)系，要求熟練掌握長方體的體對角線和球直徑之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．利用四面體的邊長關(guān)系構(gòu)造長方體是解決本題的突破點．第9頁（共24頁）7．（2014?貴陽模擬）已知正三棱柱ABC﹣A′B′C′的所有頂點都在球O的球面上，AB=3，AA′=2，則球O的體積為（）A．B．C．D．考點：球的體積和表面積．專題：計算題．分析：根據(jù)正三棱柱的對稱軸，求出球的半徑，即可求球的體積．解答：解：由題意可知：正三棱柱的底面中心的連線的中點就是外接球的球心，∵AB=BC=AC=3，∴BD=，OD=AA′=1，∴外接球的半徑OB=，．∴外接球的體積為πR3=故選：C．點評：本題考查正三棱柱的外接球的表面積的求法，找出球的球心是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力，計算能力．8．（2014?鄭州模擬）已知四面體P﹣ABC的四個頂點都在球O的球面上，若PB⊥平面ABC，AB⊥AC，且AC=1，PB=AB=2，則球O的表面積為（）A．7πB．8πC．9πD．10π考點：球的體積和表面積．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：根據(jù)條件，根據(jù)四面體P﹣ABC構(gòu)造長方體，然后根據(jù)長方體和球的直徑之間的關(guān)系，即可求出球的半徑．解答：解：∵∴構(gòu)造長方體，則長方體的外接球和四面體的外接球是相同的，則長方體的體對角線等于球的直徑2R，PB⊥平面ABC，AB⊥AC，且AC=1，PB=AB=2，則2R=，∴R=，第10頁（共24頁）則球O的表面積為4πR2=4=9π，故選：C．點評：本題主要考查空間幾何體的位置關(guān)系，利用四面體構(gòu)造長方體是解決本題的關(guān)鍵，利用長方體的體對角線等于球的直徑是本題的突破點．9．（2014?烏魯木齊三模）點面體ABCD體積的最大值為，則該球的表面積為（A．B．8πC．9πA，B，C，D在同一個球的球面上，AB=BC=2，AC=2，若四）D．12π考點：球的體積和表面積．專題：計算題；球．分析：根據(jù)幾何體的特征，判定外接球的球心，求出球的半徑，即可求出球的表面積．解答：解：根據(jù)題意知，△ABC是一個直角三角形，其面積為1．其所在球的小圓的圓心在斜邊AC的中點上，設(shè)小圓的圓心為Q，若四面體ABCD的體積的最大值，由于底面積S△ABC不變，高最大時體積最大，所以，DQ與面ABC垂直時體積最大，最大值為×S△ABC×DQ=，S△ABC=AC?BQ=即××DQ=，∴DQ=2，如圖．設(shè)球心為O，半徑為R，則在直角△AQO中，OA2=AQ2+OQ2，即R=（）222+（2﹣R），∴R=則這個球的表面積為：S=4π（）2=9π；故選：C．第11頁（共24頁）點評：本題考查的知識點是球內(nèi)接多面體，球的表面積，其中分析出何時四面體ABCD的體積的最大值，是解答的關(guān)鍵．10．（2014?寶山區(qū)二模）若圓柱的底面直徑和高都與球的直徑相等，圓柱、球的表面積分別記為S1、S2，則S1：S2=（）A．1：1B．2：1C．3：2D．4：1考點：球的體積和表面積．專題：計算題．分析：根據(jù)圓柱的底面直徑和高都與球的直徑相等，設(shè)為球的半徑為1，結(jié)合圓柱的表面積的公式以及球的表面積即可得到答案．解答：解：由題意可得：圓柱的底面直徑和高都與球的直徑相等，設(shè)球的半徑為1，所以等邊圓柱的表面積為：S=6π，1球的表面積為：S=4π．2所以圓柱的表面積與球的表面積之比為S1：S2=3：2．故選C．點評：本題考查幾何體的表面積，考查計算能力，特殊值法，在解題中有是有獨到功效，是基礎(chǔ)題．11．（2014?山東模擬）三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，且底面是邊長為2的等邊三角形，其正視圖（如圖所示）的面積為8，則該三棱柱外接球的表面積為（）A．B．C．D．24π第12頁（共24頁）考點：球的體積和表面積；簡單空間圖形的三視圖．專題：球．分析：由題意推出三棱柱上下底面中點連線的中點，到三棱柱頂點的距離相等，說明中心就是外接球的球心，求出球的半徑，即可求出外接球的表面積．解答：解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的中，底面邊長為2，正視圖（如圖所示）的面積為8，∴棱柱的高為4，由題意可得：三棱柱上下底面中點連線的中點，到三棱柱頂點的距離相等，說明中心就是外接球的球心，∴正三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的球心為O，外接球的半徑為r，球心到底面的距離為2，底面中心到底面三角形的頂點的距離為：=，∴球的半徑為r=．2外接球的表面積為：4πr=4π=．故選：C．點評：本題考查空間想象能力，計算能力；三棱柱上下底面中點連線的中點，到三棱柱頂點的距離相等，說明中心就是外接球的球心，是本題解題的關(guān)鍵，仔細觀察和分析題意，是解好數(shù)學題目的前提．12．（2014?河南模擬）四面體ABCD中，已知AB=CD=，AC=BD=，AD=BC=，則四面體ABCD的外接球的表面積為（）A．25πB．45πC．50πD．100π考點：球的體積和表面積．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：將四面體補成長方體，通過求解長方體的對角線就是球的直徑，然后求解外接球的表面積．解答：解：由題意可采用割補法，考慮到四面體ABCD的四個面為全等的三角形，所以可在其每個面補上一個以，，為三邊的三角形作為底面，且以分別x，錐，從而可得到一個長、寬、高分別為x，y，z的長方y(tǒng)，z長、兩兩垂直的側(cè)棱的三棱第13頁（共24頁）22體，并且x+y=29，x2+z2=34，y2+z2=37，=x+y2+z2=50（R為球的半徑），得222則有（2R）R=，所以球的表面積為S=4πR2=50π．故選：C．點評：本題考查幾何體的外接球的表面積的求法，割補法的應(yīng)用，判斷外接球的直徑是長方體的對角線的長是解題的關(guān)鍵之一．13．（2014?沈陽二模）四面體ABCD的四個頂點都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCDO的表面積為（）C．16πD．32π是邊長為3的等邊三角形．若AB=2，則球A．B．12π考點：球的體積和表面積．專題：球．分析：取CD的中點解答：解：取CD的中點E，連結(jié)AE，BE，∵在四面體ABCD中，△BCD是邊長為3的等邊三角形．∴Rt△ABC≌Rt△ABD，△ACD是等腰三角形，△BCD的中心為G，作OG∥AB交AB的中垂線HO于O，O為外接球的中心，E，連結(jié)AE，BE，作出外接球的球心，求出半徑，即可求出表面積．AB⊥平面BCD，BE=，BG=，R===2．四面體ABCD外接球的表面積為：4πR2=16π．故選：C．點評：本題考查球的內(nèi)接體知識，考查空間想象能力，確定球的切線與半徑是解題的關(guān)鍵．14．（2014?石家莊模擬）已知球O，過其球面上A，B，C三點作截面，若O點到該截面的距AB=BC=2，∠B=120°，則球O的表面積為（）B．C．4πD．離等于球半徑的一半，且A．考點：球的體積和表面積．專題：計算題；球．第14頁（共24頁）分析：設(shè)出球的半徑，小圓半徑，通過已知條件求出兩個半徑，再求球的表面積．解答：解：如圖，設(shè)球的半徑為r，O′是△ABC的外心，外接圓半徑為R，則OO′⊥面ABC．AB=BC=2，∠B=120°，在Rt△ACD中，則sinA=．在△ABC中，由正弦定理得=2R，R=2，即O′B=2．在Rt△OBO′中，由題意得r2﹣r2=4，得r2=．球的表面積S=4πr2=4π×=．故選：A．點評：本題考查球面距離弦長問題，正弦定理的應(yīng)用，考查學生分析問題解決問題能力，空間想象能力，是中檔題．15．（2014?濱州二模）如圖，一個正三棱柱的左（側(cè)）視圖是邊長為的正方形，則它的外接球的表面積等于（）A．8πB．C．9πD．ππ考點：球的體積和表面積；由三視圖求面積、體積；球內(nèi)接多面體．專題：計算題．分析：由題意可得：正三棱柱的高是，底面正三角的高也是．設(shè)球心為O，半徑為R，△ABC的中心為G，所以△OGA是直角三角形，OG是高的一半，OG=，所以GA=．在△OAG中由勾股定理得：R2=．進而得到答案．解答：解：因為正三棱柱ABC﹣DEF的左視圖是邊長為的正方形，所以正三棱柱的高是，底面正三角的高也是．設(shè)它的外接球的球心為O，半徑為R，底面△ABC的中心為G，第15頁（共24頁）所以△OGA是直角三角形，OG是高的一半，OG=，GA是正三角形ABC的高的，所以GA=．2在△OAG中由勾股定理得：R=OG2+GA22解得：R=．∴球的表面積為4πR2=．故選B．點評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征與及球的定義，在球的內(nèi)接多面體中一般容易出現(xiàn)直角三角形，進而利用勾股定理解決問題即可．16．（2014?興安盟一模）在三棱椎A(chǔ)﹣BCD中，側(cè)棱AB，AC，AD兩兩垂直，△ABC，△ACD，，，，則該三棱椎外接球的表面積為（）D．24π△ADB的面積分別為A．2πB．6πC．π考點：球的體積和表面積．專題：計算題；空間位置關(guān)系與距離．分析：三棱錐A﹣BCD中，側(cè)棱AB、AC、AD兩兩垂直，補成長方體，兩者的外接球是同一個，長方體的對角線就是球的直徑，求出長方體的三度，即可求三棱錐外接轉(zhuǎn)化為對角線長，球的表面積．解答：解：三棱錐A﹣BCD中，側(cè)棱AB、AC、AD兩兩垂直，補成長方體，兩者的外接球是同一個，長方體的對角線就是球的直徑，∵側(cè)棱AC、AC、AD兩兩垂直，△ABC、△ACD、△ADB的面積分別為、、，∴AB?AC=，AD?AC=，AB?AD=∴AB=，AC=1，AD=∴球的直徑為：=∴半徑為∴三棱錐外接球的表面積為4π×=6π故選：B．點評：本題考查三棱錐外接球的表面積，三棱錐轉(zhuǎn)化為長方體，兩者的外接球是同一個，以及長方體的對角線就是球的直徑是解題的關(guān)鍵所在．第16頁（共24頁）17．（2013?文昌模擬）已知三棱錐P﹣ABC的四個頂點均在半徑為1的球面上，且滿足?=0，?=0，?=0，則三棱錐P﹣ABC的側(cè)面積的最大值為（A．2B．1C．D．）考點：棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積．專題：計算題．分析：由已知，三棱錐P﹣ABC的四個頂點均在半徑為的球面上，且滿足：P點處PA，PB，PC兩兩垂直，球直徑等于以PA，PB，PC為棱的長方體的對角線，由基本不等式易得到三棱錐P﹣ABC的側(cè)面積，則在的最大值．解答：解：∵，∴PA，PB，PC兩兩垂直，又∵三棱錐P﹣ABC的四個頂點均在半徑為1的球面上，∴以PA，PB，PC為棱的長方體的對角線即為球的一條直徑．∴4=PA2+PB2+PC2，則由基本不等式可得PA2+PB2≥2PA?PB，PA2+PC2≥2PA?PC，PB2+PC2≥2PB?PC，即4=PA2+PB2+PC2≥PA?PB+PB?PC+PA?PC則三棱錐P﹣ABC的側(cè)面積S=（PA?PB+PB?PC+PA?PC）≤2，則三棱錐P﹣ABC的側(cè)面積的最大值為2，故選A點評：本題考查的知識點是棱錐的側(cè)面積，基本不等式，棱柱的外接球，其中根據(jù)已知條件，得到棱錐的外接球直徑等于以PA，PB，PC為棱的長方體的對角線，是解答本題的關(guān)鍵．18．（2012?寧波模擬）設(shè)長方體的長、寬、高分別為2a、a、a，其頂點都在一個球面上，則該球的表面積為（）A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2考點：球的體積和表面積．專題：計算題．分析：本題考查的知識點是球的體積和表面積公式，由長方體的長、寬、高分別為2a、a、a，其頂點都在一個球面上，則長方體的對角線即為球的直徑，即球的半徑代入球的表面積公式，S=4πR2，即可得到答案．2R）=6a2，2R滿足（球解答：解：根據(jù)題意球的半徑（2R）2=6a2，S=4πR2=6πa2．R滿足所以球故選B點評：長方體的外接球直徑等于長方體的對角線長．第17頁（共24頁）19．（2013?牡丹江一模）三棱錐A﹣BCD的外接球為球O，球O的直徑是AD，且△ABC、△BCDA﹣BCD的體積是（）C．D．都是邊長為1的等邊三角形，則三棱錐A．B．考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：利用等邊、等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的逆定理、三角形的面積計算公式、三棱錐的體積計算公式即可得出．解答：解：如圖所示，連接OB，OC．∵△ABC、△BCD都是邊長為1的等邊三角形，∴OB⊥AD，OC⊥AD，OB=OC===．∴OB2+OC2=BC2，∴∠BOC=90°．∴三棱錐A﹣BCD的體積V===．故選D．點評：熟練掌握等邊、等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的逆定理、三角形的面積計算公式、三棱錐的體積計算公式是解題的關(guān)鍵．20．（2012?黑龍江）平面則此球的體積為（）A．πB．4α截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為，πC．4πD．6π考點：球的體積和表面積．專題：計算題．分析：利用平面α截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為，求出球的半徑，然后求解球的體積．解答：解：因為平面α截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為，所以球的半徑為：=．所以球的體積為：=4π．故選B．點評：本題考查球的體積的求法，考查空間想象能力、計算能力．第18頁（共24頁）21．（2012?江西校級模擬）球O的球面上有四點S，A，B，C，其中O，A，B，C四點共面，△ABC是邊長為2的正三角形，面SAB⊥面ABC，則棱錐S﹣ABC的體積的最大值為（）A．B．C．D．考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積．專題：計算題．分析：由于面SAB⊥面ABC，所以點S在“最高點”，也就是說H為AB中點時，解答：解：由題意畫出幾何體的圖形如圖由于面SAB⊥面ABC，所以點S在平面ABC上的射影S在“最高點”，也就是說H為AB中點時，SH最大，棱錐S在平面ABC上的射影H落在AB上，根據(jù)球體的對稱性可知，當SH最大，棱錐S﹣ABC的體積最大．H落在AB上，根據(jù)球體的對稱性可知，當S﹣ABC的體積最大．∵△ABC是邊長為2的正三角形，所以球的半徑r=OC=CH=．在RT△SHO中，OH=OC=OS，∴∠HSO=30°，求得SH=OScos30°=1，所以體積V=Sh==點評：本題考查錐體體積計算，根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征確定出S位置是關(guān)鍵．考查空間想象能力、計算能力．22．（2012?河北模擬）已知正四棱錐的側(cè)棱與底面的邊長都為，則這個四棱錐的外接球的表面積為（）A．12πB．36πC．72πD．108π考點：球的體積和表面積；球內(nèi)接多面體．專題：計算題．分析：先畫出圖形，正四棱錐外接球的球心在它的底面的中心，然后根據(jù)勾股定理解出球的半徑，最后根據(jù)球的表面積公式解之即可．O，則解答：解：如圖，設(shè)正四棱錐底面的中心為在直角三角形ABC中，AC=×AB=6，∴AO=CO=3，在直角三角形PAO中，PO==3，∴正四棱錐的各個頂點到它的底面的中心的距離都為3，∴正四棱錐外接球的球心在它的底面的中心，且球半徑r=3，第19頁（共24頁）球的表面積S=4πr2=36π故選B．點評：本題主要考查球的表面積，球的內(nèi)接體問題，考查計算能力和空間想象能力，屬于中檔題．23．（2012?洛陽模擬）已知三棱錐，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，則球（）A．4πS﹣ABC的所有頂點都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，O的表面積為B．12πC．16πD．64π考點：球的體積和表面積．專題：計算題；空間位置關(guān)系與距離．分析：由三棱錐S﹣ABC的所有頂點都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，，AB=1，=1，AC=2，∠BAC=60°，知BC=，∠ABC=90°．故△ABC截球O所得的圓O′的半徑r=由此能求出球解答：解：如圖，三棱錐S﹣ABC的所有頂點都在球∵SA⊥平面ABC，，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，O的半徑，從而能求出球O的表面積．O的球面上，∴BC==，∴∠ABC=90°．∴△ABC截球O所得的圓O′的半徑r==1，∴球O的半徑R==2，O的表面積S=4πR2=16π．C．∴球故選．點評：本題考查球的表面積的求法，合理地作出圖形，數(shù)形結(jié)合求出球半徑，是解題時要關(guān)鍵．24．（2012?鐘祥市校級模擬）AD⊥平面ABC，AD=2AB=6，則該球的體積為（）A．B．48πC．A，B，C，D是同一球面上的四個點，其中△ABC是正三角形，D．第20頁（共24頁）考點：球的體積和表面積；棱錐的結(jié)構(gòu)特征；球內(nèi)接多面體．專題：計算題．A、B、C、D擴展為三棱柱如圖，求出上下底面中心連線的中點與A的距離為分析：由題意把球的半徑，然后求出球的體積．解答：解：由題意畫出幾何體的圖形如圖，把A、B、C、D擴展為三棱柱，上下底面中心連線的中點與A的距離為球的半徑，AD=2AB=6，OE=3，△ABC是正三角形，所以AE==．AO==2．所求球的體積為：=．故選A．點評：本題考查球的內(nèi)接體與球的關(guān)系，考查空間想象能力，利用割補法結(jié)合球內(nèi)接多面體的幾何特征求出球的半徑是解題的關(guān)鍵．25．（2011?臨汾校級模擬）在三棱錐△ADB的面積分別為，，，則該三棱錐的體積為（A．B．C．6A﹣BCD中，側(cè)棱AB，AC，AD兩兩垂直，△ABC，△ACD，）D．2考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積．專題：計算題．分析：通過三個△ABC，△ACD，△ADB的面積，求出側(cè)棱AB，AC，AD的長，然后求出體積．解答：解：AB?AC=，AD?AC=，AB?AD=，∴AB=，AC=1，AD=．∴V=??1??=．故選B點評：本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查計算能力，是基礎(chǔ)題．第21頁（共24頁）26．（2010?成都二模）在棱錐Q到三個側(cè)面的距離分別為A．100πB．50πP﹣ABC中，側(cè)棱PA、PB、PC兩兩垂直，Q為底面△A