提分專練(七)以圓為背景的綜合計(jì)算與證明|類型|類型1|與平行四邊形結(jié)合的問(wèn)題1.如圖T7-1AB是。。的直徑，點(diǎn)C,D為半圓O的三等分點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CE±AD,交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.(1)求證:CE為。O的切線.(2)判斷四邊形AOCD是否為菱形?并說(shuō)明理由.圖T7圖T7-12.[2019?長(zhǎng)春]如圖T7-2,四邊形ABCD是正方形，以邊AB為直徑作。O,點(diǎn)E在BC邊上，連接AE交。O于點(diǎn)F,連接BF并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)G.(1)求證:△ABE/△BCG.(2)若(2)若NAEB=55°,OA=3,求“的長(zhǎng).(結(jié)果保留n)圖T7-23.[2018?河南]如圖T7-3AB是。O的直徑Q?！繟B于點(diǎn)O,連接DA交。O于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)C作。O的切線交DO于點(diǎn)區(qū)連接BC交DO于點(diǎn)F.(1)求證:C￡=￡F(2)連接AF并延長(zhǎng)，交。O于點(diǎn)G.填空：①當(dāng)/D的度數(shù)為時(shí),四邊形ECFG為菱形；②當(dāng)/D的度數(shù)為時(shí),四邊形ECOG為正方形.圖T7-3|類型|類型2|與三角函數(shù)結(jié)合的問(wèn)題4.[2019?鎮(zhèn)江]如圖17-4,在^ABC中,AB=AC,^AC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)O作OD±AO,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,以O(shè)為圓心0。長(zhǎng)為半徑的圓過(guò)點(diǎn)B.(1)求證:直線AB與。O相切；⑵若AB=5,0O的半徑為12,則tan/BDO=.圖T7圖T7-45.[2019?隨州]如圖17-5,在4ABC中,AB=AC,以AB為直徑的OO分別交AC,BC于點(diǎn)D,E,點(diǎn)F在AC的延長(zhǎng)線上，且/BAC=2/CBF(1)求證:BF是OO的切線；(2)若OO的直徑為3,sin/CBF=上,求BC和BF的長(zhǎng).圖T7-5.[2018?成都]如圖T7-6，在RtAABC中,/C=90°AD平分/BAC交BC于點(diǎn)D,O為AB上一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,D的。O分別交AB,AC于點(diǎn)E,F,,連接OF交AD于點(diǎn)G.(1)求證:BC是。O的切線；⑵設(shè)AB=x,AF=，試用含x,y的代數(shù)式表示線段AD的長(zhǎng)；⑶若BE=8,sinB=-5，求DG的長(zhǎng).13圖T7-6|類型3|圓與相似三角形結(jié)合的問(wèn)題.[2018?日照]如圖T7-7所示,OO的半徑為4,點(diǎn)A是。O上一點(diǎn)，直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)A.P是。O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與?一，、,?一一，、一，一?一,■一一，，一^，點(diǎn)A重合)，過(guò)點(diǎn)P作PB±l于點(diǎn)B，交OO于點(diǎn)E，直徑PD的延長(zhǎng)線交直線/于點(diǎn)F點(diǎn)A是DE的中點(diǎn).(1)求證:直線l是OO的切線;⑵若PA=6,求PB的長(zhǎng).圖T7-78.[2019?大慶]如圖T7-8,OO是^ABC的外接圓,AB是直徑D是AC中點(diǎn)，直線OD與OO相交于E,F兩點(diǎn),P是OO外一點(diǎn)，且P在直線OD上，連接PA,PC,AF,滿足NPCA=ZABC.(1)求證:PA是OO的切線；(2)證明:EF2=4OD?OP;⑶若BC=8,tanZAFP=2,求DE的長(zhǎng).3圖T7-8【參考答案】1.解:(1)證明:如圖，連接OD,???點(diǎn)C,D為半圓O的三等分點(diǎn),AZAOD=/COD=/COB=60°???OA=OD,A.△AOD為等邊三角形，AZDAO=60°,AAE〃OC.:CE±AD,ACE±OC,ACE為。O的切線.(2)四邊形AOCD為菱形.理由:???OD=OC,ZCOD=60°,??△OCD為等邊三角形，ACD=CO.同理:AD=AO.??AO=CO,AAD=AO=CO=DC,A四邊形AOCD為菱形..解:(1)證明:二?四邊形ABCD是正方形AB為。O的直徑,AZABE=/BCG=/AFB=90°AB=BC,AZBAF+ZABF=90°,ZABF+ZEBF=90°,AZEBF=ZBAF,在4ABE與4BCG中，V.BAF=乙EBF,■AB=BC,/ABE=乙BCG,A△ABE/△BCG(ASA).(2)連接OF,VZABE=ZAFB=90°,ZAEB=55°,AZBAE=90°-55°=35°,AZBOF=2ZBAE=70°.VOA=3,180 6.解:(1)證明:連接OC.VCE是OO的切線,OC±CE.AZFCO+ZECF=90°.VDO±AB,AZB+ZBFO=90°.VZCFE=ZBFO,AZB+ZCFE=90°.VOC=OB,AZFCO=ZB.AZECF=ZCFE.ACE=EF.(2)VAB是OO的直徑,AZACB=90°AZDCF=90°.AZDCE+ZECF=90°,ZD+ZEFC=90°.由(1)得ZECF=ZCFE,AZD=ZDCE.AED=EC.AED=EC=EF即點(diǎn)E為線段DF的中點(diǎn).①四邊形ECFG為菱形時(shí),CF=CE.VCE=EF,ACE=CF=EF.A△CEF為等邊三角形.AZCFE=60°.AZD=30°.故填30°②四邊形ECOG為正方形時(shí),￡EC。為等腰直角三角形AZCEF=45°VZCEF=ZD+ZDCE,AZD=ZDCE=22.5°.故填22.5°.4.解:(1)證明:連接OB，如圖所示.VAB=AC,AZABC=ZACB.VZACB=ZOCD,AZABC=ZOCD.VOD±AO,AZCOD=90°,AZD+ZOCD=90°.VOB=OD,AZOBD=ZD,AZOBD+ZABC=90°,即ZABO=90°,AAB±OB,V點(diǎn)B在。O上,??直線AB與。O相切.(2)VZABO=90°,??OA=4AB2+OB2=V52+122=13,??AC=AB=5,??OC=OA-AC=8,；.tanZBDO=g=—=2.OD12故答案為:2.5.解:(1)證明:連接AE,???AB為直徑,???/AEB=90°,AAE±BC.???AB=AC,ABE=EC,ZBAE=ZCAE.VZBAC=2ZCBF,AZBAE=ZCBF.VZBAE+ZABE=90°,AZCBF+ZABE=90°,AAB±BF,ABF是。O的切線.(2)由(1)得ZBAE=ZCBF,AsinZCBF=sinZBAE再VZAEB=90°AB=3,ABE=ABsinZBAE=V3,ABC=2BE=2V3.過(guò)點(diǎn)C作CH±BF于H點(diǎn),BHBH在RtACBH中,CH=BCsinZCBF=2,BH=272,?;CH±BF,AB±BF,.\AB//CH,???△FCHs\FAB,：.皿口BFAB?RF-2V22BF3?，.BF=672.6.［解析］(1)連接OD,根據(jù)同圓半徑相等及角平分線條件得到ZDAC=ZODA,得OD/AC,切線得證⑵連接EF,DF,根據(jù)直徑所對(duì)圓周角為直角，證明ZAFE=90°,可得EF/BC,因此ZB=ZAEF,再利用同弧所對(duì)圓周角相等可得ZB=ZADF,從而證明^ABD^AADF,可得AD與AB,AF的關(guān)系(3)根據(jù)ZAEF=ZB，利用三角函數(shù)，分別在RtADOB和RtAAFE中求出半徑和AF,代入(2)的結(jié)論中，求出AD，再利用兩角對(duì)應(yīng)相等，證明△OGD^AFGA,再利用對(duì)應(yīng)邊成比例，求出DG:AG的值，即可求得DG的長(zhǎng).解:(1)證明:連接OD,??OA=OD,AZOAD=ZODA,?,AD平分ZBAC,AZOAD=ZDAC,AZDAC=ZODA,AOD/AC,AZODB=ZC=90°,AOD±BC.「OD為。O的半徑,ABC是。O的切線.(2)連接EF,DF.,「AE為。。的直徑，AZAFE=90°,AZAFE=ZC=90°,??EF〃BC,AZB=ZAEF.VZADF=ZAEF,AZB=ZADF.又?：ZOAD=ZDAC,A△ABD^AADF,?AB??AD:皿,AAD2=AB-AF,AAD=?AB??AD(3)設(shè)。O半徑為r,在RSDOB中,sinB=眼=5-OB13^-=H,解得r=5,AAE=10.r813在RSAFE中,sinZAEF=sinB=M,AEAAF=10x-5=501313AAD=J18X50=崢.13 13VZODA=ZDAC,ZDGO=ZAGF,：.△OGDsAFGA,?DG_0D=13?DG=13**AGAF10'AD-DG10ADG=30713.237.解:(1)證明:連接OA.

ABABAZOAP=ZOPA.???點(diǎn)A是DE的中點(diǎn),ADA=AE,AZDPA=ZAPB,AZOAP=ZAPB.AOA//PB.???PB±l,AOA±l,A直線l是。O的切線.(2)連接AD；PD是直徑，AZPAD=90°,AZPAD=ZPBA.又,：ZDPA=ZAPB,A△PADs'PBA,A段出,即8=6,APB=9PAPB6PB 28.解:(1)因?yàn)辄c(diǎn)D是AC中點(diǎn)，所以O(shè)D±AC,所以PA=PC,所以ZPCA=ZPAC,因?yàn)锳B是。O的直徑,所以/ACB=90°,所以ZABC+ZBAC=90°,因?yàn)?PCA=ZABC,所以ZPAC=ZABC,所以ZPAC+ZBAC=90°,所以PA±AB，所以PA是。O的切線.(2)因?yàn)閆PAO=ZADO=90°,ZAOD=ZPOA,所以△PAOs'ADO,所以公=嗎POOA所以AO2=OD-O