控制工程基礎第四章第1頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五應用頻率特性研究線性系統(tǒng)的經(jīng)典方法稱為頻域分析法。

頻域分析法頻率特性及其表示法典型環(huán)節(jié)的頻率特性穩(wěn)定裕度和判據(jù)頻率特性指標第2頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五引言1.為什么要對系統(tǒng)進行頻域分析？時域分析法：從微分方程或傳遞函數(shù)角度求解系統(tǒng)的時域響應（和性能指標）。不利于工程研究之處：計算量大，而且隨系統(tǒng)階次的升高而增加很大；對于高階系統(tǒng)十分不便，難以確定解析解；不易分析系統(tǒng)各部分對總體性能的影響，難以確定主要因素；不能直觀地表現(xiàn)出系統(tǒng)的主要特征。第3頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五工程方法要求：計算量不應太大，且不因微分方程階數(shù)的升高而增加過多；應容易分析系統(tǒng)各部分對總體動態(tài)性能的影響，易區(qū)分主要因素；最好還能用作圖法直觀地表現(xiàn)出系統(tǒng)性能的主要特征。頻域分析法:是一種間接的研究控制系統(tǒng)性能的工程方法。它研究系統(tǒng)的依據(jù)是頻率特性，頻率特性是控制系統(tǒng)的又一種數(shù)學模型。第4頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五2.頻率響應、頻率特性和頻域分析法

頻率響應:正弦輸入信號作用下，系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量。（控制系統(tǒng)中的信號可以表示為不同頻率正弦信號的合成）頻率特性:系統(tǒng)頻率響應和正弦輸入信號之間的關系，它和傳遞函數(shù)一樣表示了系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的動態(tài)特性。數(shù)學基礎：控制系統(tǒng)的頻率特性反映正弦輸入下系統(tǒng)響應的性能。研究其的數(shù)學基礎是Fourier變換。頻域分析法:利用系統(tǒng)頻率特性分析和綜合控制系統(tǒng)的方法。第5頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五3.頻域分析法的優(yōu)點

(1)

物理意義明確。對于一階系統(tǒng)和二階系統(tǒng)，頻域性能指標和時域性能指標有明確的對應關系；對于高階系統(tǒng)，可建立近似的對應關系。

(2)可以用試驗方法求出系統(tǒng)的數(shù)學模型，易于研究機理復雜或不明的系統(tǒng)；也適用于某些非線性系統(tǒng)。

(3)可以根據(jù)開環(huán)頻率特性研究閉環(huán)系統(tǒng)的性能，無需求解高次代數(shù)方程。

(4)能較方便地分析系統(tǒng)中的參量對系統(tǒng)動態(tài)響應的影響，從而進一步指出改善系統(tǒng)性能的途徑。

(5)采用作圖方法，計算量小，且非常直觀。

第6頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五引例——RC電路

對于圖4-1所示的RC電路，其傳遞函數(shù)為式中，T=RC

。圖4-1RC電路4.1頻率特性第7頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五設輸入電壓為正弦信號，其時域和復域描述為所以有將其進行部分分式展開后再拉氏反變換第8頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五uo(t)表達式中第一項是瞬態(tài)分量，第二項是穩(wěn)態(tài)分量。顯然上述RC電路的穩(wěn)態(tài)響應為結論：當電路輸入為正弦信號時，其輸出的穩(wěn)態(tài)響應（頻率響應）也是一個正弦信號，其頻率和輸入信號相同，但幅值和相角發(fā)生了變化，其變化取決于ω。第9頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五若把輸出的穩(wěn)態(tài)響應和輸入正弦信號用復數(shù)表示，并求其復數(shù)比，可以得到式中頻率特性G(jω)：上述電路的穩(wěn)態(tài)響應與輸入正弦信號的復數(shù)比，且G(jω)=G(s)|s=jω

。幅頻特性A(ω)：輸出信號幅值與輸入信號幅值之比。相頻特性(ω)：輸出信號相角與輸入信號相角之差。第10頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五設系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為已知輸入其拉氏變換則系統(tǒng)輸出為

(4-1)G(s)

的極點

(4-2)對穩(wěn)定系統(tǒng)

待定系數(shù)

2.控制系統(tǒng)在正弦信號作用下的穩(wěn)態(tài)輸出第11頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五(4-2)趨向于零

是一個復數(shù)向量，因而可表示為

(4-7)(4-5)(4-6)(4-4)因此，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應為：第12頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五

式中，穩(wěn)態(tài)輸出的振幅和相位分別為由此可見，LTI系統(tǒng)在正弦輸入下，輸出的穩(wěn)態(tài)值是和輸入同頻率的正弦信號。輸出振幅是輸入振幅的|G(jω)|倍，輸出相位與輸入相位相差∠G(jω)度。第13頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五3.頻率特性的定義幅頻特性：LTI系統(tǒng)在正弦輸入作用下，穩(wěn)態(tài)輸出振幅與輸入振幅之比，用A(ω)表示。相頻特性：穩(wěn)態(tài)輸出相位與輸入相位之差，用(ω)表示。幅頻A(ω)和相頻

(ω)統(tǒng)稱幅相頻率特性。第14頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五頻率特性與傳遞函數(shù)具有十分相似的形式

比較第15頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五

幾點說明

頻率特性是傳遞函數(shù)的特例，是定義在復

平面虛軸上的傳遞函數(shù)，因此頻率特性與

系統(tǒng)的微分方程、傳遞函數(shù)一樣反映了系

統(tǒng)的固有特性。

盡管頻率特性是一種穩(wěn)態(tài)響應，但系統(tǒng)的

頻率特性與傳遞函數(shù)一樣包含了系統(tǒng)或元

部件的全部動態(tài)結構參數(shù)，因此，系統(tǒng)動

態(tài)過程的規(guī)律性也全寓于其中。第16頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五

應用頻率特性分析系統(tǒng)性能的基本思路：

實際施加于控制系統(tǒng)的周期或非周期信號都可表示成由許多諧波分量組成的傅立葉級數(shù)或用傅立葉積分表示的連續(xù)頻譜函數(shù)，

因此根據(jù)控制系統(tǒng)對于正弦諧波函數(shù)這類典型信號的響應可以推算出它在任意周期信號或非周期信號作用下的運動情況。

第17頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五

頻率特性的物理意義：頻率特性表征了系統(tǒng)或元件對不同頻率正弦輸入的響應特性；

()大于零時稱為相角超前，小于零時稱

為相角滯后。tx(t),y1(t),y2(t)x(t)y1(t)y2(t)01()2()第18頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五（1）幅相頻率特性曲線（極坐標圖或奈奎斯特圖）對數(shù)頻率特性曲線對數(shù)幅頻特性相頻特性()縱坐標均按線性分度橫坐標是角速率按分度4.頻率特性的表示法（2）對數(shù)頻率特性曲線（伯德圖）（3）對數(shù)幅相曲線（尼柯爾斯圖）橫坐標：對數(shù)相頻特性的相角縱坐標：對數(shù)幅頻特性的分貝數(shù)第19頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五可用幅值和相角的向量表示。變化時，向量的幅值和相位也隨之作相應的變化，其端點在復平面上移動的軌跡稱為幅相頻率特性曲線（簡稱幅相曲線或Nyquist曲線）。畫有

Nyquist曲線的坐標圖稱為極坐標圖或Nyquist圖。當輸入信號的頻率在極坐標圖上，以橫軸為實軸，縱軸為虛軸，且正/負相角是從正實軸開始，以逆時針/順時針旋轉來定義的。

極坐標圖(Polarplot)，又稱幅相頻率特性曲線或奈奎斯特曲線。4.2極坐標圖第20頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五將G(jω)分為實部和虛部(代數(shù)表示)，即U(ω)和V(ω)分別稱為實頻特性和虛頻特性。取橫坐標U(ω)，縱坐標表示V(ω)，也可得到系統(tǒng)的幅相曲線(實虛頻圖)。奈奎斯特(N.Nyquist)在1932年基于極坐標圖闡述了反饋系統(tǒng)穩(wěn)定性。第21頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五例：-90°0∞………-63.5°0.452T-45°0.7071/T-26.6°0.891/2T010第22頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五圖5-25極坐標圖但它不能清楚地表明開環(huán)傳遞函數(shù)中每個因子對系統(tǒng)的具體影響

采用極坐標圖的優(yōu)點是它能在一幅圖上表示出系統(tǒng)在整個頻率范圍內(nèi)的頻率響應特性。第23頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五4.2.1典型環(huán)節(jié)的極坐標圖用頻域分析法研究控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)響應時，是根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性進行的，而控制系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性通常是由若干典型環(huán)節(jié)的頻率特性組成的。本節(jié)介紹六種常用的典型環(huán)節(jié)。第24頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五ReImK比例環(huán)節(jié)的極坐標圖為實軸上的K點。1比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)的奈氏圖4.2.1典型環(huán)節(jié)的極坐標圖式中－實頻特性；－相頻特性；－幅頻特性；－虛頻特性；第25頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五ReIm積分環(huán)節(jié)的極坐標圖為負虛軸。頻率ω從0→∞特性曲線由虛軸的－∞趨向原點。積分環(huán)節(jié)的奈氏圖2積分環(huán)節(jié)第26頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五

微分環(huán)節(jié)有三種：純微分、一階微分和二階微分。傳遞函數(shù)分別為：頻率特性分別為：微分環(huán)節(jié)的頻率特性3微分環(huán)節(jié)第27頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五①純微分環(huán)節(jié)：純微分環(huán)節(jié)的奈氏圖ReIm純微分環(huán)節(jié)的極坐標圖為正虛軸。頻率ω從0→∞特性曲線由原點趨向虛軸的+∞。第28頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五一階微分環(huán)節(jié)的奈氏圖ReIm一階微分環(huán)節(jié)的極坐標圖為平行于虛軸直線。頻率w從0→∞特性曲線相當于純微分環(huán)節(jié)的特性曲線向右平移一個單位。②一階微分：第29頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五二階微分環(huán)節(jié)的頻率特性③二階微分環(huán)節(jié)：幅頻和相頻特性為：實頻和虛頻特性為：0z21ImRe0=w￥=w第30頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖4慣性環(huán)節(jié)第31頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五極坐標圖是一個圓，對稱于實軸。證明如下：整理得：下半個圓對應于正頻率部分，而上半個圓對應于負頻率部分。第32頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五實頻、虛頻、幅頻和相頻特性分別為：振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性討論時的情況。頻率特性為：5振蕩環(huán)節(jié)第33頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五振蕩環(huán)節(jié)的奈氏圖實際曲線還與阻尼系數(shù)有關。當時，，曲線在3，4象限；當 時，與之對稱于實軸。第34頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五振蕩環(huán)節(jié)的奈氏圖由圖可見無論是欠阻尼還是過阻尼系統(tǒng)，其圖形的基本形狀是相同的。當過阻尼時，阻尼系數(shù)越大其圖形越接近圓。第35頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五1極坐標圖是一個圓心在原點，半徑為1的圓。隨著頻率的變化，沿單位圓轉無窮多圈。延遲環(huán)節(jié)的奈氏圖傳遞函數(shù)：頻率特性：幅頻特性：相頻特性：6延遲環(huán)節(jié)第36頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五小結

比例環(huán)節(jié)的極坐標圖積分環(huán)節(jié)的極坐標圖微分環(huán)節(jié)的極坐標圖—有三種形式：純微分、一階微分和二階微分。慣性環(huán)節(jié)的極坐標圖振蕩環(huán)節(jié)的極坐標圖延遲環(huán)節(jié)的極坐標圖第37頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五一、控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的典型環(huán)節(jié)分解設其開環(huán)傳遞函數(shù)由若干個典型環(huán)節(jié)相串聯(lián)其開環(huán)頻率特性：

4.2.2繪制乃氏圖的一般規(guī)律第38頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五所以，系統(tǒng)的開環(huán)幅頻和相頻分別為：開環(huán)系統(tǒng)的幅頻特性是各串聯(lián)環(huán)節(jié)幅頻特性的幅值之積；開環(huán)系統(tǒng)的相頻特性是各串聯(lián)環(huán)節(jié)相頻特性的相角之和。結論：第39頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五對于一般線性定常系統(tǒng)，傳遞函數(shù)為：其對應的頻率特性為：當υ＝0時，稱該系統(tǒng)為0

型系統(tǒng)；當υ＝1時，稱該系統(tǒng)為Ⅰ型系統(tǒng)；當υ＝2時，稱該系統(tǒng)為Ⅱ型系統(tǒng)；第40頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五繪制Nyquist圖有時并不需要繪制得十分準確只需要繪出Nyquist圖的大致形狀和幾個關鍵點的準確位置（如與坐標軸的交點）就可以了。開環(huán)系統(tǒng)典型環(huán)節(jié)分解和典型環(huán)節(jié)幅相曲線的特點是繪制概略幅相特性曲線的基礎。二、開環(huán)幅相特性曲線的繪制（Nyquist圖）第41頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五概略繪制乃氏圖的步驟：確定開環(huán)乃氏圖的終點G(j∞)確定開環(huán)乃氏圖的起點G(j0+)寫出系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的頻率特性第42頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五注意：若傳遞函數(shù)不存在微分項（純微分、一階微分、二階微分等），則幅相特性曲線相位連續(xù)減少；反之，若出現(xiàn)微分環(huán)節(jié)，則幅相曲線會出現(xiàn)凹凸。確定開環(huán)幅相曲線與實軸的交點（若有）——虛頻為零或相頻為n×180°確定開環(huán)幅相曲線與虛軸的交點（若有）——實頻為零或相頻為n×90°勾畫出開環(huán)幅相曲線（ω＝0→+∞）的大致曲線（越精確越好）第43頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五K零型系統(tǒng)（ν=0）例1第44頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五K零型系統(tǒng)（ν=0）例2第45頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五零型系統(tǒng)（ν=0）例3第46頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五0型系統(tǒng)的乃氏圖始于正實軸上的點，在高頻段趨于原點，由第幾象限趨于原點取決于－（n－m）×90。n－傳遞函數(shù)中分母的階次m－傳遞函數(shù)中分子的階次第47頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五Ⅰ型系統(tǒng)（ν=1）例4第48頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五Ⅰ型系統(tǒng)（ν=1）例5第49頁，