2022年高考理數(shù)真題試卷（全國(guó)甲卷）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若，則（）A． B． C． D．2．某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識(shí)．為了解講座效果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民，讓他們?cè)谥v座前和講座后各回答一份垃圾分類知識(shí)問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖：則（）A．講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%B．講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%C．講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差D．講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差3．設(shè)全集，集合，則（）A． B． C． D．4．如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1，則該多面體的體積為（）A．8 B．12 C．16 D．205．函數(shù)在區(qū)間的圖像大致為（）A．?? B．??C．?? D．??6．當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則（）A．-1 B． C． D．17．在長(zhǎng)方體中，已知與平面和平面所成的角均為，則（）A．B．AB與平面所成的角為C．D．與平面所成的角為8．沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”，如圖，是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點(diǎn)，D在上，．“會(huì)圓術(shù)”給出的弧長(zhǎng)的近似值s的計(jì)算公式：．當(dāng)時(shí)，（）A． B． C． D．9．甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和．若，則（）A． B． C． D．10．橢圓的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對(duì)稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（）A． B． C． D．11．設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．12．已知，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且，則．14．若雙曲線的漸近線與圓相切，則．15．從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為．16．已知中，點(diǎn)D在邊BC上，．當(dāng)取得最小值時(shí)，．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。17．記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知．（1）證明：是等差數(shù)列；（2）若成等比數(shù)列，求的最小值．18．在四棱錐中，底面．（1）證明：；（2）求PD與平面所成的角的正弦值．19．甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒有平局．三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立．（1）求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；（2）用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望．20．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，過的直線交C于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí)，．（1）求C的方程：（2）設(shè)直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當(dāng)取得最大值時(shí)，求直線AB的方程．21．已知函數(shù)．（1）若，求a的取值范圍；（2）證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，則．四、選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22．在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（s為參數(shù)）．（1）寫出的普通方程；（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，求與交點(diǎn)的直角坐標(biāo)，及與交點(diǎn)的直角坐標(biāo)．23．已知a，b，c均為正數(shù)，且，證明：（1）；（2）若，則．

答案解析部分1．【答案】C2．【答案】B3．【答案】D4．【答案】B5．【答案】A6．【答案】B7．【答案】D8．【答案】B9．【答案】C10．【答案】A11．【答案】C12．【答案】A13．【答案】1114．【答案】15．【答案】16．【答案】或17．【答案】（1）已知，即①，當(dāng)時(shí)，②，①-②得，，即，即，所以，且，所以是以1為公差的等差數(shù)列．（2）由（1）中可得，，，，又，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以，所以，所以，當(dāng)或時(shí)．18．【答案】（1）證明：在四邊形中，作于，于，

因?yàn)椋运倪呅螢榈妊菪?，所以，故，，所以，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又，所以平面，又因平面，所以?）解：由(1)知，PD，AD，BD兩兩垂直，，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

則∴設(shè)平面PAB的法向量為，則即不妨設(shè)，則，設(shè)PD與平面PAB的所成角為θ，則∴PD與平面PAB的所成的角的正弦值為.19．【答案】（1）解：設(shè)甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次記為A，B，C，所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為

P=

=0.16+0.16+0.24+0.04

=0.6.（2）解：依題可知，X的可能取值為，所以，，，，.即X的分布列為X0102030P0.160.440.340.06期望20．【答案】（1）解：拋物線的準(zhǔn)線為，當(dāng)與x軸垂直時(shí)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為p，此時(shí)，所以，所以拋物線C的方程為；（2）解：設(shè)，直線，由可得，，由斜率公式可得，，直線，代入拋物線方程可得，，所以，同理可得，所以又因?yàn)橹本€MN、AB的傾斜角分別為，所以，若要使最大，則，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)最大時(shí)，，設(shè)直線，代入拋物線方程可得，，所以，所以直線.21．【答案】（1）解：由題意得，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?/p>

，

令f'(x)=0，得x=1，

當(dāng)x∈（0，1），f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x∈（1，+∞），f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

若f(x)≥0，則e+1-a≥0，即a≤e+1，

所以a的取值范圍為（-∞，e+1）（2）證明：由題知，一個(gè)零點(diǎn)小于1，一個(gè)零點(diǎn)大于1不妨設(shè)要證，即證因?yàn)?，即證因?yàn)?，即證即證即證下面證明時(shí)，設(shè)，則設(shè)所以，而所以，所以所以在單調(diào)遞增即，所以令所以在單調(diào)遞減即，所以；綜上，，所以22．【答案】（1）解：因?yàn)椋?，即普通方程為．?）解：因?yàn)?，所以，即的普通方程為，由，即的普通方程為．?lián)立