1高中數(shù)學(xué)基本不等式的巧用一．基本不等式22 (2)xxxxxbabababa2注：(1)當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定植時(shí)，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定植時(shí)，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”．(2)求最值的條件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實(shí)際問(wèn)題方面有廣泛的應(yīng)用．應(yīng)用一：求最值1111x(2)當(dāng)x＞0時(shí)，y＝x＋≥x1xx·＝2；x當(dāng)當(dāng)x＜0時(shí)，y＝x＋=－(－x－)≤－2=－2xxx=－2x∴值域?yàn)?－∞，－2]∪[2，+∞)技巧一：湊項(xiàng)解：因4x-5<0，所以首先要“調(diào)整”符號(hào)，又(4x-2)1不是常數(shù)，所以對(duì)4x-2要進(jìn)行拆、湊項(xiàng)，4x-512評(píng)注：本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值。技巧二：湊系數(shù)解析：由定值，此題為兩個(gè)式子積的評(píng)注：本題無(wú)法直接運(yùn)用基本不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用基本不等式求最大值。x2當(dāng)且僅當(dāng)2x=3-2x,即x=3=|(0,3)|時(shí)等號(hào)成立。4(2)解析一：本題看似無(wú)法運(yùn)用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有(x＋1)的項(xiàng)，再將其分離。技巧四：換元解析二：本題看似無(wú)法運(yùn)用基本不等式，可先換元，令t=x＋1，化簡(jiǎn)原式在分離求最值。tttxt評(píng)注：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開(kāi)或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開(kāi)再利用不等式求最值。g(x)g(x)技巧五：注意：在應(yīng)用最值定理求最值時(shí)，若遇等號(hào)取不到的情況，應(yīng)結(jié)合函數(shù)f(x)=x+a的單調(diào)性。例：x求函數(shù)y=的值域。解：令x2+4=t(t>2)，則y=x2+5=x2+4+1=t+1(t>2)x2+4x2+4tttt233條件求最值y44xy技巧六：整體代換：多次連用最值定理求最值時(shí)，要注意取等號(hào)的條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò)。。xy錯(cuò)因：解法中兩次連用基本不等式，在x+y>2xy等號(hào)成立條件是x=y，在1+9>29等號(hào)成立條件xyxy19是=即y=9x,取等號(hào)的條件的不一致，產(chǎn)生錯(cuò)誤。因此，在利用基本不等式處理問(wèn)題時(shí)，列出等號(hào)成立xy條件是解題的必要步驟，而且是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。xyxyminxyxy4y2y技巧七、已知x，y為正實(shí)數(shù)，且x2＋2＝1，求x1＋y2的最大值.分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式ab≤分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式ab≤2。22222221y22222311y2222231y23x·＋≤＝＝即x1＋yx·＋≤＝＝即x1＋y2＝2·x＋≤2分析：這是一個(gè)二元函數(shù)的最值問(wèn)題，通常有兩個(gè)途徑，一是通過(guò)消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問(wèn)題，再用單調(diào)性或基本不等式求解，對(duì)本題來(lái)說(shuō)，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對(duì)本題來(lái)說(shuō)，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過(guò)解不等式的途徑進(jìn)行。令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝＝－2令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝＝－2(t＋)＋34∵t＋≥2ttttt11法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵a＋2b≥22ab∴30－ab≥22ab令u＝ab則u2＋22u－30≤0，－52≤u≤32∴∴ab≤32，ab≤18，∴y≥點(diǎn)評(píng)：①本題考查不等式a+b>ab(a,b=R+)的應(yīng)用、不等式的解法及運(yùn)算能力；②如何由已知不等式22面積最大值。技巧九、取平方a＋ba2＋b222解法一：若利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系，≤223x＋2y≤2(3x)2＋(2y)2＝23x＋2y＝25解法二：條件與結(jié)論均為和的形式，設(shè)法直接用基本不等式，應(yīng)通過(guò)平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和為定W＞0，W2＝3x＋2y＋23x·2y＝10＋23x·2y≤10＋(3x)2·(2y)2＝10＋(3x＋2y)＝20∴W≤20＝252252評(píng)注：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用基本不等式創(chuàng)造了條件。總之，我們利用基本不等式求最值時(shí)，一定要注意“一正二定三相等”，同時(shí)還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用基本不等式。應(yīng)用二：利用基本不等式證明不等式aaaaaaaabbcc述三個(gè)不等式兩邊均為正，分別相乘，得應(yīng)用三：基本