方程的根與函數(shù)的零點課件第1頁，共28頁，2023年，2月20日，星期五學習目標1.通過二次函數(shù)的圖像，了解二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，能判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù)；2.了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系，能利用函數(shù)零點與方程根的關(guān)系確定方程根的個數(shù)。第2頁，共28頁，2023年，2月20日，星期五問題·探究第3頁，共28頁，2023年，2月20日，星期五今天我們可以從教科書中了解各式各樣方程的解法，但在數(shù)學發(fā)展史上，方程的求解卻經(jīng)歷了相當漫長的歲月.

我國古代數(shù)學家在約公元50年—100年編成的《九章算術(shù)》，給出了求一次方程、二次方程和三次方程根的具體方法…

第4頁，共28頁，2023年，2月20日，星期五花拉子米(約780～約850)給出了一次方程和二次方程的一般解法。阿貝爾(1802～1829)挪威數(shù)學家.證明了五次以上一般方程沒有求根公式。第5頁，共28頁，2023年，2月20日，星期五卡爾達諾，意大利數(shù)學家，他第一個發(fā)表了三次代數(shù)方程一般解法的卡爾達諾公式，也稱卡當公式（解法的思路來自塔塔利亞，兩人因此結(jié)怨，爭論多年）。他的學生費拉里第一個求出四次方程的代數(shù)解。

第6頁，共28頁，2023年，2月20日，星期五韋達是法國十六世紀最有影響的數(shù)學家之一。第一個引進系統(tǒng)的代數(shù)符號，并對方程論做了改進。韋達討論了方程根的各種有理變換，發(fā)現(xiàn)了方程根與系數(shù)之間的關(guān)系即“韋達定理”。

第7頁，共28頁，2023年，2月20日，星期五

方程x2－2x+1=0x2－2x+3=0y=x2－2x－3y=x2－2x+1函數(shù)函數(shù)的圖象方程的實數(shù)根x1=－1,x2=3x1=x2=1無實數(shù)根函數(shù)的圖象與x軸的交點(－1,0)、(3,0)(1,0)無交點x2－2x－3=0xy0－132112－1－2－3－4..........xy0－132112543.....yx0－12112y=x2－2x+3問題·探究問題2

求出表中一元二次方程的實數(shù)根，畫出相應(yīng)的二次函數(shù)圖像的簡圖，并寫出函數(shù)的圖象與x軸的交點坐標第8頁，共28頁，2023年，2月20日，星期五方程ax2+bx+c=0(a>0)的根函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象判別式△=b2－4ac△＞0△=0△＜0函數(shù)的圖象與x軸的交點有兩個相等的實數(shù)根x1=x2沒有實數(shù)根xyx1x20xy0x1xy0(x1,0),(x2,0)(x1,0)沒有交點兩個不相等的實數(shù)根x1、x2問題3

若將上面特殊的一元二次方程推廣到一般的一元二次方程及相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象與x軸交點的關(guān)系，上述結(jié)論是否仍然成立？1.方程根的個數(shù)就是函數(shù)圖象與x軸交點的個數(shù)。2.方程的實數(shù)根就是函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標。

結(jié)論

第9頁，共28頁，2023年，2月20日，星期五

對于函數(shù)y=f(x),叫做函數(shù)y=f(x)的零點。方程f(x)=0有實數(shù)根函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點函數(shù)y=f(x)有零點函數(shù)的零點定義：等價關(guān)系使f(x)=0的實數(shù)x辨析

:函數(shù)的零點是不是交點？概念·形成第10頁，共28頁，2023年，2月20日，星期五2-2和71示例·練習零點的求法（1）代數(shù)法第11頁，共28頁，2023年，2月20日，星期五問題4

如圖是某地從0點到12點的氣溫變化圖，假設(shè)氣溫是連續(xù)變化的，請將圖形補充成完整的函數(shù)圖象。這段時間內(nèi)，是否一定有某時刻的氣溫為0度？為什么？第12頁，共28頁，2023年，2月20日，星期五第13頁，共28頁，2023年，2月20日，星期五問題探究第14頁，共28頁，2023年，2月20日，星期五結(jié)論xy00yx0yx0yx如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)<0,那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點，即存在使得f(c)=0,這個c也就是方程f(c)=0的根。第15頁，共28頁，2023年，2月20日，星期五xy0思考1：函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點，一定能得出f(a)·f(b)<0的結(jié)論嗎？

第16頁，共28頁，2023年，2月20日，星期五結(jié)論：函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線：（1）f(a)·f(b)<0函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點；（2）函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點f(a)·f(b)<0。第17頁，共28頁，2023年，2月20日，星期五思考2：如果函數(shù)y=f(x)在[a,b]上是連續(xù)的單調(diào)函數(shù),并且在閉區(qū)間的兩個端點上的函數(shù)值互異即f(a)f(b)﹤0,那么這個函數(shù)在(a,b)內(nèi)的零點個數(shù)能確定嗎？第18頁，共28頁，2023年，2月20日，星期五由表3-1和圖3.1—3可知f(2)<0,f(3)>0，即f(2)·f(3)<0，說明這個函數(shù)在區(qū)間(2,3)內(nèi)有零點。由于函數(shù)f(x)在定義域(0,+∞)內(nèi)是增函數(shù)，所以它僅有一個零點。解：用計算器或計算機作出x、f(x)的對應(yīng)值表（表3-1）和圖象（圖3.1—3）

－4－1.30691.09863.38635.60947.79189.945912.079414.1972123456789xf（x）.........x0－2－4－6105y241086121487643219思考：還有沒有其他方法？問題5:第19頁，共28頁，2023年，2月20日，星期五解：作出函數(shù)的圖象，如下：因為f(1)=1>0,f(1.5)=－2.875<0,所以f(x)=－x3－3x+5在區(qū)間(1,1.5)上有零點。又因為f(x)是(－∞,＋∞）上的減函數(shù)，所以在區(qū)間(1,1.5)上有且只有一個零點。xy0－132112543.....零點的求法（2）

圖像法問題6.第20頁，共28頁，2023年，2月20日，星期五練習2：1第21頁，共28頁，2023年，2月20日，星期五第22頁，共28頁，2023年，2月20日，星期五問題7.已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(－1,0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1，2)內(nèi)，求m的范圍.(2)若方程有一個根在(0,2)內(nèi),求m的范圍.(3)若方程有一個根比2大,另一個根比2小,求m范圍.(4)若方程兩根均在區(qū)間(0，1)內(nèi)，求m的范圍.【變式引申】第23頁，共28頁，2023年，2月20日，星期五解：(1)條件說明拋物線f(x)=x2+2mx+2m+1與x軸的交點分別在區(qū)間(－1，0)和(1，2)內(nèi)，畫出示意圖，得∴.第24頁，共28頁，2023年，2月20日，星期五問題7：已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(2)若方程有一個根在(0,2)內(nèi),求m的范圍.(3)若方程有一個根比2大,另一個根比2小,求m范圍.(4)若方程兩根均在區(qū)間(0，1)內(nèi)，求m的范圍.解:由題意得:f(0)f(2)<0即(2m+1)(6m+5)<0解得:第25頁，共28頁，2023年，2月20日，星期五問題7：已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(3)若方程有一個根比2大,另一個根比2小,求m范圍.(4)若方程兩根均在區(qū)間(0，1)內(nèi)，求m的范圍.解:由題意得:f(2)<0即6m+5<0解得:第26頁，共28頁，2023年，2月20日，星期五問題7：已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(4)若方程兩根均在區(qū)間(0，1)內(nèi)，求m的范圍.解:由題意得:解得:第27頁，共28頁，2023年，2月20日，星期五

對于函數(shù)y=f(x),叫做函數(shù)y=f(x)的零點。方程f(x)=0有實數(shù)根函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點函數(shù)y=f(x)有零點函數(shù)的零點定義：等價關(guān)系使f(x)=0的實數(shù)x如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)<0,那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點，即存在使得f(c)=0,這個c也就是方程f(c)=0的根。

零點存在定理函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線