1第1頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五裂紋尖端附近的應(yīng)力場(chǎng)和位移計(jì)算2第2頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五3第3頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五(平面應(yīng)力)(平面應(yīng)變)用張量標(biāo)記可縮寫成Ⅰ型裂紋求解4第4頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五平面應(yīng)變平面應(yīng)力平面應(yīng)力平面應(yīng)變Ⅰ型裂紋求解5第5頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五需要注意的是，推導(dǎo)過程中，使用了這個(gè)條件，所以。對(duì)于稍遠(yuǎn)處，應(yīng)該用所示的來確定應(yīng)力分量和位移分量。前面得到的應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)公式只適用于裂紋尖端附近區(qū)域，即要求Ⅰ型裂紋求解6第6頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五Ⅱ型裂紋求解

設(shè)無限大板含長(zhǎng)2a的中心裂紋，無窮遠(yuǎn)受剪應(yīng)力作用7第7頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第一步：解II型Westergaard應(yīng)力函數(shù)求解方法與I型基本相同，主要差別是無窮遠(yuǎn)處邊界上受力條件不同。選取應(yīng)力函數(shù)

所以因?yàn)棰蛐土鸭y求解8第8頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五得到II型裂紋問題各應(yīng)力分量表達(dá)式為

進(jìn)而可得到位移分量平面應(yīng)變Ⅱ型裂紋求解9第9頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第二步：選II型裂紋的

邊界條件：，在處在處選取能夠滿足全部邊界條件。Ⅱ型裂紋求解10第10頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五在裂紋表面處虛數(shù)只有實(shí)部且為一常數(shù)滿足平板周圍的邊界條件滿足裂紋表面處的邊界條件Ⅱ型裂紋求解11第11頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五將坐標(biāo)原點(diǎn)移到右裂尖，采用新坐標(biāo)當(dāng)趨于常數(shù),設(shè):，右裂尖附近,

在很小范圍內(nèi)時(shí)

用解析函數(shù)求解II型裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的定義式Ⅱ型裂紋求解12第12頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第三步：用求II型裂尖附近的應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)

應(yīng)力強(qiáng)度因子是在裂尖時(shí)存在極限，若考慮裂尖附近的一個(gè)微小區(qū)域，則有：若以極坐標(biāo)表示復(fù)變量則可得到Ⅱ型裂紋求解13第13頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五平面應(yīng)變平面應(yīng)力把上面兩式代入前面應(yīng)力表達(dá)式中，應(yīng)力和位移場(chǎng)得表達(dá)式Ⅱ型裂紋求解14第14頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五對(duì)于I型和II型裂紋來說，是屬于平面問題。但對(duì)于III型裂紋，由于裂紋面是沿z方向錯(cuò)開，因此平行于xy平面的位移為零，只有z方向的位移不等于零Ⅲ型裂紋求解對(duì)于此類反平面問題，前面給出的平面問題的基本方程已不適用，因此不能沿用Airy應(yīng)力函數(shù)求解，需要從彈性力學(xué)的一般（空間）問題出發(fā)，推導(dǎo)公式。彈性力學(xué)一般問題的基本方程，可以仿照平面問題的方法導(dǎo)出15第15頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五反平面(縱向剪切)問題,其位移根據(jù)幾何方程和物理方程:Ⅲ型裂紋求解問題描述:無限大板,中心裂紋(穿透),無限遠(yuǎn)處受與方向平行的作用.16第16頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五單元體的平衡方程:位移函數(shù)滿足Laplace方程,所以為調(diào)和函數(shù).解析函數(shù)性質(zhì):任意解析函數(shù)的實(shí)部和虛部都是解析的.邊界條件:Ⅲ型裂紋求解非零應(yīng)力分量17第17頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五選取函數(shù)滿足邊界條件Ⅲ型裂紋求解在裂紋表面處，只有實(shí)部而無虛部，有滿足裂紋表面處的邊界條件當(dāng)或，都有，即由非零應(yīng)力分量公式知，滿足平板周圍的邊界條件。

18第18頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五取新坐標(biāo)Ⅲ型裂紋求解同樣，為計(jì)算方便，將坐標(biāo)原點(diǎn)從裂紋的中心移到裂紋的右尖端當(dāng)趨于常數(shù),設(shè):，右裂尖附近,

在很小范圍內(nèi)時(shí)

用解析函數(shù)求解III型裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的定義式19第19頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

應(yīng)力強(qiáng)度因子是在裂尖時(shí)存在極限，若考慮裂尖附近的一個(gè)微小區(qū)域，則有：若以極坐標(biāo)表示復(fù)變量則可得到這就是III型裂紋問題在裂紋尖端附近的應(yīng)力場(chǎng)表達(dá)式Ⅲ型裂紋求解20第20頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五則可得到這就是III型裂紋問題在裂紋尖端附近的位移場(chǎng)表達(dá)式Ⅲ型裂紋求解21第21頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五應(yīng)力強(qiáng)度因子注意：以上三種類型求解方法，僅適用于含貫穿裂紋的無限大板在載荷或位移對(duì)裂紋中點(diǎn)的坐標(biāo)軸對(duì)稱或反對(duì)稱的情況。22第22頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五值得指出的是，上述三種裂紋問題的應(yīng)力場(chǎng)表達(dá)式，雖然是根據(jù)無限大半具有中心穿透裂紋且在均勻外加應(yīng)力作用下獲得的。進(jìn)一步的分析表明，這些解具有普遍的意義，也就是說，對(duì)于其他有限尺寸板的穿透裂紋（包括中心裂紋和邊裂紋），在非均勻受力條件下，裂紋尖端附近的應(yīng)力場(chǎng)（更確切地說是應(yīng)力場(chǎng)的奇異項(xiàng)）表達(dá)式也是相同的，其不同之處僅僅是應(yīng)力強(qiáng)度因子的不同，因此，對(duì)于特定的含裂紋結(jié)構(gòu)只需要確定相應(yīng)的應(yīng)力強(qiáng)度因子就可以了。23第23頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五通過前面的推導(dǎo)，各種類型裂尖應(yīng)力和位移場(chǎng)可表示為若上標(biāo)寫成II、III，代表II型或III型裂紋。裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)是漸進(jìn)解，僅僅適合于裂紋尖端附近24第24頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五線彈性裂尖場(chǎng)特點(diǎn)三種變形情況下裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)和應(yīng)變場(chǎng)都具有奇異性，即在裂紋尖端處，應(yīng)力和應(yīng)變?yōu)闊o窮大，這種不真實(shí)的性質(zhì)是由于所采用的本構(gòu)關(guān)系所決定的，即認(rèn)為材料能承受無限大的應(yīng)力，且應(yīng)變與應(yīng)力呈線性關(guān)系。另外，在上述的分析中，裂紋假設(shè)成理想的尖裂紋，即裂紋尖端曲率為無窮大。實(shí)際上，裂紋尖端不可避免地會(huì)出現(xiàn)塑性區(qū)，并且裂紋尖端地曲率是有限的，但是在塑性區(qū)很小的情況下，在圍繞裂尖的一個(gè)環(huán)狀區(qū)域內(nèi)K場(chǎng)是適用的。K場(chǎng)內(nèi)的位移與成線性比例關(guān)系。25第25頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五線彈性裂尖場(chǎng)特點(diǎn)三種情況下的K場(chǎng)有相似的形式，分別由應(yīng)力強(qiáng)度因子決定著其場(chǎng)的強(qiáng)度。SIF取決于外加載荷，而且與構(gòu)件幾何、裂紋尺寸有關(guān)，但是與()坐標(biāo)無關(guān)。在K場(chǎng)范圍內(nèi)，應(yīng)力和應(yīng)變均正比于SIF，所以SIF是裂紋尖端附近應(yīng)力、應(yīng)變場(chǎng)強(qiáng)度的表征，是描述裂尖場(chǎng)強(qiáng)度的參數(shù)。裂尖場(chǎng)與角分布函數(shù)成比例。角分布函數(shù)僅與角有關(guān)，而與r無關(guān)，對(duì)于同一種變形模式，角分布函數(shù)是相同的。所以，無論構(gòu)件的形狀、尺寸以及裂紋的尺寸如何，裂尖場(chǎng)都是相同的。26第26頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五應(yīng)力不適宜作為判斷含裂紋材料承載能力的力學(xué)參量——裂尖場(chǎng)應(yīng)力具有奇異性，只要存在載荷，應(yīng)力就趨于無窮大。依照傳統(tǒng)強(qiáng)度理論，含裂紋結(jié)構(gòu)必定破壞。即傳統(tǒng)的強(qiáng)度條件判斷準(zhǔn)則失去意義。應(yīng)力強(qiáng)度因子作為判定裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)強(qiáng)度的物理參量引入。

——線彈性斷裂力學(xué)的主要任務(wù)之一就是確定含裂紋構(gòu)件的應(yīng)力強(qiáng)度因子。應(yīng)力強(qiáng)度因子是有限量，它是代表應(yīng)力場(chǎng)強(qiáng)度的物理量，用其作為參量建立破壞條件是合適的。

應(yīng)力強(qiáng)度因子27第27頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五——名義應(yīng)力，即裂紋位置上按無裂紋計(jì)算的應(yīng)力——裂紋尺寸，即裂紋長(zhǎng)或深——形狀系數(shù)，與裂紋大小、位置有關(guān)應(yīng)力強(qiáng)度因子一般寫為：應(yīng)力強(qiáng)度因子單位：N.m-3/2應(yīng)力強(qiáng)度因子28第28頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五應(yīng)力強(qiáng)度因子

鑒于應(yīng)力強(qiáng)度因子的重要性，在斷裂力學(xué)這門科學(xué)近半個(gè)世紀(jì)的快速發(fā)展中，應(yīng)力強(qiáng)度因子的分析計(jì)算一直是一個(gè)經(jīng)久不衰的研究課題，這可從這方面的專著（如二十世紀(jì)七十年代Sih的專著和近期的專著）和專門的應(yīng)力強(qiáng)度因子手冊(cè)可見一斑。從研究方法上，從解析的Westergaardstressfunction、

Muskhelishvilistressfunction到解析的或半解析的GreenFunction、SingularIntegralEquation、ConformingMapping（保形映射）,及數(shù)值方法如BoundaryCollocationMethod，

FiniteElementMethod(有限元法)和BoundaryElementMethod(邊界元法)。

29第29頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五脆性斷裂的K準(zhǔn)則應(yīng)力強(qiáng)度因子與應(yīng)變能釋放率的關(guān)系

根據(jù)前面所述的應(yīng)變能釋放率公式與應(yīng)力強(qiáng)度因子可以發(fā)現(xiàn)它們之間應(yīng)有一定關(guān)系。這關(guān)系將進(jìn)一步揭示應(yīng)力強(qiáng)度因子的物理意義。

以張開型裂紋為例，由于應(yīng)變能釋放率代表裂紋擴(kuò)展單位面積所釋放的應(yīng)變能。那么逆向思維一下……30第30頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五左圖a所示裂紋原長(zhǎng)為a，擴(kuò)展微小長(zhǎng)度（圖b）后，釋放出的能量可用從圖b狀態(tài)閉合到圖c狀態(tài)所作的功來計(jì)算。閉合時(shí)作用在裂紋上表面上x位置的應(yīng)力由圖b中的0值，逐漸增加到圖a中的利用上節(jié)的裂尖附近應(yīng)力和位移場(chǎng)，可以計(jì)算使裂紋閉合單位面積所作的功，顯然這部分功應(yīng)該等于裂紋擴(kuò)展單位面積所釋放的能量。31第31頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五由I型裂紋的應(yīng)力表達(dá)式，當(dāng)，時(shí)由圖b看出，閉合時(shí)的位移最初為其中，注意：圖b與圖a的坐標(biāo)原點(diǎn)不同。由I型裂紋的位移表達(dá)式：閉合后，位移為0。閉合過程中，應(yīng)力在段所作的功為32第32頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五閉合單位面積所作的功裂紋擴(kuò)展單位面積所釋放的能量=由于：其中，（平面應(yīng)力），（平面應(yīng)變）可見，應(yīng)力強(qiáng)度因子與應(yīng)變能釋放率有對(duì)應(yīng)關(guān)系：不僅表示裂尖附近彈性應(yīng)力場(chǎng)的強(qiáng)度，也可確定裂紋擴(kuò)展釋放的能量率，故：對(duì)于線彈性斷裂問題，與等價(jià)33第33頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

同理，對(duì)于II型和III型裂紋同樣可得到類似關(guān)系

需要注意：對(duì)于I型和II型裂紋問題可分為平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問題，而對(duì)于三型裂紋問題只是一種反平面問題。脆性斷裂的K準(zhǔn)則我們已經(jīng)講了脆性材料裂紋失穩(wěn)擴(kuò)展的臨界條件為：34第34頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五可以得到以應(yīng)力強(qiáng)度因子表示的裂紋失穩(wěn)擴(kuò)展的臨界條件為：表示裂尖的應(yīng)力強(qiáng)度因子達(dá)到時(shí)，裂紋失穩(wěn)擴(kuò)展。與都是材料常數(shù)，稱為材料的平面應(yīng)變斷裂韌度。在線彈性條件下強(qiáng)調(diào)：

與概念不同，

—是表示裂尖應(yīng)力場(chǎng)強(qiáng)度的一個(gè)參量，可用彈性理論方法進(jìn)行計(jì)算，由載荷及裂紋體形狀和尺寸決定，

—斷裂韌度，材料具有的一種機(jī)械性能，表示材料抵抗脆性斷裂的能力，由試驗(yàn)測(cè)定。脆性斷裂的K準(zhǔn)則35第35頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五注意：對(duì)于線彈性斷裂問題，采用G準(zhǔn)則和K準(zhǔn)則所得的結(jié)果是一樣的。但是由于利用彈性理論可直接計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子，而且試驗(yàn)測(cè)定比測(cè)定方便，故工程一般常用K準(zhǔn)則。

根據(jù)K準(zhǔn)則，可以計(jì)算剩余強(qiáng)度（臨界應(yīng)力）和臨界裂紋長(zhǎng)度，進(jìn)行斷裂安全分析。例如：對(duì)具中心裂紋無限大板，受雙軸拉應(yīng)力對(duì)于其它結(jié)構(gòu)，表達(dá)式不同。可得36第36頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

根據(jù)實(shí)驗(yàn)和理論分析，斷裂韌度隨試件厚度增加而下降，如下圖。這是由于：1）薄板的裂尖處于平面應(yīng)力狀態(tài)，斷裂韌度較高，裂紋不易擴(kuò)展，用表示；2）隨板厚增加，裂尖處于平面應(yīng)變狀態(tài)的部分增加，裂紋較易擴(kuò)展，斷裂韌度降低，當(dāng)厚度降至一定值后，斷裂韌度降至最小，稱為平面應(yīng)變斷裂韌度，用表示。斷裂韌度與板厚的關(guān)系需要注意：金屬在平面應(yīng)力條件下裂尖產(chǎn)生較大塑性變形，K準(zhǔn)則（建立在線彈性斷裂力學(xué)基礎(chǔ)上）不適用，而要采用第三章的彈塑性斷裂力學(xué)的斷裂準(zhǔn)則。但是當(dāng)裂尖塑性變形區(qū)較小時(shí)，通過下一節(jié)的修正后，仍可用K準(zhǔn)則。37第37頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五線彈性斷裂力學(xué)在小范圍屈服時(shí)的推廣38第38頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五屈服條件單向拉壓：薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)：在應(yīng)力空間

在主應(yīng)力空間謂之屈服條件或屈服面方程單向應(yīng)力復(fù)雜應(yīng)力c塑性約束系數(shù)有效屈服應(yīng)力，材料屈服點(diǎn)39第39頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五①特雷斯卡（Tresca）假設(shè)最大剪應(yīng)力是屈服的控制因素

材料屈服，屈服函數(shù)為：在主應(yīng)力空間是六棱柱，在平面是六邊形

時(shí)，40第40頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五在平面是六角形

CCC-C-C41第41頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五②米澤斯（Mises）假設(shè)控制因素是形狀改變比能（歪形能、畸變能）

Mises屈服條件為：即：或：即Mises屈服條件或屈服方程。42第42頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五在主應(yīng)力空間，屈服面是圓柱

是橢圓方程（屈服曲線）

Mises屈服條件43第43頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五在主應(yīng)力空間屈服面是圓柱

C可由簡(jiǎn)單實(shí)驗(yàn)求出

與六棱柱外接CC-C-C44第44頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

C可由簡(jiǎn)單實(shí)驗(yàn)求出

如：由Mises屈服條件：?jiǎn)蜗蚶烨r(shí)，即：或：45第45頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五純剪切屈服如由Mises屈服條件：純剪切屈服時(shí)，即：46第46頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

線彈性裂紋尖端場(chǎng)，其應(yīng)力場(chǎng)具有

r-1/2

的奇異性，

該奇異性的幅值大小可用應(yīng)力強(qiáng)度因子來表征。但從物理學(xué)的角度來看，真正奇異的應(yīng)力是不存在的，也就是說在裂紋尖端附近很小的范圍內(nèi)，K場(chǎng)是不適用的。在裂紋尖端附近的材料必定發(fā)生屈服。在外加載荷作用下裂紋尖端的應(yīng)力有限有兩種原因。其一是裂尖附近由于應(yīng)力集中,裂尖的材料會(huì)發(fā)生不同程度的塑性變形，其二是裂紋尖端并不是理想的曲率無窮大的形狀，而總是有鈍化的。Irwin小范圍屈服理論47第47頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五那么線彈性斷裂力學(xué)能否繼續(xù)使用呢？如果裂紋尖端的塑性區(qū)（或者說偏離K場(chǎng)的區(qū)域）很小（這種情況我們稱為小范圍屈服），從而對(duì)裂紋尖端場(chǎng)的總體影響不大。Irwin通過研究認(rèn)為在該情況下應(yīng)力強(qiáng)度因子K仍有意義，仍然可以認(rèn)為是K場(chǎng)主導(dǎo)著裂紋的行為。如塑性區(qū)尺寸比裂紋長(zhǎng)度小一個(gè)數(shù)量級(jí)，工程中一般仍用線彈性理論計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子，不過要對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子進(jìn)行修正。48第48頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五49第49頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五小范圍屈服條件

在線彈性情況下，裂紋尖端場(chǎng)完全由應(yīng)力強(qiáng)度因子K來主導(dǎo)，稱為K主導(dǎo)區(qū)，其尺寸取決于裂紋和構(gòu)件的幾何形狀。但如果考慮裂紋尖端的彈塑性性質(zhì)，則在裂紋尖端存在一個(gè)塑性區(qū)，其尺寸記為，顯然，隨著載荷的增大，越來越多的材料發(fā)生屈服，即越來越大。Kr50第50頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五塑性區(qū)的存在會(huì)改變其相鄰區(qū)域的場(chǎng)，使之偏離K場(chǎng)，這一明顯偏離K場(chǎng)，但仍屬于線彈性的區(qū)域?qū)⒘鸭獾乃苄詤^(qū)和K場(chǎng)連接起來，稱為過渡區(qū)。如果這一過渡區(qū)的尺寸與相當(dāng)，同樣就不能再將K作為主導(dǎo)參數(shù)，K場(chǎng)即失去了其主導(dǎo)地位。因此，要認(rèn)為K仍然是裂紋斷裂形為的主導(dǎo)參數(shù)，必須滿足：建議的小范圍屈服條件

51第51頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五Irwin

小范圍屈服理論52第52頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五K主導(dǎo)區(qū)大小即是與載荷沒有明顯關(guān)系的，而塑性區(qū)尺寸是載荷的單調(diào)函數(shù)。隨著外載的增大，塑性區(qū)不斷長(zhǎng)大，并使K場(chǎng)失去其主導(dǎo)地位。工程處理上,一般認(rèn)為，當(dāng)外加載荷P小于0.5P0時(shí)可以認(rèn)為是小范圍屈服,其中是P0裂紋體達(dá)到全面屈服時(shí)的載荷。對(duì)于理想塑性材料，P0即是塑性極限載荷。因此，當(dāng)時(shí)認(rèn)為裂紋尖端場(chǎng)仍由K場(chǎng)所主導(dǎo)，所有外載及幾何信息仍可通過K來反映，它決定著裂尖附近的塑性區(qū)尺寸和塑性變形的大小。53第53頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五前面已指出，裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)是漸進(jìn)解，僅僅適合于裂紋尖端附近：

小范圍屈服是指：

塑性區(qū)形狀的估算：

作下列假定：

（1）忽略裂紋尖端材料屈服后對(duì)塑性區(qū)外K場(chǎng)的影響；

（2）材料為理想塑性，且遵循

Von-Mises屈服條件。

Irwin小范圍屈服理論54第54頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五CRACKTIPPLASTICITYFirstapproximation:Betterapproachesselectedshape:bettersizeestimationIrwinDugdaleBettershapebutfirstorderapproximationforthesizeIrwinapproach:stressredistribution;elastic–plastic;planestress55第55頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五確定塑性區(qū)尺寸的Irwin理論

在不考慮裂紋尖端塑性影響的情況下，線彈性裂紋尖端的K場(chǎng)分布為：K場(chǎng)的表達(dá)式先假設(shè)裂紋尖端塑性區(qū)的存在不致改變其周圍的應(yīng)力場(chǎng)，不引起應(yīng)力松馳，即沒有過渡區(qū)的存在。則只要將上式代入屈服條件，即可以得到塑性區(qū)的尺寸和形狀。56第56頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五VonMises屈服條件

幾種最常用形式為——一般形式：平面應(yīng)力：平面應(yīng)變：為偏斜應(yīng)力為主應(yīng)力屈服應(yīng)力57第57頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五根據(jù)材料力學(xué)主應(yīng)力求解公式得到Ⅰ型裂紋的應(yīng)力公式平面應(yīng)力58第58頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五Irwin小范圍屈服理論可以得到塑性區(qū)尺寸rp

為：

對(duì)平面應(yīng)力情況

對(duì)平面應(yīng)變情況

在裂紋延長(zhǎng)線上塑性區(qū)尺寸ro為：

對(duì)平面應(yīng)力情況對(duì)平面應(yīng)變情況據(jù)上式畫出曲線，如下圖中實(shí)線所示。這條閉合曲線表示裂尖附近塑性區(qū)的周邊形狀，曲線上各點(diǎn)的相當(dāng)應(yīng)力等于屈服極限，內(nèi)部各點(diǎn)超出屈服極限，未考慮應(yīng)力松弛效應(yīng)。59第59頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五Irwin小范圍屈服理論由圖可見，平面應(yīng)變的塑性區(qū)遠(yuǎn)比平面應(yīng)力的小，原因是：平面應(yīng)變狀態(tài)下，沿厚度方向約束所產(chǎn)生的是拉應(yīng)力，在三向拉伸應(yīng)力狀態(tài)下，材料不易屈服而變脆。60第60頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五確定塑性區(qū)尺寸的Irwin理論

61第61頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五說明平面應(yīng)力與平面應(yīng)變的塑性區(qū)形狀不同。這樣的形狀容易從其應(yīng)力狀態(tài)的差異想象出來。平面應(yīng)變的塑性區(qū)尺寸（在同樣的下）小于平面應(yīng)力的塑性區(qū)尺寸。例如，平面應(yīng)變情況下的僅是平面應(yīng)力的16%。這是因?yàn)樵谄矫鎽?yīng)變情況下，裂尖材料承受的是三軸拉伸應(yīng)力狀態(tài)，而VonMises屈服條件（以及Tresca條件）認(rèn)為靜水應(yīng)力不影響屈服。62第62頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五確定塑性區(qū)尺寸的Irwin理論

63第63頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五FirstOrderAproximationsofPlasticZoneShapes

PlasticzoneshapefromVonMisesyieldcriterionThrough-thicknessplasticzoneinaplateofintermediatethicknessEmpiricalRulestoestimatingPlaneStressvs.PlaneStrainconditions:

PlaneStress:2.ry

≈B

PlaneStrain:2.ry<1/10B64第64頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五利用Tresca屈服條件在復(fù)雜受力下,當(dāng)最大切應(yīng)力等于材料彈性拉伸時(shí)的屈服切應(yīng)力,材料即屈服.比較發(fā)現(xiàn):平面應(yīng)變塑性區(qū)尺寸小,平面應(yīng)變處于三向拉伸狀態(tài)不易屈服.平面應(yīng)變的有效屈服應(yīng)力比高塑性區(qū)中的最大應(yīng)力平面應(yīng)變平面應(yīng)力Tresca屈服條件下的塑性區(qū)尺寸65第65頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五Irwin小范圍屈服理論可以得到塑性區(qū)尺寸rp

為：

66第66頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五平面應(yīng)力平面應(yīng)變67第67頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五Plasticzoneshapesforslidingmodeandtearingmodes68第68頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五Itwasmentionedthatitisextremelydifficulttoproperlydescribesizeandshapeoftheplasticzoneatthesametime.Plasticzoneappearanceonthefrontsurface,backsurfaceandanormalsectionofanotchedsiliconironspecimeninplanestress69第69頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五應(yīng)力松弛的修正在上面的分析中，我們假設(shè)塑性區(qū)不影響其周圍的應(yīng)力分布。即未考慮塑性區(qū)內(nèi)塑性變形引起的應(yīng)力松弛，即應(yīng)力再分布影響。這樣，就相當(dāng)于將奇異的K場(chǎng)在裂紋前的塑性區(qū)的簡(jiǎn)單地用VonMises屈服應(yīng)力代替。因此，上面給出的塑性區(qū)尺寸的解顯然無法滿足總體靜力平衡方程。Irwin認(rèn)為，我們可以將塑性區(qū)尺寸的增大到某一值，使總體的靜力平衡方程得到滿足。70第70頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五如圖所示，虛線表示線彈性裂紋尖端場(chǎng)即K場(chǎng)，曲線表示考慮塑性區(qū)引起應(yīng)力松馳后的應(yīng)力分布，其中近似認(rèn)為是段的簡(jiǎn)單平衡。在小范圍屈服條件下，認(rèn)為下方的面積等于下方的面積。因此，要使裂紋前方延長(zhǎng)線上的應(yīng)力與外載相平衡，就要求應(yīng)力松馳后的曲線與線彈性的K場(chǎng)下面的面積相等，即：應(yīng)力松弛的修正71第71頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五對(duì)于平面應(yīng)力情況，當(dāng)跟據(jù)Mises條件，即單向拉伸時(shí)的屈服極限。把，代入上面的積分，得到在考慮應(yīng)力可見，應(yīng)力松弛使塑性區(qū)尺寸增加一倍。松馳條件下，平面應(yīng)力I型裂紋尖端的塑性區(qū)尺寸應(yīng)力松弛的修正72第72頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五同理，對(duì)于平面應(yīng)變情況，當(dāng)，據(jù)Mises條件，把代入上面的積分，可以得到在考慮應(yīng)力松馳時(shí)，平面應(yīng)變I型可見，平面應(yīng)變狀態(tài)下，若考慮塑性區(qū)應(yīng)力松弛影響，塑性區(qū)尺寸同樣增加一倍。上述結(jié)果，是偏安全的近似解。裂紋的尖端塑性區(qū)尺寸為應(yīng)力松弛的修正73第73頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五關(guān)于塑性區(qū)的尺寸和形狀，兩點(diǎn)補(bǔ)充說明：分析沒有考慮材料強(qiáng)化,材料強(qiáng)化使裂紋尖端塑性區(qū)的尺寸變小,對(duì)于設(shè)計(jì)是偏于安全的.一種非常簡(jiǎn)化的分析，實(shí)際上裂紋尖端的塑性區(qū)尺寸和形狀與上面的結(jié)果都有所偏差。在平面應(yīng)力情況下，還有其他的塑性區(qū)形狀，如窄條屈服區(qū)。在三維情況下，例如核電站的壓力容器和管道中的一個(gè)穿透裂紋，塑性區(qū)是一個(gè)三維的復(fù)雜形狀。74第74頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五考慮應(yīng)力松弛修正后的K在考慮塑性區(qū)修正后，裂紋前方的應(yīng)力場(chǎng)變成了的分布，也就是說在塑性區(qū)以外的應(yīng)力場(chǎng)相等于向前移動(dòng)了（）的距離。因?yàn)椋訧rwin建議將裂紋尺寸進(jìn)行如下的修正:等效裂紋的尖端在屈服區(qū)的中心，它由修正裂尖的K場(chǎng)所包圍。如果在線彈性情況下，K表示為:

等效裂紋尺寸或當(dāng)量裂紋尺寸

處稱為物理裂紋尖端，處稱為虛設(shè)裂紋尖端修正后75第75頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

稱為等效裂紋長(zhǎng)度等效裂紋模型法指以代替原裂紋長(zhǎng)，對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子進(jìn)行修正。這說明，塑性區(qū)的存在相當(dāng)于裂紋長(zhǎng)度增加，即裂紋體的柔度增加，因而裂紋的應(yīng)變能釋放率也增加。在引入小范圍屈服情況下等效裂紋長(zhǎng)度的概念后，線彈性斷裂力學(xué)中的應(yīng)力強(qiáng)度因子理論仍然有效。只要將應(yīng)力強(qiáng)度因子K中的裂紋長(zhǎng)度用等效裂紋長(zhǎng)度代替即可等效裂紋長(zhǎng)度與應(yīng)力強(qiáng)度因子76第76頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五等效裂紋長(zhǎng)度與應(yīng)力強(qiáng)度因子應(yīng)力強(qiáng)度因子裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)強(qiáng)弱的標(biāo)志。

取等效裂紋長(zhǎng)度，令等效裂尖附近應(yīng)力場(chǎng)的線彈性理論分布曲線在原裂紋塑性區(qū)邊界C1即在處的應(yīng)力等于又因?yàn)?，所以有——?yīng)力松弛后的應(yīng)力強(qiáng)度因子。77第77頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五平面應(yīng)力下，有代入上式，并近似設(shè)得平面應(yīng)變下，按則等效裂紋長(zhǎng)度與應(yīng)力強(qiáng)度因子裂紋的計(jì)算邊界正好在塑性區(qū)的中心78第78頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五另外，若按一般采用的公式則：繼而按等效裂紋長(zhǎng)度計(jì)算等效應(yīng)力強(qiáng)度因子，一般工程應(yīng)用中，取，又因，用等效裂長(zhǎng)代替，則有：對(duì)于平面應(yīng)力情況，代入相應(yīng)的，得等效裂紋長(zhǎng)度與應(yīng)力強(qiáng)度因子79第79頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五同理可得平面應(yīng)變狀態(tài)下應(yīng)力強(qiáng)度因子

可見兩種狀態(tài)下應(yīng)力強(qiáng)度因子都擴(kuò)大。上述結(jié)論都是近似的，我們假設(shè)了，且未考慮等效裂長(zhǎng)對(duì)形狀因子Y的影響。對(duì)于復(fù)雜問題要用逐次逼近法求，具體步驟見書。等效裂紋長(zhǎng)度與應(yīng)力強(qiáng)度因子80第80頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五前面我們已經(jīng)有I型裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子

KI

的表達(dá)式

其中Y(g，a)稱為幾何影響因子。引入小范圍屈服情況下的等效裂紋長(zhǎng)度，

由于而塑性區(qū)長(zhǎng)度ro又依賴于應(yīng)力強(qiáng)度因子KI，所以，考慮小范圍屈服修正后的應(yīng)力強(qiáng)度因子需要迭代計(jì)算。

Irwin的上述理論是在小范圍屈服的條件下建立的，即要求:等效裂紋長(zhǎng)度與應(yīng)力強(qiáng)度因子81第81頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五如何而來？因?yàn)槠矫鎽?yīng)變下，沿板厚在第三向拉應(yīng)力,三向拉伸應(yīng)力作用下,材料不易屈服,即材料的有效屈服應(yīng)力比單向拉伸屈服應(yīng)力要高,而平面應(yīng)力條件下,有效屈服應(yīng)力.下面進(jìn)行證明：設(shè)是最大主應(yīng)力,,,代入mises準(zhǔn)則設(shè)塑性約束系數(shù),代入上式有82第82頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五對(duì)Ⅰ型裂紋平面應(yīng)變:

在x軸上,若取,則,即對(duì)平面應(yīng)力83第83頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五把塑性區(qū)中最大應(yīng)力叫做有效屈服應(yīng)力用表示,表面平面應(yīng)變?cè)诘钠矫嫔?屈服區(qū)內(nèi)最大應(yīng)力是的三倍.實(shí)際一般試件表面是處于平面應(yīng)力,只有中心部分才是平面應(yīng)變,故平均約束系數(shù),實(shí)驗(yàn)測(cè)定,用環(huán)形切口圓棒試件所做的拉伸試驗(yàn),在三向拉伸狀態(tài)下：一般取,84第84頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五復(fù)習(xí)--線彈性斷裂力學(xué)

線彈性材料的斷裂準(zhǔn)則-應(yīng)力強(qiáng)度因子斷裂準(zhǔn)則：條件：塑性區(qū)比K場(chǎng)區(qū)小得多，而K場(chǎng)區(qū)又比裂紋長(zhǎng)度小得多85第85頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期五用柔度法確定臨界應(yīng)變能釋放率柔度：變形與載荷的比值總應(yīng)變能—柔度：應(yīng)變能釋放率：臨界應(yīng)變能釋放率：復(fù)習(xí)--線彈性斷裂力學(xué)86第86頁(yè)，共94頁(yè)，2023年，2月20日，星期