布朗運(yùn)動(dòng)及其應(yīng)用【摘要】：布朗運(yùn)動(dòng)作為一個(gè)簡單的、連續(xù)的隨過程，其發(fā)展隨著物理和金融模型隨機(jī)行為的發(fā)展在不停地進(jìn)行著。這種隨機(jī)行為的典型例子是氣體分子的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)和資產(chǎn)定價(jià)的波動(dòng)。布朗運(yùn)動(dòng)的應(yīng)用很廣泛，例如，圖像中的噪聲建模，分形生成，晶體生長和股票市場的模擬。本文開始對布朗運(yùn)動(dòng)包括其發(fā)現(xiàn)和之后的發(fā)展進(jìn)行了概括性的介紹并探索了布朗運(yùn)動(dòng)和正態(tài)過程的關(guān)系以及布朗運(yùn)動(dòng)的一些性質(zhì)布朗運(yùn)動(dòng)有許多有意思的性質(zhì)，其中包括連續(xù)性和軌道幾乎處處不可微的性質(zhì)。并且無論對這種性質(zhì)理解得多么透徹，這個(gè)性質(zhì)看上去仍然很像布朗運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)，最后會(huì)對布朗運(yùn)動(dòng)在金融領(lǐng)域某些方面的應(yīng)用進(jìn)行探索?！続bstract】：Brownianmotion(WienerProcess)isasimplecontinuousstochasticprocessthatiswidelyusedinphysicsandfinancemodelingrandombehaviorthatevolvesovertime.Examplesofsuchbehavioraretherandommovementsofamoleculeofgasorfluctuationsinanasset’sprice.Brownianmotionhasawiderangeofapplications,includingmodelingnoiseinimages,generatingfractals,growthofcrystalsandstockmarketsimulation.This

article

willfirstconcentrateonintroducingBrownianmotionincludingitsdiscoveryanddevelopmentgenerally.ItalsostudiestherelationshipbetweenBrownianmotionandNormalprocessaswellasitsproperties.Brownianmotionhasanumberofotherinterestingproperties.Oneisthatrealizations,whilecontinuous,aredifferentiablenowherewithprobability1.Realizationsarefractals.Nomatterhowmuchyoumagnifyaportionofgraphofarealization,theresultstilllookslikearealizationofaBrownianmotion.FinallythearticlewilllookintosomeapplicationsofBrownmotioninthefinancialworld.【keywords】：Brownianmotion；Normalprocess；continuous；differentiable；目錄第1章 引言 3第2章 關(guān)于布朗運(yùn)動(dòng)的概念和定義 32.1 基礎(chǔ)概率知識(shí) 32.2 隨機(jī)過程基礎(chǔ)概念 4第3章 隨機(jī)游動(dòng)與布朗運(yùn)動(dòng) 63.1簡單隨機(jī)俳佪的數(shù)學(xué)表達(dá)及分布 63.2簡單隨機(jī)過程逼近布朗運(yùn)動(dòng) 73.2.1由Chapman-Kolmogorov方程逼近 73.2.2中心極限定理的方法： 8第4章 布朗運(yùn)動(dòng)概率密度及其性質(zhì) 94.1有限維布朗運(yùn)動(dòng)的聯(lián)合概率密度函數(shù) 94.1.1兩個(gè)隨機(jī)向量的概率密度轉(zhuǎn)換公式 94.1.2有限維布朗運(yùn)動(dòng)的聯(lián)合概率密度函數(shù): 94.2布朗運(yùn)動(dòng)的性質(zhì) 104.2.1布朗運(yùn)動(dòng)的正向馬爾可夫性 104.2.2軌道性質(zhì)：布朗運(yùn)動(dòng)的幾乎所有軌道都不是有界變差 124.3 布朗運(yùn)動(dòng)與正態(tài)過程 13第5章 布朗運(yùn)動(dòng)的應(yīng)用 155.1布朗運(yùn)動(dòng)在金融市場的應(yīng)用 155.2首中時(shí)與最大值 155.3帶有漂移的布朗運(yùn)動(dòng) 165.4幾何布朗運(yùn)動(dòng) 21結(jié)語 22第1章 引言布朗運(yùn)動(dòng)（Brownianmotion）最初是由英國生物學(xué)家布朗（R.Brown）于1827年根據(jù)觀察花粉微粒在液面上作“無規(guī)則運(yùn)動(dòng)”的物理現(xiàn)象而提出的，在布朗之后，這一問題一再被告提出，為此有許多學(xué)者進(jìn)行過長期的研究。一些早期的研究者簡音的把它歸結(jié)為熱或電等外界因素引起的。1905年，愛因斯坦依據(jù)分子運(yùn)動(dòng)論的原理提出了布朗運(yùn)動(dòng)的理論。就在差不多同時(shí)，斯莫盧霍夫斯基也作出了同樣的成果。他們的理論圓滿地回答了布朗運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)問題。愛因斯坦（Einstein）首次對這一現(xiàn)象的物理規(guī)律給出了一種數(shù)學(xué)描述，使這一課題有了顯著的發(fā)展，這方面的物理理論工作在Smoluchowski，F(xiàn)okker，Planck，Burger，F(xiàn)urthOrnstein，Ublenbeck等人的努力下迅速發(fā)展起來了，但數(shù)學(xué)方面卻由于精確描述太困難而進(jìn)展緩慢。PaulLevy從1910起數(shù)十年的工作，對Brown運(yùn)動(dòng)的研究有著深遠(yuǎn)的影響，他的著作《Processessstochastiquesetmouvenmentbrownnien》（1948年第一版，1965年第二版）至今仍對這方面的研究工作有許多啟示與參考價(jià)值。直到1918年才由維納（Wiener）對這一現(xiàn)象在理論上做出了精確的數(shù)學(xué)描述，構(gòu)造出了一個(gè)概率空間（Wiener空間）及其上的隨機(jī)過程來刻畫Einstein的物理嚴(yán)格意義下的Brown運(yùn)動(dòng)。因而Brown運(yùn)動(dòng)也叫做Wiener過程。Wiener的論文“Differentialspace”，J.Mathandphoys。2.131-174是Brown運(yùn)動(dòng)研究的里程碑，可以這樣說，由Einstein首創(chuàng)的Brown運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，由Levy與Wiener大地發(fā)展深化了。這些工作使之成為現(xiàn)代概率論的重要部分。至今，由于大量的數(shù)學(xué)家與自然科學(xué)家的工作，Brown運(yùn)動(dòng)及其泛涵的研究不斷深入發(fā)展，它已成為隨機(jī)過程的兩大基石之一，它不僅滲透到偏微分方程、調(diào)和分析、計(jì)算方法、控制等各數(shù)學(xué)領(lǐng)域，而用在生物、化學(xué)、物理、力學(xué)、工程、經(jīng)濟(jì)管理、金融等學(xué)科中Brown運(yùn)動(dòng)也成為不可缺少的研究工具，它是“噪聲”與“漲落”等隨機(jī)現(xiàn)象的典型，并提供處理的參考模式。第2章 關(guān)于布朗運(yùn)動(dòng)的概念和定義2.1 基礎(chǔ)概率知識(shí)Definition2.1.1測度空間:設(shè)F為由Ω的某些子集構(gòu)成的非空集類，若滿足：若A∈F，則AC是A的補(bǔ)集，即AC=Ω-A；若An∈F，n∈N，則n則稱F為σ域（σ代數(shù)），稱（Ω，F(xiàn)）為可測空間。容易驗(yàn)證，若F為σ域，則F對可列次交、并、差等運(yùn)算封閉，即F中的任何元素經(jīng)可列次運(yùn)算后仍屬于F.例：集類F0=｛

?，A，Ω｝，F(xiàn)1=｛?，A，AC，Ω｝及F2=｛A:?A?Ω｝是σ域，但集類A=｛

?，A，Ω｝不是σ通常最關(guān)心的是包含所木研究對象的最小σ域.設(shè)A為由Ω的某些子集構(gòu)成的集類.一切包含A的σ域的交，記為σ(A)，稱σ(A)為由A生成的σ域，或稱為包含A的最小σ域。概率空間是概率論的基礎(chǔ)，概率的嚴(yán)格定義基于這個(gè)概念。它是是一個(gè)總測度為1的測度空間，下面是概率空間的定義。definition2.1.2概率空間：設(shè)（Ω，F(xiàn)）為可測空間，P是一個(gè)定義在F上的集函數(shù)，若滿足：P(A)≥0,?A?FP(Ω)=1;（規(guī)一性）若Ai∈F,i=1,2,…,且AiAj=?，?i≠jP(n=1∞Ai則稱P為可測空間（Ω，F(xiàn)）上的一個(gè)概率測度（probabilitymeasure），簡稱概率（probability）.稱（Ω，F(xiàn)，P）為概率空間（probabilityspace），稱F為事件域.若A∈F，則稱A為隨機(jī)事件（randomevent），簡稱為事件，稱P(A)為事件ADefinition2.1.3條件概率與條件分布函數(shù)：設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)及任一隨機(jī)事件B∈F IB(ω)=1,即IB是B的示性函數(shù).顯然P(B)=E(IB(ω)).稱E(IB(ω)|Y)?P(B|Y)為事件B關(guān)于隨機(jī)變量Y的條件概率，此時(shí)P(B|Y)是隨機(jī)變量且是Y的函數(shù)，對于任意x∈R，取B=(ω:X≤x),稱F(x|Y)?P(X≤x|Y)=E(I(X≤x)|Y)為X關(guān)于Y2.2 隨機(jī)過程基礎(chǔ)概念如果我們把一系列的隨機(jī)變量按時(shí)間的演化放在一起，則得到一個(gè)隨機(jī)過程。Definition2.2.1隨機(jī)過程：設(shè)對每一個(gè)參數(shù)t∈T，X(t，ω)是一個(gè)隨機(jī)變量，稱隨機(jī)變量族XT=｛X(t，ω),t∈T｝為一隨機(jī)過程（stochasticprocess）或稱隨機(jī)函數(shù).其中T?R 用映射來表示XT， X(t，ω)，T×Ω→R，即X.(.)是定義在T×Ω上的二元單值函數(shù)，固定t∈T，X(t,.)是定義在樣本空間Ω上的函數(shù)，即一隨機(jī)變量.對于ω∈Ω，X(.,ω)（t在T中順序變化）是參數(shù)t∈T的一般函數(shù)，通常稱X(.,ω)為樣本函數(shù)，或稱隨機(jī)過程的一個(gè)實(shí)現(xiàn)，說是一條軌道.記號(hào)X(t，ω)有時(shí)也寫為Xt(ω)或簡記為X(t)或Xt XT的取值也可以是復(fù)數(shù)，Rn或更一般的抽象空間.Xt(t∈T)可能取值的全體所構(gòu)成的集合稱為狀態(tài)空間，記作S.S中的元素稱為狀態(tài)。Definition2.2.2獨(dú)立增量過程：對t1<t2<…<tn，ti∈T，1≤i≤n，若增量 Xt1，Xt2-Xt2，Xt3-相互獨(dú)立，則稱｛Xt，t∈T｝為獨(dú)立增量過程（processwithindependentincrement）.若對一切0≤s≤t，增量Xt-Xs的分布只依賴于t-s，則稱XT有平穩(wěn)增量.有平穩(wěn)增量的獨(dú)立增量過程簡稱為獨(dú)立平穩(wěn)增量過程.常見的泊松（Possion）過程和維納（Wiener）過程就是兩個(gè)最簡單也是最重木的獨(dú)立平穩(wěn)增量過程。Definition2.2.3馬爾可夫過程： 一隨機(jī)過程，若已知現(xiàn)在的t狀態(tài)Xt，那么將來狀態(tài)Xu(u>t)取值（或取某些狀態(tài)）的概率為過去狀態(tài)Xs(s<t)取值無關(guān)，或更簡單地說，已知現(xiàn)在，將來與過去無關(guān)（條件獨(dú)立），則稱此性質(zhì)為馬爾可夫性（無后效性或簡稱馬氏性）.具有這種馬爾可夫性的過程稱為馬爾可夫過程.精確定義： 隨機(jī)過程｛Xt，t∈T｝，若對任意t1<t2<…<tn<t，xi，1≤i≤n，及A?R，總有 P(Xt∈A|Xt1=x1，Xt2=x2，…，Xtn=xn)=P(Xt則稱此過程為馬爾可夫過程（Markovprocess），簡稱馬氏過程.Definition2.2.4布朗運(yùn)動(dòng)：標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動(dòng)。或者簡稱Brown運(yùn)動(dòng)，又稱Wiener過程，是定義在某一概率空間（Ω，F(xiàn)，P）上的滿足下列條件的隨機(jī)過程｛Wt(ω)，t≥0｝，ω0=0;具有獨(dú)立增量過程：對任意的0≤t0<t1<…<tn,Wt1-Wt0，Wt2-Wt1增量服從正態(tài)分布：Wt-Ws服從N(0,t-s)的正態(tài)分布,?t≥s≥具有連續(xù)的樣本軌道：存在一個(gè)零概率集N∈F，使得對任意的ω∈Nc，Wt(ω)作為t的函數(shù)關(guān)于t連續(xù)。definition2.2.5n維布朗運(yùn)動(dòng)：{Wt=(W1t,W2t,…,Wnt),t對?0≤t1<t2<…<tm，Wt1-Wt0,Wt2-Wt1對s≥0,t>0,增量Wt-Ws為n維正態(tài)分布，其概率密度函數(shù)為P(t,ω)=1(2πt)n2exp(-||x||2其中||x||=(1(3) 對每一ω∈Ω，Wt(ω)是tDefinition2.2.6正態(tài)過程：如果隨機(jī)過程｛Xt,t∈T｝對任意ti∈T(i=1,2,…n);Xt1,Xt2,…,Xtn的聯(lián)合分布為n維分布，則稱｛Definition2.2.7布朗橋：｛Wt,t≥0｝為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，不妨設(shè)W0=0，W00t=Wt-tW1,則稱｛W00t，0≤t≤1｝為布朗橋。第3章 隨機(jī)游動(dòng)與布朗運(yùn)動(dòng)3.1簡單隨機(jī)俳佪的數(shù)學(xué)表達(dá)及分布簡單隨機(jī)俳佪的數(shù)學(xué)表達(dá)考慮一個(gè)粒子在d-維空間格點(diǎn)（記為Zd）中的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)：粒子每隔單位時(shí)間相互獨(dú)立地走一步，每一步可沿任意一個(gè)坐標(biāo)方向走一個(gè)單位長.設(shè)粒子沿第k個(gè)坐標(biāo)軸正向或負(fù)向走一個(gè)單位的概率分別是pk與q k=1d于是第k步粒子的位移是一個(gè)隨機(jī)變量： xk(ω)=e1,概率為p1；-e其中e1,…,ed分別表示沿第1,…,d個(gè)坐標(biāo)方向的單位向量，pk，qk≥0（0≤k≤d）. 為了要容綱所有的（無限個(gè)）相互獨(dú)立的xk(ω)（k=1，2，…）,我們中要取Ω=｛（ω1，ω2,…,ωn,…）;ω0∈Zd,ωk∈{±e1,±e2,…,±ed}，k≥ P(ω，ω0∈A0，ω1∈B1,…,ωn∈Bn)=P0(A0)k=1n其中n≥0，P0（.）是Zd上任何一個(gè)概率分布，它代表隨機(jī)俳佪的初始值ω0的分布；Bk?｛±e1,±e2,…,±ed｝，P(e所決定的概率，于是在Ω，F(xiàn)，P）中的坐標(biāo)過程即可取為 xk(ω)=ωk （k=1，2，…令 ξn(ω)=ω0+k=n就是所得到的簡單隨機(jī)俳佪的數(shù)學(xué)表達(dá).簡單隨機(jī)俳佪的分布設(shè)簡單隨機(jī)俳徊在時(shí)刻m的位置為x，在地刻n+m的位置為y，則經(jīng)過n個(gè)單位時(shí)間它的位移是y-x這個(gè)事件的概率分布服從多項(xiàng)分布： pn(y-x)=nk1,h1,其中和號(hào)取遍滿足以下條件的各項(xiàng)： k1+h1+k2+h而ki與hi分別表示在n步中沿ei的正向與負(fù)向所走的步數(shù)nm1,m2,…,m2d表示將n個(gè)元素分成2d堆，各有m1,m2,…,m2d個(gè)元素的分法數(shù)，它等等于n!m1!,m2!,…,md!P(ξn1=x1=x0∈Zdp03.2簡單隨機(jī)過程逼近布朗運(yùn)動(dòng)設(shè)X(t0)表示一個(gè)粒子作Brown運(yùn)動(dòng)中的x方向分量，x0為粒子在時(shí)刻t0的位置，即X(t0)=x0.設(shè)p(x,t|x0).表示在給定X(t0)=x0的條件下X(t+t0)的條件概率密度.我們假設(shè)所給的轉(zhuǎn)移概率是平穩(wěn)的，從而p(x,t|x0)不依賴于起始時(shí)刻t0.因?yàn)閜(x,t|t0)是X的密度函數(shù)，故p(x,t|x0)≥0, -∞∞進(jìn)一步，我們要求對充分小的t，X(t+t0)與X(t0)=x0非常接近，即 limt由物理原理，愛因斯坦證明了p(x,t|x0)必然滿足偏微分方程 ?p?t=D?2p?2t. 上述方程稱為擴(kuò)散方程，D稱為擴(kuò)散系數(shù).D的估計(jì)根據(jù)公式D=2RT/Nf來確定，其中R為氣體（液體）常數(shù)，T為溫度，N為Avogadro數(shù)，f為摩擦系數(shù).3.2.1由Chapman-Kolmogorov方程逼近（*）式可以根據(jù)簡單隨機(jī)游動(dòng)逼近的方式導(dǎo)出.考慮對稱隨機(jī)游機(jī)（即P(Xn=-1)=P(Xn=1)=12）,每次移動(dòng)△x，其中xn表示粒子在第n時(shí)刻運(yùn)動(dòng)的方向，Sn=（X1+…+X2）△x表示在時(shí)刻n粒子的位置.以pk(n)表示時(shí)刻n△t時(shí)粒子處于位置k△x的概率，則由Chapman-Kolmogorov pk(n+1)=12pk+1(n)+12pk-1(n) 這方程也可以改寫為 pk(n+1)-pk(n)=12[pk+1(n)-2pk(n)+12pk-1(n)]. 刻式左邊是時(shí)間的一階差分，而右邊是位置變量的二階差分.通過適當(dāng)?shù)臉O限過程讓單位轉(zhuǎn)移時(shí)間趨于0，同時(shí)讓步長適當(dāng)收縮到0，我們可以由上式得到（*）.特別，設(shè)轉(zhuǎn)移時(shí)間間隔為△t，步長為△x，則上式可寫為 pk△xn+1△t-pk△x(n△t)△t=然后令△t→0，△x→0而保持△t=(△x)2.再令n→∞，k→∞，使k△x→x，n△t→t，則pk△xn△t→p(x,t|x3.2.2中心極限定理的方法：設(shè)X(t)表示粒子在時(shí)刻t時(shí)的位置.粒子轉(zhuǎn)移時(shí)間間隔和步長分別為△t和△x，Xk表示在時(shí)刻k△x時(shí)轉(zhuǎn)移方向，則 X(t)=△x(X1+X2+…+p[t△t]), 其中[z]表示z的整數(shù)部分.由于EXi=0，Var(Xi)=1,故在(5.7)中，EX(t)=0,Var(X(t))=(△x)2[t△t],現(xiàn)令△x，△t→0，但趨于0的方式應(yīng)保持方差不能趨于0或∞，即要求(△x)2=c2△t（因?yàn)槿簟鱴=△t，則Var(X(t))→0，從而由概率論知識(shí)得X(t)幾乎等于0.如果△t=(△x)3，則Var(X(t))→∞，這也是不合實(shí)際情況的.因?yàn)橛晌锢砩狭Ｗ舆\(yùn)動(dòng)的連續(xù)性，不可能在很短時(shí)間內(nèi)運(yùn)離出發(fā)點(diǎn).因此合理的假設(shè)只能是(△x)2=c2△t，其中c>0）.X(t)~N(0,c2t). 此外，由于在不相交時(shí)間間隔內(nèi)的隨機(jī)游動(dòng)是獨(dú)立的.因此我們可以知道Brown運(yùn)動(dòng)有獨(dú)立增量.最后，由于在任何一段時(shí)間內(nèi)隨機(jī)游動(dòng)位置變化的分布只依賴于區(qū)間的長度，故Brown運(yùn)動(dòng)應(yīng)有平穩(wěn)增量.第4章 布朗運(yùn)動(dòng)概率密度及其性質(zhì)4.1有限維布朗運(yùn)動(dòng)的聯(lián)合概率密度函數(shù)4.1.1兩個(gè)隨機(jī)向量的概率密度轉(zhuǎn)換公式已知若Y=(Y1,Y2,…,Yn)是n維隨機(jī)變量，g(y1,y2,…,yn)是它的概率密度函數(shù)，現(xiàn)有Xi=fi(Y1,Y2,…,Yn)(i=1,2,…,n)是Y的函數(shù)且存在唯一的反函數(shù)Yi=hi(X1,X2,…,Xn)若fi，hi有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則X=(X1,X2,…,Xn)的概率密度函數(shù)為：f(x1,x2,…,xn)=gy1,y 其中J=α4.1.2有限維布朗運(yùn)動(dòng)的聯(lián)合概率密度函數(shù):設(shè)｛Wt,t≥0｝為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng).令x0=0，t0=0.對0≤t0<t1<…<tn有（Wt1,Wt2,…為：f(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tm)=i=1np(xi-xi-1其中p(x;t)=12πtexp{-證明：利用布朗運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性.令Y1=Wt1- Y2=Wt2 ? Yn=Wtn-即Wti=fi(Y1,Y2,…,Yn)=Y1+Y2+…+Yn=Wt1-Wt0+W所以Wti是獨(dú)立增量過程，Y1,Y2,…,Y且Yi=Wti-Wti-1故（Y1,Y2,…,Yn）的聯(lián)合密度函數(shù)是：g(y1,y2,…,yn)=i=1n12π(ti-ti-1Wti=fi(Y1,Y2,…,Yn)，并且存在唯一的反函數(shù)Yi=hi(Wt1,Wt2并且fi和hi有連續(xù)的偏導(dǎo)所以由前面引入的隨機(jī)向量變換的概率密度公式，得(Wt1,Wt2,… f(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tm)=g(y1,y2,…,yn)|J|. （4.4）這里的|J|=1于是有|J|=1;所以f(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tm)=g(y1,y2,…,yn)=i=1n12πti-即得證.由上述定理很容易得出，在Wt1=x0的條件下，p(x;t2-t1|x0)=12π(t2-t1)exp{-x-x022t同樣，在Wt0=x0下， p(x,t|x0)=p(x-x0,t)=12πtexp{-x-x022t}. 所以P(Wt0+t>x0|Wt0=x0)=P(Wt0+t≤x0|Wt0=x上式表明，給定初始條件Wt0=x0，對于任意的t>0,布朗運(yùn)動(dòng)在t0+t時(shí)刻的位置高于或低于初始位置的概率相等，均為1/2,4.2布朗運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)4.2.1布朗運(yùn)動(dòng)的正向馬爾可夫性對0≤t0<t1<…<tn，在給定Wt1,Wt2,…,Wtn-即f=fWtn|Wtn-1=an-1(xn|證明：先求出所需要的概率密度函數(shù)： 設(shè)p(x;t)=12πexp{ =1\*GB3①Wt1,Wt2,…,W f(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)==i=1np(xi-xi-1; =2\*GB3②Wt1,Wt2,…,f(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tm)==i=1n-1p(xi-xi-1; =3\*GB3③Wtn-1,Wt 由t0<tn-1<tn，且W0=0，其中t0=0，x0=0 得：Wtn-Wtn-1與Wtn-1 故f(xn-1,xn;tn,tn-1)=p(xn-xn-1;tn-tn-1)p(xn-1-x0;tn-1-t0) =p(xn-xn-1;tn-tn-1)p(xn-1;tn-1). （4.12） =4\*GB3④Wtn-1的概率密度函數(shù)： f(xn-1;tn-1)=p(xn-1;tn-1). （4.13）于是有f =f(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)f( =p(xn-an-1;tn-tn-1)=12πtn-tn-1exp-x fWtn|Wtn-1=an-1(xn|an-1)=f(xn-1所以fWt即布朗運(yùn)動(dòng)具有正向馬爾可夫性。4.2.2軌道性質(zhì)：布朗運(yùn)動(dòng)的幾乎所有軌道都不是有界變差命題4.2.1：設(shè)0=t0<t1<?<tn=t，記λ=maxi1≤k≤n limλ→0i=1n(Wti-Wti-1)2m.s.其中m.s.表示均方收斂.證明：只需證：limλ→0E[由正態(tài)分布知：E[((Wti-Wti-1)4)]=3(ti-ti-1)2, E[((Wti-Wti-1)2)]=ti-ti-1, 于是有：E=E[(i =Var[i=1 =i=1nVar[(Wti-Wti-1)2] （因?yàn)閃 =i=1 =i =2i ≤2max =2λt→0（λ→0）.命題4.2.2=2\*ROMAN：定義隨機(jī)過程列如下：ξn(k2-n):=i=1k(Wi2n-Wi-1而在每一小區(qū)間[(k-1)2-n，k2-n]上ξn為線性函數(shù).則? limn→∞supt∈[0,T]|ξnt-t|=0, a.s..命題的證明：只需證明?t=k2-n，（k=0，1，2，…,2n，n=1，2，…），有 limn→∞ξn因?yàn)镋(ξnt-t)2=Var=2i=12=2?2nt?(12n)2=t2n-1所以E[n=1∞(ξnt=n=1∞t2n-1<∞. 從而n=1∞(ξn由此ξnt→t.命題4.2.3：布朗運(yùn)動(dòng)的幾乎所有的軌道都是無限變差的. 證明：設(shè)（Ω，F(xiàn)，P）是｛Wt，t>0｝的概率空間.設(shè)0=t0<t1<?<tn=t，記λ=max用反證法證：假設(shè)命題=3\*ROMANIII不成立，則存在集合A∈F使得：?ω∈A有n=1∞|Wt則有n=1≤maxi=λn=1∞|Wtiω-這與命題2的結(jié)論相矛盾，故假設(shè)不成立.所以得到結(jié)論：對任意給定的小區(qū)間，幾乎對所有軌道ω，Wt關(guān)于t都不是有界變差函數(shù)。實(shí)際上布朗運(yùn)動(dòng)還有更強(qiáng)的性質(zhì)：布朗運(yùn)動(dòng)在任意一點(diǎn)t≥0，幾乎對所有的軌道ω均不存在有限的導(dǎo)數(shù).4.3 布朗運(yùn)動(dòng)與正態(tài)過程正態(tài)過程：如果隨機(jī)過程｛Xt,t∈T｝對任意ti∈T(i=1,2,…n);Xt1,Xt2,…,Xtn的聯(lián)合分布為下面的定理4.3.1是判斷一個(gè)正態(tài)隨機(jī)過程是否為布朗運(yùn)動(dòng)的充分必要條件：定理4.3.1 設(shè)｛Wt，t≥0｝是正態(tài)過程，軌道連續(xù)，W0=0，?s，t>0有 E(Wt)=0, E(WsWt)=t∧s，則｛Wt，t≥0｝是布朗運(yùn)動(dòng)，反之亦然. 證明：=1\*GB2⑴ （?）先證充分性，設(shè)0<s≤t，0<t1<t2<?<tn，已知｛Wt，t≥0｝是布朗運(yùn)動(dòng)， 則（Wt1,W f(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tm)=i=1n12π(ti故Wt1,Wt2,…,且Wt～N(0,t)；Ws～N(0,s)；Wt-Ws～N(0,t-s)且Ws與Wt-Ws之間相互獨(dú)立.E[Wt]=0,且軌道連續(xù)，W0=0則E[WsWt]=E[(Wt-Ws+Ws)Ws]=E[(Wt-Ws)Ws]+E[Ws =E(Wt-Ws)?E(Ws)+Var(Ws) =0+s=s.充分性得證.=2\*GB2⑵ （?）再證必要性.已知｛Wt，t≥0｝是正態(tài)過程，軌道連續(xù)，W0=0， 則對?0<s<t，有Wt～N(0,t)；Ws 于是計(jì)算Wt-Ws的均值和方差： E[Wt-Ws]=E[Wt Var[Wt-Ws =EWt2+EWs2 =t+s-2s=t-s； 故Wt-獨(dú)立性：?0<s E[(Wt1- =E[Wt =E[Wt1Wt2]-E[Wt1Ws =t1-s1-t1+s1=0.多維正態(tài)分布不相關(guān)與相互獨(dú)立等價(jià).綜上：ω0=0;對任意的0≤t0<t1<…<tn,Wt1-Wt0，Wt2-WWt-Ws服從N(0,t-s)的正態(tài)分布,?t≥s≥0｛Wt，t≥0｝軌道關(guān)于t連續(xù).故｛Wt，t≥0｝是布朗運(yùn)動(dòng).利用上面定理可以得到以下一些有用的結(jié)論：設(shè)｛Wt，t≥0｝是布朗運(yùn)動(dòng)，則(1)｛Wt+s-Wt，t≥0(2)｛1λWλt，t≥0｝(3)｛tW1t，t≥0｝，其中{W1t(4)｛Wt0+s-Wt0，0仍為布朗運(yùn)動(dòng).第5章 布朗運(yùn)動(dòng)的應(yīng)用5.1布朗運(yùn)動(dòng)在金融市場的應(yīng)用將布朗運(yùn)動(dòng)與股票價(jià)格行為聯(lián)系在一起，進(jìn)而建立起維納過程的數(shù)學(xué)模型是本世紀(jì)的一項(xiàng)具有重要意義的金融創(chuàng)新，在現(xiàn)代金融數(shù)學(xué)中占有重要地位。迄今，普遍的觀點(diǎn)仍認(rèn)為，股票市場是隨機(jī)波動(dòng)的，隨機(jī)波動(dòng)是股票市場最根本的特性，是股票市場的常態(tài)。布朗運(yùn)動(dòng)假設(shè)是現(xiàn)代資本市場理論的核心假設(shè)。現(xiàn)代資本市場理論認(rèn)為證券期貨價(jià)格具有隨機(jī)性特征。這里的所謂隨機(jī)性，是指數(shù)據(jù)的無記憶性，即過去數(shù)據(jù)不構(gòu)成對未來數(shù)據(jù)的預(yù)測基礎(chǔ)。同時(shí)不會(huì)出現(xiàn)驚人相似的反復(fù)。隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)定義是：在個(gè)別試驗(yàn)中其結(jié)果呈現(xiàn)出不確定性；在大量重復(fù)試驗(yàn)中其結(jié)果又具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的現(xiàn)象。描述股價(jià)行為模型之一的布朗運(yùn)動(dòng)之維納過程是馬爾科夫隨機(jī)過程的一種特殊形式；而馬爾科夫過程是一種特殊類型的隨機(jī)過程。隨機(jī)過程是建立在概率空間上的概率模型，被認(rèn)為是概率論的動(dòng)力學(xué)，即它的研究對象是隨時(shí)間演變的隨機(jī)現(xiàn)象。所以隨機(jī)行為是一種具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的行為。股價(jià)行為模型通常用著名的維納過程來表達(dá)。假定股票價(jià)格遵循一般化的維納過程是很具誘惑力的，也就是說，它具有不變的期望漂移率和方差率。維納過程說明只有變量的當(dāng)前值與未來的預(yù)測有關(guān)，變量過去的歷史和變量從過去到現(xiàn)在的演變方式則與未來的預(yù)測不相關(guān)。股價(jià)的馬爾科夫性質(zhì)與弱型市場有效性(theweakformofmarketefficiency)相一致，也就是說，一種股票的現(xiàn)價(jià)已經(jīng)包含了所有信息，當(dāng)然包括了所有過去的價(jià)格記錄。但是當(dāng)人們開始采用分形理論研究金融市場時(shí)，發(fā)現(xiàn)它的運(yùn)行并不遵循布朗運(yùn)動(dòng)，而是服從更為一般的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)。5.2首中時(shí)與最大值首中時(shí)：設(shè)｛Wt，t≥0｝是布朗運(yùn)動(dòng)，不妨設(shè)W0=0.令Ta=｛t：t>0，Wt=a｝，則Ta表示首次擊的時(shí)間（首中時(shí)）.下面探索T對任意t>0，Mt=max0≤s≤tWs表示[0,t]上的最大值. ｛Ta≤t｝=｛故有 P(Ta≤t)=P(Mt≥a)=P(max0≤s≤tWs≥a).為求P(Ta≤tP(Wt≥a)=P(Wt≥a|Ta≤t)?P(顯然，P(Wt≥a|Ta>t)=0，又由布朗運(yùn)動(dòng)的對稱性知，在(Ta≤t)的條件下，即WT P(Wt≥a|Ta≤t)=P(Wt<a|Ta≤t)=故P(Ta≤t)=2P(Wt≥a). 于是，當(dāng)a>0時(shí)，有P(Ta≤t =2 =2(1-Φ(at)). 而當(dāng)a>0時(shí)，由于布朗運(yùn)動(dòng)的對稱性，顯然P(T-a≤t)=P(Ta≤t P(Ta≤t)=22π|a|t+∞e-u22d這就得到了首中時(shí)的分布.5.3帶有漂移的布朗運(yùn)動(dòng)定義（帶有漂移的布朗運(yùn)動(dòng)）：設(shè){Wt，t≥0}為布朗運(yùn)動(dòng)，記X(t)=Wt+μt，μ為常數(shù)，稱{X(t)帶有漂移的布朗運(yùn)動(dòng)的背景是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在直線上作非對稱的隨機(jī)游動(dòng)，具有一定趨向，于不規(guī)則微觀運(yùn)動(dòng)中又有一定宏觀規(guī)則存在，如分子熱擴(kuò)散，電子不規(guī)則運(yùn)動(dòng)等。定理5.3.1 設(shè)Wt為一維Brown運(yùn)動(dòng).其概率空間為（Ω，F(xiàn)，P）令Q(dω):=eWT-T2P(dω). 證明在Q-下，Wt-t為Brown運(yùn)動(dòng)，利用此事實(shí)計(jì)算P(證明：（1）先證在Q-下，Wt-t為Brown已知Wt為Brown運(yùn)動(dòng)，則a.ω0=0;b.對任意的0≤t0<t1<…<tn,Wt1-Wt0，Wt2-Wc.Wt-Ws服從N(0,t-s)的正態(tài)分布,?t≥s≥d.Wt關(guān)于t是連續(xù)函數(shù)。 則=1\*GB3① W0-0=0-0=0； =2\*GB3② Wt-t也是關(guān)于t的連續(xù)函數(shù)； =3\*GB3③ 下面證明在Q-下Wt-t-(Ws-s)服從正態(tài)分布由于在P下，有?0≤t≤T，WT-Wt與Wt 則EP(e=-∞+∞=et2. EP(Wt?=-∞=e=et2[0+t]=tet2 于是有EP(Wt=EP(=tet2?eT-t2=teT2 先證EQ[(Wt-t)?(W證明：設(shè)對任意0<s<t<T有EQ[(Wt-t)?(Ws=e-T2?EP[eWTWtWs]-EP[eWTt=e-T2?{EP[eW=e-T2?{EP[eW=e-T2?{EP[eWT-Wt?e由于EP[eW=EP[eWT-Wt]EP[e=e=eT和EP[eW=EP[eWT-Wt]EP[e=e=eT2?故EQ[(Wt-t)?(Ws-s)]=e-T2{eT2?(t-s)s+e得證.再證在Q-下，Wt-t充A={ω:WQ(Wt-t≤x)=AdQ=e-T2?E=e-T2?EP=e-T2?EP[eWT-Wt]?E=e=e=-∞=-∞即在Q-下，Wt-t于是根據(jù)以后結(jié)果有：EQ[Wt-t-(Ws-s)]=E=e-T2{EP[eWT=e-T2?[(teT2-se=0.D=D=t+s-2=t+s-2s=t-s.這就證明了在Q-下Wt-t-(W=4\*GB3④ 下面證明對任意的0≤t0<t1<…<tn，(Wt1-t1)-(Wt0-證明：先求(Wt1-t1)-(W對?0≤t0<t1<…<tn，有設(shè)Ai={ω:Wti-Q(Wt=Ai=e-T2?=e=-∞=-∞a1-∞a2?-∞因此在Q-下，(Wt1-t1)-(W另外?0≤sE=E=e=e-T2?eT-t2=0.且由于Wt-t-(W得EQW故E=EN維聯(lián)合正態(tài)分布中不相關(guān)與獨(dú)立等